“一題多解與一題多變”在培養(yǎng)學(xué)生思維能力中的應(yīng)用

康澤鵬

（寧夏回族自治區(qū)中寧縣第一中學(xué)）

“一題多解與一題多變”在培養(yǎng)學(xué)生思維能力中的應(yīng)用

康澤鵬

（寧夏回族自治區(qū)中寧縣第一中學(xué)）

數(shù)學(xué)教學(xué)要注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，“一題多解與一題多變”在培養(yǎng)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，特別是發(fā)散思維能力方面得到許多專(zhuān)家和教師的肯定。闡述了“一題多解與一題多變”在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力方面的重要性及應(yīng)用方法。

高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思維；能力培養(yǎng)

在高中數(shù)學(xué)課標(biāo)中，要求數(shù)學(xué)教師注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，并把它作為重要的教學(xué)內(nèi)容。培養(yǎng)思維能力，既能提高學(xué)生的理解能力，又能提高學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，還能提高教學(xué)效益。“一題多解與一題多變”是培養(yǎng)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，特別是發(fā)散思維能力的好方法。數(shù)學(xué)教師在講解數(shù)學(xué)例題時(shí)，不僅要講解題方法，最重要的是教給學(xué)生如何正確理解題意，抓住解題的關(guān)鍵，如何開(kāi)拓解題思路，也就是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

一、“一題多解與一題多變”的教學(xué)價(jià)值

1.“一題多解”的教學(xué)價(jià)值

“一題多解”就是從多個(gè)視角去分析思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，用多種方法途徑去解答數(shù)學(xué)問(wèn)題。這種方法可以拓寬解題思路，增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用多種方式多種方法解題和靈活多變的思考方式，而靈活的思維方式正是創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)。教師在教學(xué)中，要運(yùn)用“一題多解”的方式進(jìn)行教學(xué)，就要培養(yǎng)學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)善于從多角度觀察感知和思考問(wèn)題，運(yùn)用多種方法推導(dǎo)驗(yàn)證問(wèn)題，多方面尋找運(yùn)用關(guān)聯(lián)條件，不但要考慮條件本身，還要考慮條件之間的聯(lián)系，用多種方式進(jìn)行表述，只有這樣才能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性。

2.“一題多變”的教學(xué)價(jià)值

“一題多變”是指在數(shù)學(xué)解題練習(xí)中，將原來(lái)數(shù)學(xué)題目中的一些已知條件進(jìn)行變換，或者把要求解答的問(wèn)題與題目一個(gè)或者幾個(gè)條件變換后，再去求解問(wèn)題的結(jié)果；也可能是給出問(wèn)題的部分條件，讓學(xué)生去補(bǔ)充另外一些條件；也可能是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的拓展，增加問(wèn)題的難度或背景來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維能力。采用“多變”的方式進(jìn)行教學(xué)，主要是對(duì)數(shù)學(xué)例題或習(xí)題進(jìn)行多種變換，讓學(xué)生從不同方面、不同情形、不同層次下對(duì)該數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行重新求解或認(rèn)識(shí)。它是教學(xué)反思的一種方式，它要求學(xué)習(xí)者從出題人的視角去看問(wèn)題，并對(duì)原來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題有一個(gè)深刻的理解，才能做到“多變”。“多變”解題能培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、歸納類(lèi)比、概括抽象、運(yùn)算能力、空間想象、構(gòu)建與反思等多種數(shù)學(xué)思維能力。

二、“一題多解與一題多變”在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力上的應(yīng)用

1.培養(yǎng)開(kāi)放性思維方式

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)數(shù)學(xué)解題，搞“題海戰(zhàn)術(shù)”僅能得到“一對(duì)一”的解題方法和思路，不是科學(xué)的解題方法。正確的做法應(yīng)該是“少而精”，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究和解答要學(xué)會(huì)舉一反三，要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用開(kāi)放性思維的方式來(lái)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題。運(yùn)用“一題多解與一題多變”教學(xué)，能培養(yǎng)學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。例如，運(yùn)用“一題多解”來(lái)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d。

方法一：a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d…an=a1+（n-1）d。

方法二：根據(jù)定義可得，an-an-1=d，an-1-an-2=d，an-2-an-3=d…a2-a1=d，把上面的等式兩邊累加，得到式子an-a1=（n-1）d，變形即得到通項(xiàng)公式。以上方式在推導(dǎo)公式中，可以讓學(xué)生學(xué)到不同的方法和思路，有利于拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

2.提高分析問(wèn)題的能力

對(duì)于數(shù)學(xué)題，運(yùn)用“一題多解與一題多變”方式進(jìn)行解答，從不同視角思考能得到不同解決方法，能拓展思維能力和提高分析解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)變能力。例如，已知a，b≥0且a+b=1，求a2+b2的取值范圍。此題解答方法很多，可以讓學(xué)生從不同的角度去思考問(wèn)題，從而提高分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

方法一：（函數(shù)方法）因?yàn)閍+b=1，得b=1-a，則a2+b2=a2+（1-a）2=2a2-2a+1=2（a-1/2）2+1/2，因?yàn)閍∈［0，1］，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：當(dāng)a=1/2時(shí)，a2+b2的最小值是1/2；當(dāng)a=0或1/2時(shí)，a2+b2最大值為1。

方法二：（三角換元法）根據(jù)題目給出的條件a，b≥0，a+b=1，則假設(shè)a=cos2φ，b=sin2φ，其中φ∈［0，π/2］，則a2+b2=cos4φ+sin4φ=（cos2φ+sin2φ）2-2cos2φsin2φ=1-1/2（2sinφcosφ）2=1-1/2sin22φ=1-1/2（1-cos4φ）/2=3/4+1/4cos4φ，分析：

當(dāng)cos4φ=-1時(shí)，a2+b2得最小值1/2；當(dāng)cos4φ=1時(shí)，a2+b2得最大值1。

此外，此題還可用對(duì)稱(chēng)換元、基本不等式、數(shù)形結(jié)合方法等方法進(jìn)行求解。

總之，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是素質(zhì)教育的一項(xiàng)重要任務(wù)，運(yùn)用“一題多解與一題多變”是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的好方法，教師在日常教學(xué)中應(yīng)多加運(yùn)用，以提高學(xué)生的思維創(chuàng)新能力。

李向臣.一題多解與一題多變培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010（4）.

·編輯 溫雪蓮