探尋有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)——“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”教學(xué)實(shí)踐與點(diǎn)評(píng)

江蘇南京市月苑第一小學(xué)（210028）魏俊晨江蘇南京市長(zhǎng)江路小學(xué)（210018）周衛(wèi)東

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探尋有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)——“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”教學(xué)實(shí)踐與點(diǎn)評(píng)

江蘇南京市月苑第一小學(xué)（210028）魏俊晨
江蘇南京市長(zhǎng)江路小學(xué)（210018）周衛(wèi)東

［摘要］“小研究”學(xué)習(xí)材料能幫助學(xué)生理清學(xué)習(xí)和研究的方法，激活學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)。以“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”為例，闡述學(xué)生在“小研究”學(xué)習(xí)材料的引領(lǐng)下，通過獨(dú)立思考、合作交流和自主歸納，獲得知識(shí)，最終實(shí)現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí)。

［關(guān)鍵詞］“小研究”學(xué)習(xí)材料公倍數(shù)和最小公倍數(shù)教學(xué)實(shí)踐數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

“小研究”學(xué)習(xí)材料作為自主學(xué)習(xí)的載體，能幫助學(xué)生理清學(xué)習(xí)方法和研究方法，促使他們自主探究，并在互動(dòng)交流中解決問題、獲取知識(shí)。這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不但能促進(jìn)學(xué)生迅速成長(zhǎng)，還能讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí)。下面以“公倍數(shù)和最小公倍數(shù)”為例，談在教學(xué)中運(yùn)用“小研究”學(xué)習(xí)材料的實(shí)踐與思考。

一、多法探求：自主中尋求突破

【教學(xué)片斷1】認(rèn)識(shí)公倍數(shù)的概念后——

師：請(qǐng)大家一起研究找兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的方法。

（出示學(xué)習(xí)要求；學(xué)生小組合作，嘗試著完成小研究）

6和9的公倍數(shù)有哪些？

1．寫一寫：找出6和9的公倍數(shù)，把找的過程在作業(yè)紙上寫出來。

2．說一說：在小組里和小伙伴們說一說找公倍數(shù)的方法。

3．想一想：你還有什么發(fā)現(xiàn)？

小研究

師：通過剛才的研究，你有沒有什么要和大家交流的？

生1：我用列舉法找6和9的公倍數(shù)，我先列舉6的倍數(shù)，再列舉9的倍數(shù)，在這個(gè)基礎(chǔ)上找它們公有的倍數(shù)。

生2：我也是用列舉法求6和9的公倍數(shù)。不過我是先列舉6的倍數(shù)，再?gòu)?的倍數(shù)中找出9的倍數(shù)。這樣的數(shù)就是它們公有的倍數(shù)。

生3：我贊同先寫出其中一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，再?gòu)闹姓页隽硪粋€(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法。不過我認(rèn)為我的方法更簡(jiǎn)便一些。我是先把9的倍數(shù)列舉出來，再在其中找6的倍數(shù)。

師：這三種方法有什么相同和不同的地方？

生4：三種方法都采用了列舉的方法，在找兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)時(shí)，都是先從小到大列舉并確保沒有遺漏，再找出相同的數(shù)。雖然列舉的方法不同，但結(jié)果一樣。

生5：我覺得先列舉較大數(shù)的倍數(shù)，從中再找較小數(shù)的倍數(shù)，能更快一些。

師：同學(xué)們?cè)谡覂蓚€(gè)數(shù)的公倍數(shù)時(shí)，需要根據(jù)具體情況選擇方法，但不管哪種方法，找出來的公倍數(shù)應(yīng)該是相同的。還有其他方法嗎？

生6：我利用百數(shù)表，先圈出了6的倍數(shù)，再圈出了9的倍數(shù)，然后找出共同圈出的那幾個(gè)數(shù)，就是6和9的公倍數(shù)。

生7：我是在數(shù)軸上找的，我也找到了6和9的倍數(shù)。

生8：我在預(yù)習(xí)的時(shí)候查到了兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)可以用“韋恩圖”來表示。

師：老師也帶來了你提到的“韋恩圖”，請(qǐng)你給大家介紹一下。

生8：我們先畫兩個(gè)橢圓，兩個(gè)橢圓有一部分相交在一起。相交的部分填的是6和9的公倍數(shù)。這一部分里的數(shù)是6的倍數(shù)，但不是9的倍數(shù)；這一部分里的數(shù)是9的倍數(shù)，但不是6的倍數(shù)。

師：大家聽明白了嗎，還有什么要補(bǔ)充的？

生9：兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)嗎？

生10：可以借助韋恩圖回答生9的問題。從圖中可以清楚地看出18是6和9的公倍數(shù)中最小的一個(gè)，其他的公倍數(shù)都是18的倍數(shù)。

生11：你的回答是對(duì)的。18是6和9的最小公倍數(shù)，其他公倍數(shù)一定是最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

