樁徑對Mindlin附加應力系數的影響分析

郭帥杰，宋緒國，許再良，隋孝民，任慶昌

(1.鐵道第三勘察設計院集團有限公司，天津　300251；2.軌道交通勘察設計工程實驗室，天津　300251；3.西南交通大學，成都　610031)

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樁徑對Mindlin附加應力系數的影響分析

郭帥杰1，2，3，宋緒國1，2，許再良2，隋孝民1，任慶昌1

(1.鐵道第三勘察設計院集團有限公司，天津300251；2.軌道交通勘察設計工程實驗室，天津300251；3.西南交通大學，成都610031)

摘要：基于Mindlin理論關于點荷載附加應力系數的解析解答，研究不同土體泊松比、樁長條件下樁徑對Mindlin附加應力系數的影響規律，確定不同偏差標準下必須考慮樁徑影響的最小范圍，并給出需考慮樁徑影響最小范圍的擬合公式。研究結果表明，土體泊松比Mindlin附加應力系數總體影響較小，統一采用0.35土體泊松比引起附加應力計算偏差一般不超過5%；Midlin附加應力計算中，必須考慮樁徑影響的最小范圍主要與樁徑相關，且隨樁長的增加而增大；分別采用1%和5%誤差標準時，必須考慮樁徑影響的最小范圍分別為樁徑的13.6倍和6.41倍。

關鍵詞：Mindlin方法；附加應力系數；樁徑；樁長；影響范圍

海大學，工學博士，E-mail:ggssjj@hhu.edu.cn。

剛性樁復合地基沉降計算主要涉及剛性樁加固區和樁端下臥層附加應力確定問題，相較于假定荷載作用于地基表面的Boussinesq解答，Mindlin方法可以進行任意深度荷載作用下的附加應力計算，因此，Mindlin方法較Boussinesq方法在理論和計算結果的邏輯方面均更為合理[1]。但是，Mindlin方法參數較多，公式極為繁雜，其在工程中的應用經歷較長的過程。其中，Geddes將單樁荷載定義為樁端阻力、矩形和線性樁側阻力3種荷載形式[2]，通過對Mindlin集中應力解析解積分，得到單樁荷載作用下樁周土體任一點附加應力表達式，得到三種荷載形式下的附加應力系數。現有研究結果也表明[3-5]，Geddes-Mindlin解答較Boussinesq解答更符合樁基礎承載及沉降變形的實際，前者計算結果更為合理且更為接近工程實測結果。

必須注意的是，樁端阻力和樁側摩阻力分布范圍與樁徑直接相關，但現有關于Mindlin方法的研究成果較少涉及樁徑對附加應力計算結果的研究，大多將端阻力和樁側阻力作為作用于樁體中心軸線上的集中荷載進行處理[6-8]。《建筑地基基礎設計規范》(GB50007—2002)關于Mindlin附加應力系數的計算同樣未考慮樁徑影響，但我國《建筑樁基技術規范》(JCG94—2008)通過數值積分方法給出了考慮樁徑影響的Mindlin附加應力系數。事實上，Mindlin附加應力計算中關于樁徑因素的考慮是存在特定范圍的，即附加應力計算點同荷載作用點間距離超過一定限度，樁徑對附加應力系數影響將可忽略。由于現有規范關于是否考慮樁徑因素的規定尚不統一，故樁徑對Mindlin附加應力系數影響規律及考慮樁徑影響的最小范圍仍需進一步研究總結。

本文基于集中荷載Mindlin應力解析解，通過荷載作用區域點荷載附加應力疊加方法，得到樁周土體任一點位置處總附加應力，進而得到樁徑對土層附加應力的影響規律。通過不同土體泊松比、樁長及樁徑的Mindlin附加應力系數計算結果對比，由數據擬合方法得到必須考慮樁徑影響的最小范圍Lmin同樁半徑間的關系式，在保證Mindlin附加應力計算精度基礎上，避免數值積分方法的反復疊加，大幅提高計算效率，不僅為Mindlin方法在高速鐵路、公路等剛性樁復合地基沉降計算中的推廣應用奠定基礎，也為沉降模型程序算法的實現提供技術支持。

1Mindlin附加應力系數表達式

1.1　集中荷載作用下的Mindlin附加應力

針對地基內部一定深度處作用集中力情況，美國學者Mindlin在1936年關于半無限體內集中力作用下的附加應力分布規律研究中[9]，得到集中荷載Qb作用下，深度z位置處附加應力表達式(1)，圖1為直角坐標系下的計算簡圖。相應地，式(2)為集中荷載附加應力系數。

圖1　Mindlin附加應力計算簡圖

(1)

(2)

