基于改進共軛梯度算法的運動模糊圖像復原

龔 平

(梧州學院 信息與電子工程學院，廣西 梧州 543002)

基于改進共軛梯度算法的運動模糊圖像復原

龔 平

(梧州學院 信息與電子工程學院，廣西 梧州 543002)

文章在分析運動模糊圖像退化原理及建立復原數學模型的基礎上，應用共軛梯度法進行圖像復原，提出新的βk計算方式和基于改進共軛梯度法的運動模糊復原算法。與經典的FR方法和PRP方法等進行對比實驗，實驗表明，該文算法復原效果更好，在PSNR評價上平均獲得0.3以上的提高。應用于真實拍攝的水平運動模糊圖像復原，亦得到良好的復原效果。

共軛梯度法；運動模糊；圖像復原

0引言

運動模糊是由于拍照時相機與景物存在相對運動而造成的，是成像過程中普遍存在的問題，對運動模糊圖像的復原已成為一個重要課題。傳統的復原方法有逆濾波算法、維納濾波算法、約束最小二乘濾波算法、概率統計算法等等。近年來，隨著最優化理論和方法的發展，越來越多的學者將最優化理論應用于圖像復原的研究中。

一般的，圖像復原過程是一個不適定或病態的反問題[1]，可以通過正則化方法進行求解，即引入評價函數對未知數x的可行解進行評價，并期望評價函數的值越小越好。典型的有Tikhonov正則化方法[2]、全變分正則化方法[3]、稀疏約束正則化方法[4]。基于Tikhonov正則化的求解方法中，共軛梯度法具有簡單高效的特點，但不同的共軛梯度算法收斂性與數值效果各不相同，帶來的復原效果也不同。最經典的共軛梯度法有FR方法、PRP方法、HS方法、DY方法、CD方法等。一般情況下，FR、CD和DY方法有較強的收斂性，HS和PRP方法卻有很好的數值實驗效果[5]。洪漢玉、陳以超等[6-7]提出的共軛梯度優化的迭代運動模糊圖像復原算法，基于經典的FR方法和精確的線性搜索進行迭代計算，算法具有較強的魯棒性；Zhang等[8]提出基于Tikhonov的迭代共軛梯度正則化(ICGR)方法應用于圖像復原，算法可行有效；閻雪飛等[9]提出基于邊界條件的預處理共軛梯度運動模糊圖像復原算法，有效提高了復原的圖像質量。近年來，圍繞共軛梯度法中βk的計算及算法的全局收斂性，也有不少的學者從純數學的角度進行了研究，如文獻[10]—[14]等。

本文首先分析了運動模糊圖像復原模型，基于Tikhonov正則化方法，將復原問題變換為求解l2范數的最小值問題，再基于共軛梯度算法的基本思想進行求解。針對經典FR方法數值效果和PRP方法收斂性方面的不足，嘗試改進共軛梯度法，提出新的βk計算方式并在此基礎上提出基于改進共軛梯度法的運動模糊圖像復原算法。在同等條件下，與經典的FR方法、PRP方法及其他修正共軛梯度方法進行了對比實驗，實驗表明，本文的算法具有更好的復原效果，在PSNR客觀評價上比其他方法平均獲得0.3以上的提高。為了檢測本文算法的魯棒性，對真實拍攝的水平運動模糊圖像進行了復原，復原結果令人比較滿意。

1運動模糊復原模型

1.1 運動模糊退化過程

設f(x,y)表示原始圖像，H(x,y)表示運動模糊的退化模型即點擴散函數PSF，g(x,y)表示觀察到的運動模糊圖像。考慮加性噪聲的情況下，運動模糊的形成過程可表示為：

Hf+n=g

在不考慮噪聲的情況下，勻速直線運動模糊的形成過程可表示為：

Hf=g

運動模糊圖像復原的目標就是從觀察到的模糊圖像g設法獲得較為清晰的圖像f。

1.2運動模糊參數

進行運動模糊復原時必需要知道的兩個關鍵參數分別是運動方向和模糊長度。通過基于運動模糊圖像頻譜特征的方法或者基于圖像微分和自相關函數的方法可以獲知運動方向和模糊長度，此外還可以通過基于方向微分算子的方法獲知運動方向。