生12：兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)一定是最小公倍數(shù)的倍數(shù)。我還可以再舉一個(gè)例子證明。如6和10的最小公倍數(shù)是30，60、90也是6和10的公倍數(shù)，60和90也是30的倍數(shù)。

生13：在今天的研究中，我發(fā)現(xiàn)可以找到兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，但找不到兩個(gè)數(shù)的最大公倍數(shù)。

生14：我贊同生13的觀點(diǎn)，因?yàn)槊總€(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)都是無(wú)限的，所有兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)肯定有無(wú)數(shù)個(gè)，沒有最大公倍數(shù)這個(gè)說法。所以畫“韋恩圖”時(shí)，省略號(hào)不能丟掉。

生15：兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)和它們的最大公因數(shù)存在密切的關(guān)系，兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)一定是它們的最大公因數(shù)的倍數(shù)。

……

在這個(gè)教學(xué)片斷中，學(xué)生進(jìn)行了探究、討論、發(fā)現(xiàn)、交流、補(bǔ)充等活動(dòng)。探求兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)就是運(yùn)用已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問題，建立新概念的過程。學(xué)生已經(jīng)在之前的學(xué)習(xí)中建立了倍數(shù)和因數(shù)的概念，會(huì)求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，“小研究”學(xué)習(xí)材料恰好提供了激活學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的平臺(tái)，因此呈現(xiàn)出精彩紛呈的學(xué)習(xí)成果。在這個(gè)過程中，教師退居到幕后，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試、驗(yàn)證，使學(xué)生主動(dòng)參與并沉浸在探究新知的過程中，獲得對(duì)公倍數(shù)意義的深刻理解，體驗(yàn)獲取新知所帶給他們的快樂。匯報(bào)并展示后的比較，再次啟發(fā)學(xué)生對(duì)探究活動(dòng)中獲得的認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行梳理，弄清不同方法之間的聯(lián)系與區(qū)別，突出了對(duì)公倍數(shù)意義和找公倍數(shù)方法的理解和掌握。韋恩圖的呈現(xiàn)，更簡(jiǎn)要地揭示了兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)、公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的關(guān)系，有利于強(qiáng)化學(xué)生對(duì)找兩個(gè)數(shù)公倍數(shù)方法的理解，提升了學(xué)生的思維品質(zhì)。

二、辨析明理：比較中尋求規(guī)律

【教學(xué)片斷2】學(xué)生初步建立最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)的概念后——

（教師出示學(xué)習(xí)要求；學(xué)生分小組活動(dòng)）

小研究

5和15；21和7；3和5；8和9；11和33；60和12；4和15；12和1；10和15；4和6。

1．寫出每組數(shù)的公倍數(shù)（至少三個(gè)）。

2．找出每組數(shù)的最小公倍數(shù)。

3．討論：

（1）它們的最小公倍數(shù)各有什么特點(diǎn)？

（2）如果要把這幾組數(shù)分一下類，你認(rèn)為可以怎樣分？

（3）你有什么發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)?jiān)谛〗M里交流你的發(fā)現(xiàn)。

師：找到其中的規(guī)律了嗎？誰(shuí)來和全班同學(xué)分享一下你的研究成果。

生1：我是這樣分的：5和15、21和7、11和33、60和12、12和1為一類；3和5、8和9、4和15為一類；4和6、10和15為一類。你們覺得我分得有道理嗎？請(qǐng)大家提問題。

生2：你將5和15、21和7、11和33、60和12、12和1歸為一類，是不是因?yàn)檫@里的每組數(shù)之間都存在倍數(shù)關(guān)系，所以存在倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是其中的較大的數(shù)？

生3：我確實(shí)是這樣考慮的。大家知道我為什么將3 和5、8和9、4和15歸為一類嗎？

生4：我也發(fā)現(xiàn)3和5是互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的積。我還發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)的積和這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的積是相等的。請(qǐng)大家課后想辦法證明我的發(fā)現(xiàn)。

生5：我來補(bǔ)充，4和6、10和15歸為一類，它們這兩組數(shù)沒有剛才兩類數(shù)的特點(diǎn)，所以單獨(dú)歸為一類。

生6：我還發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)一定是這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積；相鄰的兩個(gè)自然數(shù)，比如，8和9、9和10，它們都是互質(zhì)的，它們的最小公倍數(shù)也一定是它們的乘積。

