利用信息技術在數學實驗中開展概念教學*

☉安徽省無為縣劉渡中心學校　丁浩勇

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利用信息技術在數學實驗中開展概念教學*

☉安徽省無為縣劉渡中心學校丁浩勇

數學是研究數量關系和空間形式的一門科學，數學概念就是人腦對這些數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，它是構成數學法則、公式、定理等數學判斷與推理的基礎.正確理解數學概念是學生掌握數學基礎知識和基本技能、發展邏輯推理能力和空間想象能力的前提.

由于數學概念是一種數學的思維形式，所以它具有一定的抽象性，這對抽象思維能力處于初級階段的初中學生來說，掌握它具有一定的難度.但是，初中學生的直觀思維尤為活躍，如果在概念教學時利用數學實驗，把抽象的數學概念形象化，這對于化解教學難點、提高課堂教學效率將十分有益.事實上，早在上世紀中葉，著名的數學教育家波利亞就說過，數學有兩個側面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹科學，即是一門系統的演繹科學；但另一方面，創造過程中的數學，看起來卻像一門實驗性的歸納科學.波利亞告訴我們，數學不僅是一門系統的演繹科學，而且還是一門實驗性極強的歸納科學，這充分說明數學實驗是數學課堂教學中不可或缺的一部分.

所謂數學實驗，就是人們以數學問題為載體，為獲得某種數學理論，檢驗某個數學猜想或解決某類數學問題并運用一定的物質技術手段，在數學思維活動的參與下進行的一種數學實踐活動.數學實驗教學不同于傳統的數學教學方式，它體現了皮亞杰的“建構主義”的思想和理念，強調的是以學生動手為主的數學學習方式，有利于培養學生的創新精神和發現問題的能力.因此，數學實驗教學是一種新型、值得提倡的數學教學模式.

利用數學實驗進行概念教學需要現代信息技術資源來支撐，概念教學過程中的測量驗證、手工操作、動畫演示等活動都離不開信息技術.充分利用信息技術開展數學實驗教學，可以在引入概念、歸納概念、辨析概念、應用概念等教學活動中大顯身手.

一、利用信息技術在數學實驗中引入概念

由于數學概念研究的對象是現實世界的空間形式和數量關系，每個數學概念的產生都有它的現實背景，所以在進行概念教學時，可以精選現實生活或數學發展中的典型問題為背景，利用信息技術開展數學實驗，直觀呈現概念的產生背景，讓學生感受數學概念的引入是自然而然、水到渠成的.

案例1：“概率”概念的引入.

實驗構思：對于“概率”的概念，教材中只用文字敘述的方式直接向學生“傳授”概念，學生不能明白“概率”的來龍去脈.其實概率是人們在研究現實世界的規律中產生的，如果利用信息技術再現研究過程，在實驗的過程中讓學生逐步消化“概率”，這樣會有利于學生對“概率”意義的理解.為了節約時間和節省空間，可以利用Excel的隨機函數RAND在課堂上做模擬投幣實驗來幫助學生理解“概率”.

實驗過程：（1）如圖1，在單元格A1中輸入公式“=IF（RAND（）<0.5，“正面”，“反面”）”；

（2）在單元格B1中輸入統計“正面”出現的次數公式“= COUNTIF（A∶A，“正面”）”；

圖1

（3）在單元格B2中輸入統計“反面”出現的次數公式“=COUNTIF（A∶A，“反面”）”；

（4）按住單元格A1右下角的實心十字，向下拖動復制單元格，使A列中單元格包含與A1中公式相同的單元格總數分別是10、20、50、100、200、500、1000.重復模擬投硬幣實驗，分別記錄每次拖動復制后單元格B1、B2中的數值，并完成下面的表格.

模擬投幣次數10 B1的值4 B2的值6“正面向上”的頻率0.4“反面向上”的頻率0.6 20　 7　13　0.35　0.65 50　 22　28　0.44　0.56 100　 49　51　0.49　0.51 200　 100　 100　0.5　0.5 500　 243　 257　0.486　0.514 1000　 502　 498　0.502　0.498

問題1：觀察實驗結果，隨著投幣次數的增大，得到“正面向上”的頻率與“反面向上”的頻率有何種變化趨勢？

問題2：根據實驗結果預測投幣試驗中僅有的兩種結果“正面向上”和“反面向上”出現的可能性大小分別是多少.

