數學教學中學生發展思維的探索和挖潛
——談抽象函數的有關性質周期性

（甘肅省天水市武山縣鴛鴦初級中學，甘肅 武山 741315）

函數是中學數學的重點內容，而抽象函數因其解析式的不具體而成為函數內容的難點之一，但因其又能很好地考查學生對函數概念的理解與抽象思維能力，因而在進幾年的高考和各類競賽中經常出現抽象函數方面的題目，本文就抽象函數的周期存在條件作一點探討，從而得出一種簡捷的求抽象函數周期的方法，以期能在這方面給大家一點啟示。

定義：對于函數f(x)，如果存在非零常數T，使得當x取定義域內的每一值時，都有f(x+T)=f(x)成立，那么函數f(x)是周期函數，并且周期為T。

定理1.對于函數f(x)，如果存在一個非零的常數a，使得當x取定義域內的每一值時，都有下列條件之一成立時，那么f(x)是周期函數，并且周期為 2a，即：

條件 1：f(x+a)=-f(x)

條件 2：f(x+a)=f(x-a)

條件 3：f(a+x)=f(a-x)且 f(x)是偶函數

條件 4

證明：①由條件1及已知，對函數f(x)定義域內的任意x都有f(x+a)=-f(x)

所以f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x)即f(x+2a)=f(x)

所以函數f(x)的一個周期為2a

②由條件2及已知，對函數f(x)定上域內的任意x都有f(x+a)=f(x-a)

所以f[(x+a)+a]=f[(x+a)-a]=f(x)即f(x+2a)=f(x)

所以函數f(x)的一個周期為2a

③由條件3及已知，對函數f(x)定義域內的任意x都有f(a+x)=f(a-x)，且f(x)是偶數

所以f[a+(x+a)]=f[a-(x+a)]=f(-x)=f(x)

即f(x+2a)=f(x)所以函數f(x)的一個周期為2a

④由4可知，對f(x)定義域內的任意x都有

所以

即f(x+2a)=f(x)所以函數f(x)的一個周期為2a

定理2.對于函數f(x)，若存在一個非零常數a，使得當x取定義域內的每一值時都有下列條件之一成立時，函數f(x)是周期函數，并且周期為4a。即：

條件 5：f(x+a)=-f(x-a)

條件 6：f(a+x)=-f(a-x)且 f(x)為偶函數

證明：⑤由條件5及已知

因為f(x+a)=-f(x-a)

所以f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f[(x+a)-a]=-f(x)

所以f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-f[(x+2a)=f(x)

所以函數f(x)的一個周期為4a

⑥由條件6及已知

因為f(a+x)=-f(a-x)且f(x)為偶函數

所以f(2a+x)=f[a+(a+x)]=-f[a-(a+x)]=-f(-x)=-f(x)

所以f(4a+x)=f[2a+(2a+x)]=-f(2a+x)=f(x)

所以函數f(x)的一個周期為4a

推論1.對于函數f(x)，若存在兩個非零常數a，b(a≠b)使得當x取定義域內的每一個值時，都有下列條件之一成立時，那么函數f(x)是以2(a-b)為周期的函數，即：

條件 7：f(a+x)=f(a-x)且 f(b+x)=f(b-x)

條件 8：f(a+x)=-f(a-x)且 f(b+x)=-f(b-x)

簡證：⑦由條件7及已知

f[x+(a-b)]=f[a+(x-b)]=f[a-(x-b)]=f[b+(a-x)]=f[b-(a-x)]=f[x-(a-b)]

由定理1的條件2知，f(x)是以2(a-b)為周期的函數

⑧由條件8及已知

f[x+(a-b)=f[a+(x-b)]=-f[a-(x-b)]=-f[b+(a-x)=f[b-(a-x)]=f[x-(a-b)]

由定理1條件2知，f(x)是以2(a-b)為周期的函數

推論2對于函數f(x)，若存在兩個非零常數a，b(b≠a)使得當x取定義域內的每一值時，都有下列條件之一成立時，則f(x)是以4(a-b)為周期的函數，即：

條件 9.f(a+x)=f(a-x)且 f(b+x)=-f(b-x)

條件 10.f(x+a)=f(x-a)且 f(x+b)=-f(x-b)

間證：⑨由條件9及已知

f[x+(a-b)]=f[a+(x-b)=f[a-(x-b)]=f[b-(x-a)] f[b+(x-a)]=-f[x-(a-b)]

由定理2條件5知，f(x)是以4(a-b)為周期的函數

⑩由條件10及已知

f[x+(a-b)]=f[(x+a)-b]=-f[(x+a)+b]=-f[(x+b)-a]=-f[(x+b)-a]=-f[x-(a-b)]

由定理2條件5知，f(x)是以4(a-b)為周期的函數。

例1.設f(x)是R上的奇函數，且f(x+3)=-f(x)求f(2016)

解：由定理1的條件1知函數f(x)的周期

為T=2×3=6所以有f(6k+x)=f(x)(k為非零整數)

又f(x)為R上的奇函數 所以f(0)=0

所以f(2016)=f(6×336)=f(0)=0

例2.設f(x)是實數集R為定義域的函數且滿足：

f(x+10)=f(10-x) f(20-x)=－f(20+x)

則f(x)是（） （1992年全國高考中聯賽題）

A.偶函數又是周期函數 B.偶函數不是周期函數

C.奇函數又是周期函數 D.奇函數不是周期函數

解：由推論2條件9可知，函數f(x)的周期為

T=4×(20-10)=40

又f(20-x)=-f(20+x)

所以f(-x)=f[20-(x+20)]=-f[20+(x+20)]=-f(40+x)=-f(x)

即：f(-x)=-f(x)，所以函數f(x)是奇函數 故選（C）

例3：設f(x)是定義在R上的偶函數，其圖像關于直線x=1對稱，對任意

都有 f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)且 f(1)=a＞0

(1)、求

(2)、證明f(x)是周期函數（2001年全國高考題）解（1）（略）

（2）依題設y=f(x)關于直線x=1對稱

由定義的條件3可知：f(1+x)=f(1-x)

用x-1代x得：f(x)=f[1-(x-1)]

故 f(x)=f(1+1-x)即f(x)=f(2-x)， x∈R

由f(x)是偶函數知f(-x)=f(x) x∈R

∴f(-x)=f(2-x) x∈R

將上式中的-x以x代替得 f(x)=f(x+2)x∈R

這表明f(x)是R上的周期函數，且2是它的一個周期。