……

怎樣讓學(xué)生經(jīng)歷自主探索和合作交流的過程，并在這一過程中獲得更多的自主發(fā)展機(jī)會(huì)與空間，使學(xué)生徜徉在有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，是教師需要認(rèn)真考慮的問題。上述教學(xué)片斷中，教師給予學(xué)生充分的探究空間，提供了觀察思考、討論研究的平臺(tái)。學(xué)生在“小研究”學(xué)習(xí)材料的引領(lǐng)下，通過獨(dú)立思考和合作交流，自主歸納出兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的一些規(guī)律，加深了對(duì)最小公倍數(shù)的理解，也為以后學(xué)習(xí)約分、通分打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。其間，學(xué)生還展開了富有個(gè)性的思考，提出了有價(jià)值的猜想，同時(shí)要求其他同學(xué)課后去想辦法研究……這些精彩瞬間，無(wú)不彰顯著“小研究”學(xué)習(xí)材料在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中所發(fā)揮的作用，這種作用，不只表現(xiàn)在“問題串”對(duì)學(xué)生的啟發(fā)和引導(dǎo)上，更在于其為學(xué)生提供了相對(duì)獨(dú)立的思考和探索空間，使他們得以展開富有個(gè)性的思考，而這往往又是課堂上僅通過師生對(duì)話難以實(shí)現(xiàn)的。

三、靈活運(yùn)用：分層中尋求超越

【教學(xué)片斷3】

習(xí)題1熊大和熊二都去參加跑步訓(xùn)練。熊大每4天去一次，熊二每6天去一次。1月1日兩人同時(shí)參加了跑步訓(xùn)練，哪一天他們又再次相遇？

（學(xué)生用多種方法找出答案，教師組織反饋和講評(píng)）

師：他們?cè)俅蜗嘤鰬?yīng)該是幾月幾日？你是怎樣思考的？

生1：4和6的公倍數(shù)依次是12、24……再次相遇的時(shí)間是1月13日。

習(xí)題2“光頭強(qiáng)”在林場(chǎng)伐木頭。伐好的木頭，如果6根排成一排，正好排完；如果7根排成一排，也剛好排完。他至少要伐多少根木頭？

師：求他至少要伐多少根木頭，就是求什么？你能很快找到答案嗎？

生2：求他至少要伐多少根木頭，就是求6和7的最小公倍數(shù)，6和7是互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)，所以，至少要伐42根。

習(xí)題3為了阻止光頭強(qiáng)砍樹，熊大從“光頭強(qiáng)”的門口開始，每隔10米給光頭強(qiáng)設(shè)置了一個(gè)陷阱。“光頭強(qiáng)”認(rèn)為，他穿上彈力鞋從門口開始，每次跳3米，就不會(huì)掉下去。你認(rèn)為呢？

師：你認(rèn)為“光頭強(qiáng)”有永遠(yuǎn)不掉下陷阱的策略嗎？

生3：沒有，無(wú)論每次跳多遠(yuǎn)，都能找到這個(gè)數(shù)與10的最小公倍數(shù)。

習(xí)題4第二天，熊大又設(shè)置了新的陷阱，“光頭強(qiáng)”也吸取了教訓(xùn)，他調(diào)整了彈力鞋，每次跳4米。不幸的是，他在12米處就掉進(jìn)陷阱了。想一想，熊大可能是每隔多少米設(shè)置了一個(gè)陷阱？

生4：在12米掉進(jìn)了陷阱，說明每?jī)蓚€(gè)陷阱之間的距離是12的因數(shù)。12的因數(shù)有1、2、3、4、6、12這6個(gè)，所以，陷阱之間間隔的米數(shù)可能是這6個(gè)數(shù)中的一個(gè)。

……

練習(xí)的設(shè)計(jì)力圖體現(xiàn)題材的趣味性和知識(shí)的層次性與結(jié)構(gòu)性，用所學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題，學(xué)生就能夠帶著興趣進(jìn)行分析與交流、討論與計(jì)算，在交流的過程中暴露出不同的思維過程，在思維的碰撞中糾正、融合，從而達(dá)成共識(shí)。“跑步訓(xùn)練”問題為學(xué)生提供了多層次的思考方式，或借助月歷列舉，或通過表格列舉，或直接求4和6的最小公倍數(shù)，這些都能滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，使學(xué)生進(jìn)一步獲得對(duì)找兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的豐富體驗(yàn)，感受兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的應(yīng)用價(jià)值。“排木料”問題能夠讓學(xué)生自覺應(yīng)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題，有利于學(xué)生更好地掌握求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法，培養(yǎng)了學(xué)生分析和解決問題的能力。“陷阱”問題更是在呈現(xiàn)問題的同時(shí)留下懸念，引導(dǎo)學(xué)生自覺從數(shù)學(xué)的角度展開思考討論，促使學(xué)生準(zhǔn)確把握現(xiàn)實(shí)問題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，加深學(xué)生對(duì)最小公倍數(shù)的理解，讓學(xué)生發(fā)展思維能力，提升學(xué)習(xí)能力。

（責(zé)編金鈴）

［中圖分類號(hào)］G623.5

［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A

［文章編號(hào)］1007-9068（2016）08-004