問題3：如何定義一個隨機事件A發生可能性大小的數呢？

［實驗評析］概率的研究對象是現實世界，因此，從學生的實際生活入手研究概率是最佳選擇.由于受時間和空間的限制，課堂上再現實際研究過程不夠現實.教學經驗表明，組織一次實體投幣實驗，投幣100次左右就要花費三十分鐘時間，而利用信息技術模擬投幣實驗，幾千次甚至上萬次實驗在幾分鐘之內就能完成.

本例通過隨機函數RAND模擬投幣試驗，讓學生親自動手獲得數據，從數據中尋找規律.問題1引導學生發現隨著拋擲次數的增加，“正面向上”和“反面向上”出現的頻率呈現一定的穩定性；問題2把隨機事件發生的頻率與隨機事件出現的可能性大小緊密地聯系起來；問題3通過設問的方式巧妙地引出概率的定義.這樣讓學生在實驗的過程中主動構建概念，不但有利于調動學生學習概率知識的積極性，更有利于學生對概率意義的理解.

二、利用信息技術在數學實驗中歸納概念

數學概念是從具體、形象的事物中抽象概括出來的，數學實驗可以給學生創設具體的客觀情境.如果利用信息技術開展數學實驗再現概念的形成過程，將會有利于學生對概念的掌握.

案例2：“反比例函數的圖像”概念的歸納.

實驗構思：由于反比例函數的圖像分置在兩個象限，且兩部分互不相連，這與學生前面學過的一次函數（包括正比例函數）、二次函數等連續的函數圖像之間存在著一定的差異，導致學生根據已有知識和經驗來理解反比例函數的圖像有一定的困難.為了便于學生理解“雙曲線”，可以利用“幾何畫板”軟件創設一個面積不變的長方形模型，改變其形狀，通過實驗操作追蹤其頂點位置形成軌跡，得出圖像.

實驗過程：（1）如圖2，畫一個長方形OABC，固定其面積等于18cm2；

（2）以O為原點，線段OA所在的直線為x軸，線段OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系；

（3）拖動點B，并追蹤點B的軌跡.

問題1：設圖2中長方形的長OA為xcm，寬OB為ycm，那么y與x是怎樣的函數關系？

問題2：圖2中點B的坐標是什么？點B的運動軌跡是反比例函數圖像的全部嗎？

問題3：對于反比例函數的圖像，你能根據對稱性得出它的另一半嗎？

［實驗評析］利用幾何畫板軟件的追蹤軌跡功能，將反比例函數的圖像通過實驗呈現出來，將抽象的知識形象化，學生通過觀察面積為定值的長方形的頂點移動生成的軌跡，在實驗的過程中生成反比例函數的圖像.

圖2

問題1讓學生明白長方形的寬y是長方形的長x的反比例函數；問題2指明B點的運動軌跡是反比例函數y=的圖像的一部分；問題3進一步引導學生得出反比例函數y=的圖像的另一部分.這樣，先通過實驗的直觀呈現，突出“反比例函數的圖像”的概念的生成過程，再通過解決層層推進的三個相關問題，活躍了學生的思維，符合學生的認知規律，有利于學生對“雙曲線”概念的獲取和歸納.

三、利用信息技術在數學實驗中辨析概念

辨析概念是掌握概念過程中的一個重要環節，對概念進行辨析，可以突出概念的特有屬性，澄清對概念的模糊認識，排除類似概念的干擾，肅清概念認識的誤區.

辨析概念，可以把新概念置于同類概念之中，從形式上作比較，從本質上來區分.比如圓與圓的位置關系中的“內切”與“外切”、“相交”與“相離”、“內含”與“內切”、“外離”與“外切”等，雖然它們的定義只有一字之差，但是它們的本質卻大相徑庭.

案例3：辨析“圓與圓的位置關系”.

