關于近世代數(shù)教學的幾點體會

熊騰飛

（韶關學院信息科學與工程學院，廣東韶關512005）

關于近世代數(shù)教學的幾點體會

熊騰飛

（韶關學院信息科學與工程學院，廣東韶關512005）

近世代數(shù)是本科數(shù)學專業(yè)的一門重要基礎課，許多學生在學習的過程中感覺難學難懂.為更好地引導學生學好近世代數(shù)，提高他們的數(shù)學素養(yǎng)，提高教學效果，從概念的講解、如何上好習題課、培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力和良好的學習意志品質的角度出發(fā)，給出了一些在教學實踐中行之有效的方法和技巧.

近世代數(shù);教學;概念;群

近世代數(shù)是以代數(shù)系統(tǒng)為研究對象的一門學科，是專業(yè)基礎課高等代數(shù)的直接后續(xù)課，是代數(shù)系列的主干課程，幾乎所有本科院校數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的學生都要學習該課程.本科階段的近世代數(shù)課程，是學生進一步學習代數(shù)學的重要先行課，為有限群論、交換代數(shù)、模論等課程的學習打下必要的數(shù)學基礎.在學習的過程中，學生掌握近世代數(shù)的基本知識、基本理論以及基本的計算、證明方法，可以很好地幫助他們提高數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)他們的邏輯推理、抽象思維能力.然而，近世代數(shù)課程的理論是相當抽象而且枯燥的，這使得許多學生在學習的過程越來越缺乏信心和興趣，嚴重影響了學習效果.近年來，許多數(shù)學專業(yè)一線教育工作者對這門課程的教學進行了研究：他們論述了近世代數(shù)課程的意義、地位和作用，概括了近世代數(shù)課程的主要特點，闡述了各自在近世代數(shù)課程教學實踐中幾點有益的教學嘗試，提出了近世代數(shù)課堂開拓學生思維以及培養(yǎng)他們解決問題能力的方法［1-9］，得出了一系列很好的成果，教學理論也越來越豐富.本文從近世代數(shù)課堂教學中概念的講解、如何上好習題課、培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力和良好的學習意志品質的角度出發(fā)，總結了一些在教學實踐中的行之有效的方法和技巧，旨在引導學生更加高效地投入到近世代數(shù)的學習當中，從而提高教學的效果.

1 近世代數(shù)概念的講解

和本科階段的其他數(shù)學學科一樣，近世代數(shù)包含大量的概念，不僅如此，它的每個定義都擁有深刻的內涵，運用十分廣泛.近世代數(shù)教材的傳統(tǒng)結構框架是從公理體系出發(fā)，沿著“定義——假設——定理——證明——推論——例題”這一條演繹道路進行的［1］.在近世代數(shù)課堂上，能否把概念講清楚、講透徹，將極大地影響學生對一個甚至是幾個章節(jié)所學知識的理解，因此，必須重視概念講解的環(huán)節(jié).然而，在教學實踐中，有相當一部分學生對概念的理解僅僅停留在簡單的記憶階段，他們雖然能夠熟練地背出相應的內容，但是卻不懂得如何從概念出發(fā)，解決所遇到的問題，甚至是學習了后面章節(jié)的概念，就把前面所學的概念遺忘.因此，在講解概念的過程中，必須注重講解的方式和方法，引導學生深刻地理解所學內容，拓展他們的思維，培養(yǎng)他們自主解決問題的能力.

1.1 通過例子和反例相結合的方式講解概念

近世代數(shù)中的絕大部分概念都是抽象難懂的，教師在講課過程中，既要有意識地講解一些典型的例子，又要適時舉出若干反例.通過典型的例子，學生能夠從感性出發(fā)，更好地理解概念的內涵；反例是從另外一個角度去考察所學的概念，舉反例能夠幫助學生更加全面地理解它們，幫助他們更加靈活地運用所學概念去解決遇到的問題.當學生接觸到一些較為復雜的概念時，采用例子和反例相結合的方式來講解，往往能獲得不錯的效果.

例如，在講解群的概念時，給出群的定義以后，一方面列出整數(shù)加群、非零有理數(shù)乘群等典型例子，學生從這些具體的例子出發(fā)，逐條對照群的定義中所列出來的條件，能夠有效地幫助他們理解各項條件，從而掌握群的概念；另一方面給出幾個反例，比如全體有理數(shù)對于普通乘法、全體整數(shù)對于普通減法，通過這些反例，學生從另外一個角度考察群的概念，進一步理解群的各項條件的同時，也體會到了判斷一個代數(shù)系統(tǒng)是否構成“群”的方法，有助于他們更加靈活地運用群的概念.

