圓柱體全局尺寸評定結果的可視化研究*

趙新宇，趙則祥，劉如意，竇武陽

(1.中原工學院 計算機學院，河南 鄭州 451191；2.中原工學院 機電學院，河南 鄭州 451191)

0 引 言

對于高精度的圓柱孔和軸，其不僅有較高的尺寸精度要求，而且有較高的幾何精度要求，分別根據GB/T 1800[1]和GB/T 1182[2]等國家標準標注和控制，但相配合的孔、軸的可裝配性和配合性能是由實際尺寸和形狀誤差綜合作用的結果。

ISO/TC 213在ISO 14405.1[3]中，將實際尺寸與形狀誤差綜合作用的結果用全局尺寸表征，全局尺寸包括最小二乘尺寸、最小外接尺寸、最大內切尺寸和最大最小尺寸。Ze-xiang ZHAO等[4-5]對圓柱體全局尺寸的測量以及偏心、傾斜對圓柱體全局尺寸評定結果的影響問題進行了研究。圓柱體全局尺寸中的最小外接尺寸、最大內切尺寸和最大最小尺寸的評定，其實質是一個‘minimax’問題，分別與圓柱度誤差評定中的最小外接法、最大內切法和最小區域法對應。

許多學者對圓柱度誤差評定中優化算法進行了研究。YANG Y等[6]提出了一種改進的協調搜索算法；ZHENG P等[7]采用運動學幾何優化算法，實現了圓柱度誤差的最小區域法評定；宗濤等[8]提出了雙圓心擬合與網格逼近的優化算法；史栩屹等[9]將二次插值鯨魚優化算法應用于圓柱度誤差的評定；趙藝兵等[10]采用擬粒子群進化算法對坐標測量機提取的圓柱體輪廓進行了圓柱度誤差的評定。

上述圓柱度誤差評定所用的優化算法均可用于圓柱體全局尺寸的評定。為了使評定結果更加直觀，需要對評定結果可視化。

本文以局部放大的圓柱體圓周輪廓為基礎，研究圓柱體全局尺寸評定結果的可視化。

1 圓柱體圓周輪廓的可視化

已知圓柱體圓周輪廓上所有采樣點到工作臺回轉軸線的徑向距離，可求得上述距離值的均值，即：

(1)

式中：ρij—第i圓周輪廓上第j采樣點到工作臺回轉軸線的徑向距離；m—圓周輪廓數；n—每個圓周輪廓上的采樣點數。

為使圓周輪廓的可視化，筆者對圓周輪廓進行局部放大，局部放大后第i圓周輪廓第j采樣點到工作臺回轉軸線(z軸)的徑向距離可表示為：

ρAij=R+(ρij-R)×A

(2)

式中：A—局部放大倍數。A值過大，顯示的圓周輪廓變形；A值過小，起不到輪廓局部放大的作用，A值的選擇，滿足圓周輪廓適宜放大即可。當A為1時，局部放大后圓周輪廓的ρAij就是實際圓周輪廓的ρij。

圓柱體局部放大后的圓周輪廓在oAxAyAz坐標系中的示意圖如圖1所示。

圖1 局部放大后的圓周輪廓在oA xA yA z坐標系中的示意圖dAij—局部放大后的第i圓周輪廓第j采樣點到全局尺寸圓柱面軸線的垂直距離，全局尺寸圓柱面可以是最小二乘圓柱面、最小外接圓柱面、最大內切圓柱面、最大最小圓柱面等4種全局尺寸圓柱面之一；eLi(xLi,yLi,zi)—全局尺寸圓柱面的軸線與局部放大后的第i圓周輪廓所在平面的交點；eL1(xL1,yL1,0)—全局尺寸圓柱面的軸線在xA oA yA平面上的坐標；oAi—工作臺回轉軸線與局部放大后的第i圓周輪廓所在平面的交點

局部放大后的第i圓周輪廓示意圖如圖2所示。

圖2 局部放大后的第i圓周輪廓示意圖lLi—eLi與oAi之間的距離；θLi—oAieLi與xAi軸之間的夾角；rAij—局部放大后的第i圓周輪廓第j采樣點到eLi的距離；φij—局部放大后的第i圓周輪廓第j采樣點與xAi間的夾角

lLi和θLi由下式確定:

