酉空間兩類標準正交基的同步構造方法

劉玲

（韶關學院數學與統計學院，廣東韶關512005）

酉空間兩類標準正交基的同步構造方法

劉玲

（韶關學院數學與統計學院，廣東韶關512005）

利用矩陣奇異值分解技術給出兩個酉空間特殊標準正交基的同步構造方法.

奇異值分解；酉空間；標準正交基

標準正交基是酉空間［1］的重要概念之一，選取簡單的標準正交基對于簡化研究過程、降低推導難度有著重要的意義.在研究子空間、正交投影以及廣義逆［2］的擾動規律時，往往還需要對多個酉空間同時進行討論，怎樣對多個酉空間進行同步的酉變換，從而找出簡單的標準正交基，是一個非常有意義的問題.

本文利用矩陣奇異值分解技術，給出同步尋找兩個酉空間特殊標準正交基的酉變換方法，結果表明：可以使用矩陣奇異值信息構造出形式較為簡單的標準正交基.

在后續討論中，用AT表示矩陣A的轉置，AH表示矩陣A的共軛轉置，diag(x)表示以向量x的分量為對角元的對角矩陣，Im表示m階單位矩陣，rank(A)表示A的秩.

1 預備知識

先回顧矩陣奇異值分理論的相關概念和結果.

定義1［3］設A∈Cn×n.AHA的特征值的非負平方根稱為A的奇異值；A的奇異值的全體記為σ(A).

引理1［3］（奇異值分解定理）設A∈Cm×n，且rank(A)=r，則存在酉矩陣U∈Cm×m，V∈Cn×n，使得：

其中Σr=diag(σ1，…，σr)，σ1≥…≥σr＞0.

2 主要定理及證明

定理設L和V是Cn中兩個k維子空間，1≤k≤n，則存在酉變換U，使得：

(1)當2k≤n時，(Ik0)T和(C D 0)T分別為UL和UV的標準正交基，其中：

證先證明(1).

分別取L和V的兩個標準正交基A1=(α1,α2,…,αk),B1=(β1,β2,…,βk).由基擴張定理，存在A2=(αk+1,αk+2,…, αn),B2=(βk+1,βk+2,…,βn)，使得：

是Cn的標準正交基.令：

顯然M也是酉矩陣，由奇異值分解定理，存在酉矩陣Q11和R11，使得QH11M11R11=C，其中C=diag(c1,c2,…, ck)，0≤c1≤c2≤…≤c2＜cs+1=…=ck=1.

這表明M21R11的前s列是相互正交的，將其單位化并擴充為Cn-k中的標準正交基后可得酉矩陣Q^22，此時有：

類似地，存在酉矩陣R22，使得：

結合(1)～(4)式可得：

其中Ds=diag(d1,d2,…,ds).顯然F是酉矩陣，因此有F33=Cs，而F34、F35、F43、F53都是零矩陣.記：

綜上易得：

(5)式表明，(Ik0)T和(CD0)T分別為UL和UV的標準正交基.

對于(2)式,注意到2k≤n等價于2(n-k)≥n，把k替換為n-k，則(6)式給出了2k≥n時UL和UV的標準正交基：

將它們前n-k行變號，并通過適當的置換后仍然是標準正交基，即結論(2)是成立的.證畢.

3 結語

定理1的幾何意義是對于任意給定的兩個維數相同的酉空間，可以對它們同時進行相同的酉變換U，從而找到(5)式和(6)式所示的簡單標準正交基.同時，U的構造方式以及最終標準正交基的計算公式從定理1的證明過程中都可以得到.

［1］孫繼廣.矩陣擾動分析[M].北京:科學出版社，2001.

［2］Golub G H，Van Loan C F.Matrix Computations[M].London:The Johns Hopkins University Press,1989.

［3］徐樹方.矩陣計算的理論與方法[M].北京:北京大學出版社，1995.

Synchronous Construction Method for the Two Types of Normal Orthogonal Basis in Unitary Space

LIU Ling
（School of Mathematics and Statistics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

The synchronous construction method for the special normal orthogonal basis of two unitary spaces is given by the technique of singular value decomposition.

singular value decomposition;unitary space;normal orthogonal basis

O151.21

A

1007-5348（2016）12-0001-03

（責任編輯：邵曉軍）

2016-10-07

劉玲（1981-），女，湖南永州人，韶關學院數學與統計學院講師，碩士；研究方向：應用數學.