在實際應用中，邊界像素條件也至關重要。常用的邊界條件有：零邊界條件、周期邊界條件和反射邊界條件(也稱Neumann邊界條件)。選擇不同的邊界條件對復原效果有明顯的影響。

通過在模糊圖像g上施加相應的運算操作得到運動方向、模糊長度的估計值之后，再對邊界條件進行假設，從而建立退化模型H。

1.3 復原模型

從g復原f一般是一個病態的反問題。利用Tikhonov正則化策略，變換為求解l2范數的最小值問題：

(1)

令式(1)的導數為0，可得：

HT(g-Hf)+αLTLf=0

(2)

整理得到：

(HTH+αLTL)f=HTg

(3)

設A=HTH+αLTL，則A為正定對稱矩陣。同時，設X=f，b=HTg，式(3)則簡化成：

AX=b

(4)

求解方程(4)等價于求解最小化泛函J(X)：

(5)

通過共軛梯度法對式(5)進行求解，滿足誤差條件或迭代條件的最優解即為復原的圖像。

2共軛梯度復原算法

2.1 經典的共軛梯度算法

共軛梯度法一般采用如下所示的公式計算搜索方向：

(6)

其中gk表示J(Xk)的梯度J(Xk)，

所以有 gk=J(Xk)=AXk-b

不同的βk計算方式得到不同的共軛梯度法，經典的FR方法、PRP方法中βk計算公式如下所示：

(7)

(8)

2.2修正的共軛梯度算法

文獻[10]提出了一種新的修正的共軛梯度法，在近年來諸多的修正算法中比較有代表性，其在精確搜索步長規則下證明了算法的全局收斂性。該方法具有較好的數值效果和較強的收斂性，其中βk計算公式如下所示：

(9)

上述共軛梯度方法應用于水平運動模糊圖像的復原，都能得到評價較好的復原效果，但收斂性和數值效果有較大差異。

3本文改進的共軛梯度算法

圖gk-1隨迭代次數增加而緩慢趨于0

文獻[15]利用Gram-Schmidt正交化思想提出一種修正的共軛梯度方法，搜索方向具有充分下降性質且不依賴于線性搜索與βk的選擇，其搜索方向計算公式如下：

(10)

本文嘗試提出一種新的βk計算公式，如式(11)所示，結合文獻[15]的dk，使搜索方向具有充分下降性。在此基礎上，提出基于改進共軛梯度法的運動模糊圖像復原算法，以期獲得更好的運動模糊復原效果。

(11)

βk的計算結果應為標量。對于二維矩陣形式的圖像，應用式(11)計算βk時，需要先將gk、dk、gk-1等n*n的矩陣轉換成 (nn)*1的向量形式，再參與計算。

本文算法具體描述如下：

STEP1 初始化：取X1=0，β0=0，精度要求ε=1e-7，梯度g1=-b，搜索方向d1=-g，k=1。設置α和最大迭代次數Max，如α=0.0002，Max=10000；

STEP2 通過式(10)計算dk；

STEP3 精確線性搜索計算步長λk。以(nn)*1的向量形式提取n*n的矩陣gk、dk中的數據，計算標量形式的λk：

STEP4 更新X與g：

Xk+1=Xk+λkdk

gk+1=J(Xk+1)=AXk+1-b

STEP5 通過式(11)計算βk；

STEP6 如果‖gk+1‖2≤ε則停止迭代，輸出Xk+1；否則k←k+1，如果k

4實驗結果與分析

對于水平運動模糊，假設模糊長度已知或通過計算可得。本文選用經典圖像Lena、Cameraman進行實驗，在MATLAB R2013a中進行了大量的不同模糊長度的運動模糊圖像復原仿真實驗。在同等條件下，與基于FR的復原方法、基于PRP的復原方法和基于文獻[10]的復原方法等進行了對比實驗。部分實驗結果如圖2所示。實驗中L選取如下所示的拉普拉斯算子，ω=0.0039。

(a)原圖像 (b)運動模糊圖像len=50

(c)經典的FR方法 (d)經典的PRP方法

(e)文獻[10]的方法 (f) 本文方法

(g)原圖像 (h)運動模糊圖像len=50

(i)經典的FR方法 (j)經典的PRP方法

(k)文獻[10]的方法 (l) 本文方法

采用峰值信噪比(PSNR)評價復原圖像質量，該值越大說明圖像質量越好。實驗結果的PSNR如圖3和表1、表2所示。

圖3 不同算法的PSNR

表1 Lena圖像復原效果的PSNR評價

算法Len=25Len=30Len=35Len=40Len=45Len=50經典FR40.355432.647134.508531.273429.002336.7964經典PRP41.128532.894034.641631.465029.070638.6089文獻[10]40.382632.553734.522131.361629.015838.0405本文方法41.215533.170735.142331.668729.675439.2135