(3)

由圖2可知：局部放大后的第i圓周輪廓第j采樣點的ρAij可表示為：

(4)

2 局部放大后的全局尺寸的確定

依據圖1所示的圓周輪廓采用圓柱度誤差評定方法(最小二乘法、最小外接法、最大內切法和最小區域法)，可得到相應的全局尺寸圓柱面，全局尺寸圓柱面的直徑即為圓柱體局部放大后的全局尺寸。圓柱體全局尺寸的最小二乘尺寸、最小外接尺寸、最大內切尺寸和最大最小尺寸分別對應于最小二乘圓柱面、最小外接圓柱面、最大內切圓柱面和最大最小圓柱面。

根據圖1，筆者建立最小二乘圓柱面的方程：

(5)

式中：RAL—最小二乘圓柱面的半徑。

式(5)中的全局尺寸圓柱面為最小二乘圓柱面。

式(5)是一個非線性最小二乘方程。由于圓周輪廓提取前已進行了調心調平處理，lLi較小，式(5)中的dAij可由圖(2)中的rAij代替，并假設式(4)中的[lLisin(φij-θLi)]2≈0，式(3)可近似表示為：

ρAij≈lLi(cosφijcosθLi+sinφijsinθLi)+rAij=
lLicosθLicosφij+yLisinφij+rAij=
xLicosφij+yLisinφij+rAij

則有：

rAij=ρAij-xLicosφij-yLisinφij

(6)

式中：xLi，yLi—最小二乘圓柱面軸線在第i圓周輪廓平面內的xAi和yAi坐標值。

xLi和yLi可由下式確定：

(7)

式中：xL1—最小二乘圓柱面軸線在xAoAyA平面上的xA的坐標值；yL1—最小二乘圓柱面軸線在xAoAyA平面上的yA的坐標值；pL—最小二乘圓柱面軸線參數cosαL/cosγL，αL，γL—最小二乘圓柱面軸線與xA和z軸之間的夾角；qL—最小二乘圓柱面軸線參數cosβL/cosγL，βL—最小二乘圓柱面軸線與yA軸之間的夾角；zi—局部放大后的第i圓周輪廓與xAoAyA平面之間的距離。

將式(5)的非線性最小二乘問題轉化為線性最小二乘問題，即：

(8)

將式(8)分別對xL1,yL1,pL,qL和RAL求偏導，并令其為0，可得到五元一次方程組。解該方程組，即可得到最小二乘圓柱面軸線參數xL1,yL1,pL,qL和圓柱體輪廓局部放大后的最小二乘圓柱面直徑，即：

(9)

依據最小外接尺寸、最大內切尺寸和最大最小尺寸的定義，最小外接尺寸DAC、最大內切尺寸DAI可用優化函數表示：

(10)

式中：XAC—最小外接圓柱面的軸線參數，XAC=[xC1,yC1,pC,qC]T；XAI—最大內切圓柱面的軸線參數，XAI=[xI1,yI1,pI,qI]T。

最大最小尺寸DAZ可由下式確定：

(11)

式中：XAZ—最大最小圓柱面的軸線參數，XAZ=[xZ1,yZ1,pZ,qZ]T。

式(10)和式(11)中的dAij可由下式得到：

(12)

式中：T—全局尺寸圓柱面的類型，T可為L、C、I、Z之一，分別代表最小二乘圓柱面、最小外接圓柱面、最大內切圓柱面和最大最小圓柱面的軸線參數。

3 全局尺寸圓柱面的可視化

3.1 全局尺寸圓柱面輪廓坐標的確定

全局尺寸評定結果的可視化實質上是全局尺寸相對應的圓柱面的可視化。全局尺寸圓柱面的可視化首先要確定全局尺寸圓柱面輪廓的坐標值。

由于全局尺寸圓柱面的軸線與z軸間不平行，全局尺寸圓柱面在平行于xAoAyA平面的截面上的輪廓為一橢圓，如圖3所示。

圖3 全局尺寸圓柱面軸線傾斜時的橢圓輪廓示意圖ETL—橢圓輪廓的長半軸長；ETS—橢圓輪廓的短半軸長；γT—全局尺寸圓柱面的軸線與z軸間的夾角

ETL和ETS可由下式確定：

(13)

