教好“因式分解”的體會

? 唐朝暉

教好“因式分解”的體會

? 唐朝暉

因式分解在中學數學中有著十分重要的地位，因此必須使學生能夠熟練正確地進行多項式的因式分解。怎樣教好“因式分解”這一章，我的體會是要著重抓好以下幾個方面：

一、運用類比、對比的方法講清因式分解的意義，使學生正確理解什么是分解因式

正確理解因式分解的意義是學好因式分解的前提。教材中指出“把一個多項式化為幾個整式的積的形式叫做多項式的因式分解”。這就是說，分解因式就是把一個多項式化為單項式與多項式，或多項式與多項式的乘積的形式的過程。初一學生剛剛學習因式分解時，不少人常常把“a2-ab+b2=a(a-b)+b2”當成因式分解，或者混淆乘法運算與因式分解的區別。如何幫助學生明確因式分解的意義呢？

我的做法是：①通過與算術中的因式分解進行類比，引出代數中的因式分解，在類比中使學生掌握新概念。首先從“6=2×3”出發，引導學生回憶在算術中，把一個整數化為幾個整數的積的形式叫做因式分解，從而類比：“a2-b2=(a+b)(a-b)”，啟發學生說出多項式因式分解的意義。這樣，使學生容易懂得什么是多項式的因式分解，加深他們的理解，又可防止將“a2- ab +b2= a(a-b)+ b2”(類比：29=4×7+1)誤認為是因式分解的錯誤。②通過對比“(a+b)(a-b)= a2-b2”與“a2-b2=(a+b)(a-b)”使學生認識乘法運算與因式分解的聯系，分清它們之間的區別，進一步明確因式分解的意義。不少學生在學習因式分解時，常易發生類似“y4-8y=y(y3-8)= y(y-2)(y2+2 y +2)=( y2-2y)(y2+2y+2)”的錯誤，這說明他們混淆了乘法運算與因式分解的區別。因此，教學中注意把因式分解與乘法運算進行對比，有著重要的意義。③通過辨別正確與錯誤的練習，防止學生“先入為主”地形成錯誤的概念，加深學生對正確概念的理解。

當然，學生對于因式分解的概念不是也不可能是一次就能真正理解的，我們既要重視第一次概念課的教學，又要在以后解各類因式分解的習題中逐步幫助學生理解因式分解的意義。

二、堅持由淺入深，循序漸進的原則，使學生逐步學會解各類因式分解的習題

學生學習新的東西，正確理解基礎知識都有一個由淺入深、由具體到抽象、由特殊到一般的認識過程。為此，我們在教學中必須從最基本的入學，逐步過渡到比較復雜的和帶有綜合性的問題，那種操之過急的做法，只會使學生囫圇吞棗，結果是欲速則不達。

我們以應用平方差公式“a2-b2=(a+b)(a-b)”分解因式為例。教材中先舉出了x2-16的例子，這里a、b都是單一字母或整數；接著 9m2-4n2=(3m)2-(2n)2，a、b都是系數為整數的單項式；

m2-0.01 n2=(m)2-(0.1n)2，a、b 都是單項式，系統出現了分數或小數；進一步，又安排了 (x+p)2-(x+q)2，16(a-b)2-9(a+b)2等a、b都是多項式的例子。在練習和習題中、復習題中，教材也注意了由淺入深的原則，逐步出現了

(a+b+c)2-(a+b-c)2，81a4-b4， 3ax2-3ay4，

(a-b)n+2-(a-b)n，(a2+b2-1)2-4a2b2，……

等習題，堅持從簡單到復雜的安排例、習題，逐步說明公式的使用方法，使學生打好堅實的基礎，有利于他們今后的學習。

三、加強學生使用字母的能力的訓練

用數學知識解決實際問題，就必須善于把實際問題抽象為數學問題，而數學問題又經常用字母和符號來表達。初一學生剛剛用字母表示數，他們還不習慣于字母表示式子，對字母的使用能力還不強。因此，在因式分解的教學中要注意訓練學生使用字母的能力，為今后進一步用式子述打下基礎。

四、注意培養學生掌握一些處理問題的方法，提高分析問題和解決問題的能力

因式分解的教學中，在講了四種基本方法以后，應結合綜合性訓練幫助學生歸納出把不念舊惡多項式分解因式的大致思考步驟，要使學生對于先考慮什么，后考慮什么，從哪幾方面考慮，怎樣作具體的分析有一個大致的輪廓。

一般說來，把一個多項式分解因式，首先考慮提取公因式，然后再考慮其它的方法。這里應該注意：如果有些項是分數系數，不便于觀察時，我們可以應用通分(或撮一個分數公因式)的方法，將各項系數化為整數系數，例如：

然后進行因式分解。

提取公因式后，往往是根據項數的多少來考慮因式分解的方法。在教學中，我的體會是：①對于二項式，首先考慮應用平方差、立方和(差)公式，對于某些雙二次或其它特殊類型的，也可采用配方法。例如：x4+64=(x4+16x2+64)-16x2。②對于三項式，則考慮運用完全平方公式、十字相乘法或配方法、拆項添項法。例如x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6)或者x3-7x+6=(x3-x2)+(x2-7x+6)在應用拆項添項方法時，一般應注意：多項式按降冪排列；最高次項不變，第二項系數必須是常項的約數；如果拆項添項后成為偶數項，分組分解時，或考慮用公式法，或考慮第一、第二項、第三、四項，……的系數比應該相等。④對于四項式，由于學生還未學習完全立方公式，所以主要用分組分解法。四項式的分組，不外二、二分組或一、三分組，對于二、二分組的主要考慮用提公因式法或公式法。例如：

xy+yz+xz+x2=(xy+yz)+(xz+x2)=y(x+z)+x(x+z)

=(x+z)·(x+y)

b3-b2-a3+a2=(a2-b2)-(a3-b3)

=(a+b)(a-b)-(a-b)(a2+ab+b2)

=(a-b)(a+b+a2+ab+b2)

對于一、三分組的，多用公式法。⑤對于五項式或五項以上的多項式，一般應考慮用分組分解，但要注意某此特殊多項式的分解方法。例如：

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2,

x2-xy-2y2+4x-5y+3=(x-2y)(x+y)+(4x-5y)+3=(x-2y+1)(x+y+3),

等等。

總之，在因式分解的教學中，學生掌握了一般方法和規律后，老師要嚴格要求他們多練、反復練，使學生做到舉一反三，熟能生巧，對于一般分解因式的習題能夠一目了然，很快寫出結果，為以后的學習打下堅實的基礎。

湖北省荊州市少年兒童體育學校 434000)