表2 Cameraman圖像復原效果的PSNR評價

算法Len=25Len=30Len=35Len=40Len=45Len=50經典FR38.021831.708234.381631.218631.319435.8589經典PRP38.768932.079834.538531.531431.358936.4664文獻[10]38.060631.781834.397231.356231.329235.8912本文方法38.789232.644534.691531.752931.856236.8352

從表1、表2中可以看出，在不同模糊長度下，本文方法比經典的FR方法、PRP方法、文獻[10]方法復原效果的PSNR評價值高。高出的PSNR平均數值如表3所示。

表3 本文方法比其他方法平均高出的PSNR

算法LenaCameraman經典FR0.91710.6768經典PRP0.37960.3043文獻[10]0.70160.6256

為了進一步驗證本文算法的魯棒性，對真實拍攝的水平運動模糊圖像進行了復原實驗。通過基于圖像微分和自相關函數的測量方法得到模糊長度的估計值，利用反射邊界條件建立退化模型H，考慮到拍攝設備的硬件噪聲及真實環境中的不可預知因素，L選擇高斯-拉普拉斯算子，如下所示。

復原效果如圖4所示。其中，圖4(a)得到的模糊長度估計值是21個像素，圖4(c)的模糊長度估計值為48個像素。

(a)水平運動模糊的圖書封面(b)本文算法復原效果

(c)水平運動模糊的壁畫 (d)本文算法復原效果

5收斂性分析

參數α、ω的取值大小不同會產生不同的復原效果，實驗中α、ω選的很小，因此影響了‖gk‖2的收斂速度。此外，L選擇單位矩陣或拉普拉斯算子或高斯-拉普拉斯算子，也會因為不同的計算量對算法的運行時間產生影響。

在同等條件下，FR方法、PRP方法、文獻[10]的方法以及本文方法應用于水平運動模糊圖像復原，最大迭代次數為10000次時，不同算法的‖gk‖2收斂情況如圖5所示。

(a)全局收斂情況

(b) ‖gk‖2在[0,1]區間的收斂情況

從圖5可以明顯看出，本文算法的全局收斂速度比FR方法和文獻[10]方法要快，且本文算法總體趨勢是收斂的。

6結束語

本文從βk計算方式的角度對共軛梯度算法進行改進，并應用于水平運動模糊圖像的復原。從仿真實驗結果可以看出，本文方法復原效果的PSNR評價較好。下一步的優化工作從兩方面進行，一是將考慮在不降低PSNR的前提下提升‖gk‖2的下降速度，以期獲得更高的算法效率。二是測試更多的真實運動模糊圖像，包括不同的模糊長度和運動方向，從實際應用的角度進一步完善本文算法。

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(責任編輯：覃華巧)

Motion Blurred Image Restoration Algorithm Based on Modified Conjugate Gradient Method

Gong Ping

(School of Information & Electronic Engineering, Wuzhou University, Wuzhou 543002, China)

Based on the analysis of the degradation principle and establishment of the math model, this paper applies conjugate gradient method into motion-blurred image restoration and proposes a new method to compute βkand a motion blurred image restoration algorithm based on modified conjugate gradient method. A contrast experiment between the proposed algorithm and the classical FR and PRP has been made and the results show that the proposed algorithm has a better restoration effect, with more than 0.3 PSNR value in average being achieved. When applied to real horizontal motion blurred image restoration, it also provides a good restoration effect.

Conjugate gradient; Motion blur; Image restoration

2016-09-30

國家自然科學基金項目(61562074)；廣西自然科學基金項目(2014GXNSFBB118005)；廣西高校科學技術項目(YB2014356)；廣西高校中青年教師基礎能力提升項目(KY2016YB438)；梧州學院重點項目(2012B004)

TP391

A

1673-8535(2016)06-0001-08

龔平(1981-)，女，廣西靈川人，梧州學院信息與電子工程學院副教授，碩士，主要研究方向：圖像處理。