當全局尺寸圓柱面的軸線與z軸不重合時，全局尺寸圓柱面橢圓輪廓在xAoAyA平面上的投影如圖4所示。

圖4 橢圓輪廓在xA oA yA平面上的投影示意圖λT—橢圓輪廓長軸在xA oA yA平面上與xA軸間的夾角

λT可由下式確定：

(14)

全局尺寸圓柱面第i輪廓第j采樣點到z軸的徑向距離為：

(15)

式中：a,b，c—一元二次方程中的3個參數。

a,b，c可分別由以下各式確定：

(16)

(17)

(18)

當ρTEij確定后，全局尺寸圓柱面上輪廓的三維坐標可由下式確定：

(19)

確定軸線在xAoAyA平面和第m圓周輪廓平面上的坐標，即可實現圓柱面軸線的可視化，其坐標可由下式確定：

(20)

式中：k=1，z1=0，k=m，zm=L；L—軸向測量長度。

3.2 程序編制

最小外接圓柱面、最大內切圓柱面和最大最小圓柱面的直徑通過對式(10)和式(11)優化問題采用Matlab中的‘fminimax’函數獲得，最小外接圓柱面、最大內切圓柱面和最大最小圓柱面的軸線的優化初始值均是最小二乘圓柱面的軸線參數值。

圓柱體局部放大后的輪廓坐標、全局尺寸圓柱面的輪廓坐標和全局尺寸圓柱面軸線兩端點的坐標確定后，可將Matlab中的plot3三維繪圖函數與hold on語句組合使用，把m個局部放大圓周輪廓、全局尺寸圓柱面的m個橢圓輪廓、全局尺寸圓柱面的軸線呈現在一張圖上。

對于圓柱體全局尺寸圓柱面的顯示，可將m個橢圓輪廓的坐標利用Matlab中的surf或mesh函數顯示。

4 實驗及結果分析

在Talyround 585LT圓柱度儀上，筆者對一孔進行了圓周輪廓提取，并將圓周輪廓數據以‘.CVS’格式導出。孔的公稱尺寸D為51.5 mm，測量長度L為100 mm，圓周輪廓數m為21，每個圓周輪廓的采樣點數n為2 000。

筆者用所建立的模型編制的程序，對被測孔的輪廓進行了全局尺寸的評定。該孔的最小二乘尺寸、最小外接尺寸、最大內切尺寸和最大最小尺寸分別為50.994 8 mm、51.016 mm、50.976 8 mm和50.996 7 mm。

為簡化起見，筆者僅給出了局部放大后的圓周輪廓、最小外接尺寸圓柱面及其軸線2種可視化方法的顯示，如圖5所示。

圖5 最小外接圓柱面與最小外接尺寸

由圖5可知：xA和yA的坐標并不是真實的坐標，而是局部放大后輪廓的坐標，輪廓局部放大倍數為500；2種可視化方法均能較清晰地顯示被測孔的圓周輪廓、全局尺寸圓柱面及其軸線，圖中的MC表示最小外接評定方法。

5 結束語

以局部放大的圓柱體圓周輪廓為基礎，筆者建立了確定圓柱體最小二乘圓柱面、最小外接圓柱面、最大內切圓柱面和最大最小圓柱面的尺寸和軸線參數的模型；由全局尺寸圓柱面的尺寸和軸線參數，建立了全局尺寸圓柱面輪廓坐標的生成模型，并提出了全局尺寸圓柱面及其軸線的2種可視化方法；基于所建立的模型，筆者編寫了圓柱體全局尺寸的評定及其可視化程序，并對一個孔的全局尺寸進行了評定及其結果顯示，給出了基于圓柱面輪廓法和surf圓柱面法的最小外接尺寸評定的可視化結果。

可視化結果表明：筆者所建模型正確，圓周輪廓、全局尺寸圓柱面及其軸線的2種可視化方法的結果直觀清晰；2種可視化方法也可用于圓柱度誤差評定中的圖形顯示。