式中，σz為集中荷載引起的附加應力；Qb為集中荷載；v為泊松比；L為荷載作用點位置坐標，z為計算點深度；m和n為相對于樁長的位置坐標參數，其表達式分別為m=z/L，n=ρ/L；R1為附加應力計算點與集中荷載作用點間距離；R2為附加應力計算點與集中荷載作用點關于z=0平面鏡像點間距離。

根據圖1中附加應力計算點同集中荷載作用點之間的位置關系，可以得到直角坐標系和徑向坐標系下R1、R2表達式

(3)

式中，x、y、ρ分別為附加應力計算點位置坐標和徑向坐標。

1.2　考慮樁徑影響的Mindlin附加應力系數

不考慮樁徑影響時，樁端荷載為集中力，可得到地基中任意一點處附加應力解析解，主要適用于樁徑較小或帶有樁尖的預制樁。但對于大直徑灌注樁或未設樁尖的預應力管樁，應考慮樁徑對樁周土體附加應力的影響。假定樁端荷載為圓形均布荷載，由荷載作用面上微面積集中荷載積分方法進行不同位置處附加應力計算，圓形均布荷載微面積積分區域示意如圖2所示。對于圖2(b)中圓形樁端荷載作用面，得到微面積域dA=rdrdθ范圍內集中荷載引起的任意一點附加應力dσz表達式(4)。

(4)

圖2　圓形均布荷載附加應力計算簡圖

對于圖2(b)中樁端微面積域內集中力的附加應力計算圖示，圓形樁體為中心對稱體，當附加應力計算點M與樁體中心線的徑向距離相等時，樁端荷載在同一深度圓環區域上的附加應力均相等。因此，可令計算點M縱坐標y=0，x坐標即為M點與樁端軸線間距離ρ，對應的，R1和R2表達式分別為

(5)

式(5)代入式(4)，同時令rL=r/L，r0L=r0/L，對附加應力系數表達式(4)進一步簡化，得到同式(2)類似的考慮樁徑影響的Mindlin附加應力系數表達式(6)。

必須說明的是，式(6)中附加應力系數IP1為關于變量rL的積分函數，難以獲得其對應的解析解答；具體計算中，由樁端圓形荷載平面內的逐點積分，繼而進行逐點疊加進行求解。

(6)

2樁徑對附加應力的影響規律分析

2.1　土體泊松比影響

現有研究結果表明[1]，其他條件完全相同時，Mindlin附加應力隨泊松比保持遞增關系，但是土體泊松比引起的附加應力計算結果偏差很小，一般不會超過15%。

本文通過對不同泊松比情形下Mlindlin附加應力系數的對比分析，得出如下結論：土體泊松比對Mindlin附加應力系數影響相對較小，統一采用泊松比v=0.35進行Mindlin附加應力系數計算時，極端情況下(v=0.25和v=0.45)出現的誤差均不超過10%，一般情況下的誤差可控制在5%范圍之內，說明在缺少地層物理性質指標或進行樁基沉降量預估計算時，可統一采用泊松比v=0.35進行Mindlin附加應力系數計算。

2.2　樁徑引起的附加應力系數偏差

考慮樁徑影響時，式(6)采用二次積分方法進行數值求解，分別于弧度方向和半徑方向定義100×100網格，采用逐網格疊加方法完成式(6)數值積分計算。此外，式(6)中附加應力系數積分邊界r0L為樁半徑和樁長的比值，即使樁徑完全相同，樁長L的差異也將影響附加應力計算結果。

為對比分析樁徑、樁長、土體泊松比對Mindlin附加應力系數計算結果的影響，共進行v=0.25、0.30、0.35、0.40和0.45，樁半徑r0=0.15、0.20、0.30、0.40、0.50 m和0.60 m以及樁長L=6、10、15、20、30、50 m共5×6×6=180種情形下的附加應力系數計算。

根據式(6)不同樁徑和樁長條件下的Mindlin附加應力系數計算結果，將其與式(2)不考慮樁徑影響的解析計算結果進行對比，經式(7)的進一步計算處理，得到不同樁長和泊松比條件下樁徑因素引起的Mindlin附加應力系數偏差百分比δ1。

(7)

根據前述180種情形的計算結果，經式(7)處理后，分別得到泊松比v=0.35，樁長L分別為6，15 m和30 m時，0.15、0.30 m和0.60 m樁徑情形下，相較于式(2)解析解答，樁徑引起的Mindlin附加應力系數偏差分布云圖如圖3所示。

圖3　樁徑引起的附加應力系數偏差云圖

根據圖3中不同樁長和樁徑條件下的Mindlin附加應力系數偏差分布云圖，樁長相同時，相對于式(2)不考慮樁徑影響的解析解，式(6)考慮樁徑引起附加應力系數偏差幅值及范圍均隨樁徑的增加而增大。同時，樁徑相同情況下，考慮樁徑引起的偏差百分比δ1數值和分布范圍隨樁長的增加而減小，即樁長越大，樁徑引起的附加應力系數偏差百分比分布范圍越小。