1.2 結合學習過的內容講解概念

近世代數(shù)每一章都有很多概念需要學習，這些概念往往又是有著緊密聯(lián)系的，隨著課程的推進，學生很可能會把前面學習過的概念遺忘，使他們對新的概念的理解產(chǎn)生影響.在講解概念的過程中，把一些學習過并且聯(lián)系緊密的內容提取出來跟當前所講解的概念作對照，既能促進學生復習學過的知識，也有利于學生掌握新的概念，達到溫故而知新的效果.

例如，在介紹環(huán)的定義時，首先要用到加群的概念，而加群實際上就是一個交換群，只不過是對代數(shù)運算的稱呼和符號做了改變.在講解加群的概念時，可以把先前學習過的群的性質拿出來跟加群做個對比，如表1所示.

表1 群和加群

通過表1可以清楚地看到一般的群與加群的聯(lián)系與區(qū)別.學生在回憶起前者的性質的同時，也能從這些性質出發(fā)，迅速掌握加群的內涵，以便進一步學習環(huán)的定義.

1.3 通過過渡語言引出概念

在近世代數(shù)的課堂上，經(jīng)常會遇到一些比較抽象的概念，學生理解起來比較困難，適時介紹一下這些概念的主要作用，往往可以吸引學生的聽課注意力，調節(jié)課堂氣氛，也可以使他們加深對所學概念的印象.例如，在介紹群的同構的概念時，可以采用過渡語言如下：群該群的一個最關鍵的要素，運算把集合中的元素很好地聯(lián)系了起來.在群論當中，經(jīng)常把“一樣”的群分為一類去研究，那么對于群G1和群G2，怎么樣才能認為這兩個群是“一樣”的呢？顯然，如果僅僅在集合G1和集合G2之間存在一個雙射f，那是完全不夠的，還要考慮這個f和兩個群的運算之間存在什么關系.

隨后，教師給出群的同構的詳細定義，學生經(jīng)過前面簡要的鋪墊，大致明白了群的同構所起的作用，會對群的同構的概念產(chǎn)生較深的印象，也能夠吸引學生進一步學習接下來的內容.

2 提高習題課的課堂效果

習題課是任何數(shù)學課程的一個重要環(huán)節(jié)，而提升學生動手解題能力，是習題課的一個重要目標.在習題課上，不能一味地教師講，學生聽，而要注意留給學生充分的思考以及動手解題的時間.有的學生在課堂上能夠聽懂所講的知識，但是在考試時卻無法準確地答題，這往往是平時動手解題較少造成的.因此，教師是習題課上，應及時提醒學生動手解題，而不要僅僅局限于聽老師講解，以達到練習的目的.

另一方面，一些學生在解答近世代數(shù)的題目時缺乏積極性，事實上，如果在習題課上布置一些開放性的題目，即列出若干命題，讓學生自行判斷對與錯，對的予以證明，錯的找出反例，往往能夠激發(fā)學生的思考熱情.

例如，給出題目：

(1)設K是群H的正規(guī)子群，H是群G的正規(guī)子群，則H是否G的正規(guī)子群？

(2)設f是群G到群G的一個同態(tài)映射，且H≤G，H≤G，若H?G，則是否f-1(H)?G？

以上兩個題目，(1)的答案為“否”，(2)的答案為“是”，在做出判斷以后，要求學生分別給出反例和證明，不確定的命題能夠激發(fā)學生的學習熱情，使他們真正參與到習題課中來，避免僅僅只是聽教師講解或者上課走神.

3 利用課堂教學培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力

能否發(fā)現(xiàn)和能發(fā)現(xiàn)多少有價值的問題是衡量一個人創(chuàng)新能力高低的重要標桿.學習近世代數(shù)課程，不能僅僅局限于掌握相關知識和解題方法，更要通過這門課程培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，而這要以善于發(fā)現(xiàn)好的問題為前提.學生在學習近世代數(shù)時會遇到有很多定理、命題，在講解某些結論的過程中，可以不必在第一時間把所有內容都展示給學生，而是從較為簡單的特殊情況出發(fā)，引導學生通過觀察，提出一般情況下的結論，然后再指導他們對得出的結論加以分析并判斷對錯.

例如，在介紹左陪集和右陪集的關系時，可以先從具體的例子出發(fā)：令G=S3,H={((1),(1,2)}≤G，寫出子群H的所有左陪集和右陪集.