實驗構思：利用幾何畫板軟件制作動畫直觀演示圓和圓的5種位置關系，并同步顯示兩圓圓心距的大小，通過對實驗現象的觀察，讓學生從形式上（兩圓位置關系的圖形呈現）和本質上（圓心距與兩圓半徑之間的數量關系）加以區分和辨析“圓與圓的位置關系”概念.

實驗過程：（1）如圖3，繪制相外離的⊙O1和⊙O2，度量并顯示⊙O1和⊙O2的半徑R、r（R＞r）的長度；

圖3

（2）讓⊙O2沿直線O1O2方向往⊙O1處慢慢平移，同步顯示兩圓的圓心距d的長度；

（3）當⊙O2運動到不同位置后形成新的位置關系時，暫停平移⊙O2，觀察并記錄兩圓的圓心距d的長度后再繼續平移⊙O2，如此反復，直到5種位置關系全部出現后停止平移⊙O2.

根據觀察測量數據，填寫表格.（填充完整的表格如下所示）

位置關系　圓心距與兩圓的半徑之間的關系外離　d＞R+r外切　d=R+r相交　R-r＜d＜R+r內切　d=R-r內含　d＜R-r

［實驗評析］案例3利用信息技術工具，讓學生在圖形動態變化過程中發現圓和圓的5種位置.通過圓和圓的動態演示實驗，學生既能從外顯的形式上直觀感知圓和圓的不同位置關系，從感觀上對不同位置關系加以區分，又能讓學生發現兩圓具有不同位置關系時，它們的半徑、圓心距之間的數量關系，從本質上加以區分外離、外切、相交、內切、內含的概念.

四、利用信息技術在數學實驗中應用概念

概念的鞏固應用是學習概念的歸宿，學習概念的最終目的是為了能夠靈活應用概念解決具體問題.反過來，通過概念的綜合應用，又能把本概念與相關概念緊密地聯系起來，將概念納入概念系統，從而可以更清楚地認識概念的本質屬性.

方程、不等式、函數之間存在著千絲萬縷的聯系，巧妙地構造函數，利用信息技術繪制函數的圖像，在數學實驗中得出關鍵點的坐標，可以有效地解決方程和不等式問題.這樣設計教學，不但能提高學生的解題效率，而且便于學生更加“精致”地理解方程、不等式、函數的概念.

案例4：比較x2+2x與4x的大小.

實驗構思：構造二次函數y=（x2+2x）-4x，即y=x2-2x，利用幾何畫板軟件畫出它的圖像，顯示圖像與x軸的交點坐標.由圖像驗證y的正負性，得出x的取值范圍，從而推出x2+2x與4x的大小.

實驗過程：（1）如圖4，畫出二次函數y= x2-2x的圖像；

（2）顯示圖像與x軸的交點坐標.

圖4

問題1：觀察圖像，當自變量x取何值時，函數值y大于0？當自變量x取何值時，函數值y小于0？當自變量x取何值時，函數值y等于0？

問題2：當函數值y大于0時，x2+2x與4x的大小關系如何？當函數值y小于0時，x2+2x與4x哪一個大？當函數值y等于0時呢？

［實驗評析］我國著名數學家華羅庚說過，數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休.數與形是數學研究的兩個主要對象，在一定的條件下，它們之間可以相互轉化，相互滲透.

案例4把不等式問題與方程問題巧妙地轉化為函數圖像問題來解決，通過作差法構造一個二次函數，然后利用信息技術畫出這個函數的圖像并顯示出它與橫軸的交點坐標，這樣從圖像上就可以判斷出函數值的正負性與自變量的取值關系.問題1引導學生由圖像看x取不同的值時，y的符號的正負性；問題2引導學生從函數值的正負性得出x2+2x與4x的大小關系.

參考文獻：

1.朱林.數學實驗活動課在教學中有效運用的策略［J］.中學數學（下），2015（12）.

2.路亞飛，葛麗雅，朱哲.活用信息技術強化初中幾何概念教學［J］.中學數學（下），2015（8）.

3.丁浩勇.函數及其圖像［J］.中學數學教學參考（中），2011（4）.

*基金項目：安徽省教育信息技術研究“十二五”規劃立項課題——現代教育技術環境下的數學實驗教學研究（AH2015056）.