必須指出的是，Mindlin附加應力系數公式中樁長L的影響均體現為相對意義，隱含于m、n和r0L參數之中。前述得到的樁徑影響結論僅是針對深度比值m和徑向坐標比值n意義上的結論，反映在絕對的深度坐標z和徑向坐標ρ上，其實際影響區域可能表現出完全相反的變化規律。因此，絕對意義上的樁徑、樁長以及泊松比對附加應力系數偏差計算結果的影響仍需要進一步的分析。

3考慮樁徑影響的最小范圍Lmin

3.1　最小范圍確定方法

根據圖3中考慮樁徑引起的附加應力系數偏差百分比分布云圖，以樁端中心為基點，樁端下臥層附加應力計算點與樁端中性點距離越大，相應的偏差百分比越小，當計算點與樁端基點距離超過一定限度后，樁徑引起的附加應力系數計算誤差將可忽略。因此，可分別設定δ1=1%和5%兩種情形的偏差控制標準，以此確定不同控制標準下考慮樁徑影響的最小范圍Lmin。Lmin確定過程如下：①由建筑物或工程沉降變形控制等級確定相對應的附加應力計算偏差控制標準；②以圖3中的樁端中心為基點，確定滿足相應偏差標準(如1%、5%等)對應的樁端下臥土層中最遠位置處n和m值；③由式(8)確定不同偏差標準下，附加應力計算中必須考慮樁徑影響的最小范圍Lmin。

(8)

3.2　最小范圍Lmin影響因素分析

根據前述不同土體泊松比、樁徑和樁長條件下Mindlin附加應力計算結果，由式(8)確定Mindlin附加應力系數計算中必須考慮樁徑影響的最小范圍Lmin，繼而得到Lmin關于樁徑、樁長以及土體泊松比的變化趨勢。其中，泊松比v=0.35時，Lmin關于樁徑與樁長的變化趨勢如圖4所示，圖5為Lmin關于土體泊松比的變化趨勢。

圖4(a)中，1%和5%偏差標準對應的考慮樁徑影響時的最小范圍Lmin均隨樁徑的增加而增大，其中，1%偏差標準對應的Lmin隨樁徑變化區間為1.80～7.62 m，最大變化幅度為5.82 m；5%偏差標準對應的Lmin隨樁徑變化區間為0.67～3.41 m，最大變化幅度為2.74 m，并且1%偏差標準下Lmin數值遠大于5%偏差標準。圖4(b)中，Lmin隨樁長的增加基本保持增加趨勢(樁徑較大情形)，即樁長越長，需考慮樁徑影響的區域范圍越大，1%和5%偏差標準對應的Lmin隨樁長的最大變化區間分別為6.01～7.02 m(最大變化幅度1.01 m)和2.77～3.41 m(最大變化幅度0.64 m)，此現象并不同于圖3中附加應力系數偏差百分比云圖。其原因分析如下：圖3中考慮樁徑影響的區域實為附加應力計算點深度z和徑向坐標ρ關于樁長L的比值，雖然云圖中的附加應力系數偏差分布區域隨樁長的增加而減少，但最小影響范圍Lmin隨樁長的增加卻表現為增加趨勢。此外，圖4(b)中最小范圍隨樁長逐漸增大的變化趨勢在樁徑較大時(r0>0.30 m)表現的更為明顯，樁徑較小時，則為先增加后減小或逐漸減小的趨勢。

圖4　最小范圍Lmin關于樁徑和樁長的變化趨勢

圖5為1%和5%偏差標準下，Lmin隨土體泊松比v變化趨勢，從圖中可明顯看出，Lmin隨土體泊松比v基本保持不變或小幅增加趨勢，其增加幅度遠小于樁徑對Lmin的影響，說明土體泊松比對Lmin相對大小的影響基本可以忽略，此結論與前述土體泊松比對Mindlin附加應力系數影響的研究結果一致。

圖5　最小范圍關于泊松比的變化趨勢

綜合圖4和圖5中不同樁徑、樁長及土體泊松比對Lmin的影響趨勢及其變化區間，可以確定Lmin相對大小主要決定于樁徑，而樁長影響次之，土體泊松比引起的樁徑影響范圍Lmin的變化最小。

3.3　最小范圍Lmin擬合公式

基于以上分析，確定樁徑、樁長及土體泊松比對Lmin影響趨勢后，得到Lmin相對大小的主要決定因素為樁徑。忽略樁長和土體泊松比影響，建立起Lmin與主要決定因素樁體半徑r0間的擬合關系；擬合關系式中Lmin的取值為樁徑相同時，樁長和土體泊松比不同情況下對應的Lmin最大值。

