有限單演半群的性質

徐文鋒

（韶關學院數學與統計學院，廣東韶關512005）

有限單演半群的性質

徐文鋒

（韶關學院數學與統計學院，廣東韶關512005）

單演半群可由一個元素生成.通過對一類給定的有限單演矩陣半群進行研究，分類討論有限單演半群的格林關系，得到了一些有限單演半群的性質.

單演半群；矩陣半群；有限單演矩陣半群

半個世紀以來，半群理論得到了很好的發展.如同循環群在群論中的地位，單演半群在半群理論中也起到了很重要的作用.矩陣在理論和實際中都有很重要的意義，是一個非常重要的工具，將矩陣與半群理論相結合得到矩陣半群.矩陣半群也可以看成是半群表示理論的發展.近些年來，國內外有不少相關問題的研究，如完全單的矩陣半群，正則矩陣半群，Clifford矩陣半群等研究［1-3］.

單演半群由于其生成元僅有一個元素，結構十分簡單.本文在文獻［4］的基礎上，利用已經給出的一類有限單演矩陣半群，進行進一步的研究，得到了這類矩陣半群的格林關系以及一些新的性質.再將這些關系和性質推廣到一般的有限單演半群.

本文分三部分完成.第一部分，介紹了單演半群和矩陣半群的概念和一些已知的性質.在第二部分給出了文獻［4］中的一類單演矩陣半群的例子.在第三部分中，分類討論了這類單演矩陣半群的格林關系和性質，并將這些性質推廣到一般的有限單演半群上.

1 預備知識

本文所用到的半群代數理論的基本概念及符號，如半群、格林關系等，均與文獻［5］相同，本文將直接引用而不再一一定義.

定義1S是一個半群，如果存在S中的一個元素a,使得S={a,a2,a3,…},稱半群S是單演半群,記S=.如果序列a,a2,a3,…中不出現重復，也就是說am=an?m=n，則稱S=是一個無限單演半群.如果序列a,a2,a3,…中出現重復，即存在正整數m,r使得am=am+r成立，則稱S=是一個有限單演半群，并且把滿足條件的最小元m和r分別稱為有限單演半群S的指數和周期.

定義2（Mn（F）·）表示數域F上全體n階方陣按照通常運算構成的半群，如果S是（Mn（F）·）的子半群，則稱S為一個矩陣半群.

定義3設S是一個矩陣半群，如果存在S中的一個矩陣A使得S={A,A2,A3,…},稱半群S是單演矩陣半群.

定義4如果一個矩陣半群中每個矩陣的秩都相等，則稱它為等秩矩陣半群.此時可用其中任意一個矩陣的秩表示矩陣半群的秩.

本文主要討論有限單演矩陣半群的性質，下面給出文中需要用到的一些已知結論.

引理1S=是一個指數為m周期為的r有限單演半群，則下面結論成立［5］：

（1）am=am+r；

（2）={a,a2,…am+r-1}；

（3）ka={am,am+1,…am+r-1}是的一個循環子群；

（4）對任意的u,v∈N,am+n=am+v當且僅當u=v(modr).

引理2兩個有限單演半群同構的充分必要條件是它們有對應相等的指數和周期［5］.

引理3矩陣半群的每一個關系T=L,R,D,H,J類都是單秩的［25］.

2 一個例子

引理4設m,r是任意給出的兩個正整數，若r=1,令Jm為m階的冪等若當塊，即：

那么由Jm生成的半群是指數為m周期為1的有限單演半群S=＜Jm>;

若m=1,令Ir是主對角線上的元素全為r次單位且至少有一個本原根的對角矩陣,那么由Ir生成的半群是指數為1周期為r的有限單演半群S=＜Ir>；

3 主要結論

在引理4中，對于任意一個正整數對（m,r）,都給出了一個具體的以m為指數r為周期的有限單演矩陣半群.下面通過對這一類矩陣半群的研究，給出一些有限單演半群的性質.

性質1設S=＜a>是一個指數為m,周期為1的有限單演知半群，則S一定有零元.

證由引理4（1），利用矩陣的乘法運算法則，得到Jmm=0,故半群S=＜Jm>包含零矩陣.再由引理2，知任意一個以m為指數，1為周期的有限單演半群S=包含零元.