在列出子群H的所有左陪集和右陪集后，學生經(jīng)過觀察，很容易就得出結論：在一般情況下，子群H的右陪集并不等于H的左陪集.此時，教師可以趁勢提問：“雖然一個子群的右陪集一般不等于左陪集，但是它們之間有沒有什么聯(lián)系？”同時，再給出的幾個不同的具體例子，讓學生去觀察，引導學生得出結論：一個子群H的右陪集的個數(shù)和左陪集的個數(shù)相等，它們或者都是無限大，或者都有限且相等.

接下來就是指導學生對以上結論進行證明.

經(jīng)過以上教學過程，既能使學生對結論本身有一個較深刻地認識，又能讓他們體會到學習近世代數(shù)的樂趣，同時也令他們實踐了“發(fā)現(xiàn)問題”的一種方法，從而提升他們的創(chuàng)新能力，對有意于將來從事理論研究工作的學生起到一定的示范作用.

4 適時鼓勵學生，培養(yǎng)學生良好的學習意志品質

德國教育家第斯多惠說過：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒、鼓舞”［2］.有的學生在遇到問題時，第一反應就是懷疑自己的學習能力，而不是迎難而上，刻苦專研，解決問題，時間久了就會失去學習的動機，這需要教師適時予以鼓勵.實際上，想要學好任何一門課程從來就不是一件輕松的事，在學習過程中，總會遇到各式各樣的困難，學習近世代數(shù)更是如此.近世代數(shù)是一門歷史悠久的學科，在其理論發(fā)展的過程中，無數(shù)數(shù)學家為此傾注了大量的心血，而有的問題是經(jīng)歷了相當漫長的時間才得以解決.例如，有限單群分類定理，歷經(jīng)數(shù)十年，前后有100多位數(shù)學家參與論證，整個結果由500多篇論文組成，才于1980年完成.教師可以告訴學生，在學習上遇到困難是再正常不過的事，同時通過一些前輩數(shù)學家不懈努力的例子，激勵學生通過自己的努力解決問題，保持學習熱情.培養(yǎng)百折不撓、勇于克服困難的學習意志品質，對學生的學習有著重要的促進作用.

5 結語

在近世代數(shù)教學過程中，必須重視對基本概念的講解，掌握基本概念是學生學好該課程的前提條件；應該充分利用習題課，使學生能夠熟練、靈活地運用所學知識去解決遇到的問題；開設近世代數(shù)課程，不僅僅為了學習知識本身，教師可以在教學過程中培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力，為他們創(chuàng)新能力的提高打下基礎;當學生在學習上的遇到困難時，應適時予以鼓勵.總之，要上好近世代數(shù)課程，必須勤于思考，用心對待.

［1］王曉,汪小黎.近世代數(shù)課程教學的改革與實踐[J].課程教育研究,2014(34):140.

［2］張振亮.互動式教學法在近世代數(shù)教學中的應用[J].蘭州教育學院學報,2015,31(6):106-107.

［3］夏靜波,鄒庭榮,張四蘭.“近世代數(shù)”的教學技巧[J].大學數(shù)學,2009,25(1):5-8.

［4］袁玉卓,王驍力.關于近世代數(shù)課程教學的一些建議[J].南陽師范學院學報,2012,11(9):90-92.

［5］張慧.《近世代數(shù)》課程教學及教學案例分析[J].當代教育理論與實踐,2016,8(1):34-36.

［6］胡江勝.關于近世代數(shù)教學的幾點思考[J].江蘇理工學院學報,2015,21(4):88-90.

［7］程曉亮.高師院校近世代數(shù)課程教學策略[J].德州學院學報,2015,31(4):92-94.

［8］陶司興.抽象代數(shù)課程教學方法研究與實踐[J].赤峰學院學報（自然科學版）,2016,32(2):239-240.

［9］韓榮梅.關于近世代數(shù)課程如何培養(yǎng)學生解決問題的能力[J].科技信息,2014(4):75.

Some Experiences of Teaching Modern Algebra

XIONG Teng-fei
（Institute of Information Science and Engineering,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

Modern algebra is an important basic course of undergraduate's specialized Mathematics,and many students feel difficult to understand in their learning.In order to instruct students learning modern algebra well, improve their mathematical literacy and the teaching effect,some effective methods and techniques in teaching practice are given from the explanation of concepts,exercise teaching,cultivating students'ability to fine questions and the excellent study will quality.

morden algebra;teaching;concept;group

G642.1

A

1007-5348（2016）12-0084-04

（責任編輯：邵曉軍）

2016-07-20

熊騰飛(1985-)，男，廣東韶關人，韶關學院信息科學與工程學院講師，碩士；研究方向：環(huán)論、代數(shù)圖論.