圖6為1%和5%附加應力偏差標準下得到的必須考慮樁徑影響的最小范圍Lmin與樁半徑r0間的關系曲線。根據數據點分布特點，采用截距為0的線性擬合方程。1%和5%偏差標準對應的線性擬合曲線方程的斜率分別為13.6和6.41，即當附加應力計算點和樁端荷載作用點距離分別大于13.6r0和6.41r0時，即可不考慮樁徑對Mindlin附加應力系數的影響，可直接采用集中力作用下的解析式(2)進行計算。

圖6　最小范圍關于樁半徑擬合曲線

4結論

通過集中荷載作用解析解和考慮樁徑影響的均布荷載數值積分解答關于Mindlin附加應力系數計算結果的對比分析，得到樁徑、樁長以及土體泊松比對Mindlin附加應力系數的影響規律，確定Lmin主要決定因素為樁徑，并由數據擬合方法得到Lmin關于樁半徑r0的擬合公式，主要得到以下幾點結論。

(1)土體泊松比對Mindlin附加應力系數計算結果的影響很小，統一采用0.35泊松比引起的附加應力計算偏差一般不超過10%。

(2)樁徑相對大小影響Mindlin附加應力系數計算結果，但存在影響范圍；當附加應力計算點與荷載作用點距離超過某一特定限值時，樁徑引起的Mindlin附加應力計算偏差將可忽略。

(3)Mindlin附加應力系數計算中，必須考慮樁徑影響的最小范圍Lmin，其主要決定于樁徑，隨樁徑的增加而增大；分別采用1%和5%附加應力系數偏差控制標準時，當附加應力計算點與荷載作用點距離分別超過13.6r0和6.41r0，即可統一采用集中荷載附加應力解析表達式計算Mindlin附加應力。

參考文獻：

[1]王士杰，張梅，張吉占.Mindlin應力解的應用理論研究[J].工程力學，2001，18(6):141-148.

[2]GEDDES J D. Stress in foundation soils due to vertical subsurface loading[J]. Geotechnique， 1966，16(3):231-255.

[3]楊敏，王樹娟，王伯鈞，等.使用Geddes應力系數公式求解單樁沉降[J].同濟大學學報：自然科學版，1997，25(4):379-385.

[4]金永濤，楊樺，李峰利.樁筏共同作用的改進Geddes計算模型與變剛度調平設計[J].巖土力學，2010，31(12):3875-3878.

[5]楊明，張可能，劉杰.柔性基礎下復合地基有效樁長計算方法研究[J].鄭州大學學報：工學版，2008，29(2):23-26.

[6]徐志英.以明特林(Mindlin)公式為根據的地基中垂直應力的計算公式[J].土木工程學報，1957，4(4):485-496.

[7]艾志勇，楊敏.廣義Mindlin解在多層地基單樁分析中的應用[J].土木工程學報，2001，34(2):89-95.

[8]周罡，林蔭.用Mindlin應力解求單樁沉降的方法[J].地下空間，2001，21(3):173-177.

[9]MINDLIN R D. Force at a point in the interior of a semi-infinite solid[J]. Physics， 1936，7(5):195-202.

Research on Pile Radius Influence on the Coefficient of Mindlin Additive Stress

GUO Shuai-jie1，2，3， SONG Xu-guo1，2， XU Zai-liang1， SUI Xiao-min1， REN Qing-chang1

(1.The Third Railway Survey and Design Institute Group Corporation， Tianjin 300251， China;

2.Laboratory of Rail Transportation Survey and Design， Tianjin 300251， China;

3.Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China)

Abstract：Based on the analytical solution of Mindlin theory for the additive stress calculation induced by point loading， relationship between pile radius and Mindlin additive stress coefficient is discussed in detail with different poisson ratio and pile length. Subsequently， the minimum influence range of pile radius under different error standard is determined， and the fitting equation of influence range is obtained accordingly. Research results indicate that the influence of the soil poisson ratio on the additive stress is at a very low level， and the greatest error is normally less then 5% if the poisson ratio value of 0.35 is applied. During the calculation of Mindlin additive stress coefficient， the minimum influence range of pile radius is mainly determined by pile radius， and would keep increasing with the increasing of the pile length. Moreover， if error standards of 1% and 5% are accepted respectively， the minimum influence range of pile radius should be 13.6 and 6.41 times of the pile radius respectively.

Key words：Mindlin method; Additive stress; Pile radius; Pile length; Influence range

作者簡介：郭帥杰(1987—)，男，工程師，在站博士后，2014年畢業于河

基金項目：中國鐵路總公司科技研究開發計劃項目(2014G003-B)

收稿日期：2015-06-08

中圖分類號：TU473.12

文獻標識碼：ADOI:10.13238/j.issn.1004-2954.2016.01.002

文章編號：1004-2954(2016)01-0008-06