性質2設S=是一個以m為指數r為周期的有限單演半群，若S含有零元，則周期r=1.

證已知S=是一個有限單演半群，有指數m,周期r.由引理4，存在一個指數m,周期r的單演矩陣半群U與之同構.由于S含有零元，所以U也一定含有零元.再有引理4知，當且僅當r=1時，單演矩陣半群S=＜Jm>包含零矩陣.所以S含有零元，則周期r=1.

性質3設S=是一個指數為1,周期為r的有限單演知半群，則S是循環群.

證由引理4（2）知S=＜Ir>是一個循環矩陣群.再由引理2，得出任意一個以1為指數，r為周期的有限單演半群S=都是循環群.

性質4設S=是一個有限單演半群，若S含有單位元，則指數m=1,S=是循環群.

證已知S=是一個有限單演半群，則有指數m,周期r.由引理4，存在一個指數m,周期r的單演矩陣半群U與之同構.由于S含有單位元，所以U也一定含有單位元.再由引理4知，當且僅當m=1時，單演矩陣半群S=＜Ir>包含單位矩陣.所以S含有單位元，則m=1.矩陣半群S=＜Ir>是循環矩陣群，故S=是循環群.

性質5設S=＜Ir>是引理4（2）給出的以1為指數r為周期的有限單演矩陣，則S=＜Ir>是等秩矩陣群.

證由引理4（2），顯然有矩陣Ir的秩等于r.根據矩陣的乘法運算法則，得Irr=E，所以矩陣Irr的秩等于r.由矩陣秩的性質有r(Ir)=r(I2r)=…=r(Irr)=r.故S=＜Ir>是等秩矩陣群，并且矩陣群S=＜Ir>的秩等于r.

下面根據引理4和性質5來分類討論有限單演半群的格林關系.

定理1設S=是一個有限單演半群，m為半群S的指數,r為S的周期，則有以下結論：

（1）若r=1,則S={a,a2,…am},則S中每一個D類僅有一個元素.

（2）若m=1,則S={a,a2,…ar},則S僅有一個H類，即所有元素都在同一個H類中.

（3）若m>1且n>1,則S={a,a2,…am+r-1},則當1≤i≤m時，每一個ai屬于不同的D類中，當i≥m時，每一個ai屬于同一個D類，并且是同一個H類.

證(1)當m>1且r=1，則S=={a,a2,…am}.由引理4，有同構的單演矩陣半群顯然有矩陣Jm的秩為m-1，并且有r(Iim)=m-i，其中1≤i≤m.由引理4知每個D類都是單秩的，所以每一個元素J屬于不同的D類.因此，若r=1,則半群S={a,a2,…am}中每一個D類僅有一個元素.

(2)當r>1且m>1，則S=={a,a2,…ar}.由性質5知I=＜Ir>是等秩矩陣群.所以I僅有一個H類.所以S=={a,a2,…ar}所有元素都在同一個H類.

(3)當m>1且r>1，則S=={a,a2,…am+r-1}.由引理4，有同構的單演矩陣半群1>.顯然有矩陣的秩為=m+r-1,其中1≤i≤m.當i≥m時，=r.因此,當1≤i≤m時，每一個ai屬于不同的D類，當i≥m時，每一個ai屬于同一個D類，并且是同一個H類.

定理2設S=為一個有限單演半群，如果指數m>1,則半群S的生成元唯一.

證從引理4中的矩陣半群出發，給出定理的證明.

當m>1且r=1，則S=={a,a2,…am}.由引理4有同構的單演矩陣半群顯然有矩陣Jm的秩等于m-1，任意矩陣的秩都小于m-1，所以有矩陣的秩小于m-1，其中k為任意正整數，1≤i≤m.因此Jm?<>,其中(1＜i≤m-1).

當m>1且r>1，則S=={a,a2,…am+r-1}.由引理4有同構的單演矩陣半群顯然有矩陣Cm+r的秩為m+r-1，任意矩陣Cim+r(1＜i≤m+r-1)的秩都小于m+r-1，所以有矩陣（）k的秩小于m+r-1，其中k為任意正整數.因此有Cm+r?（）k，其中(1＜i≤m+r-1).

所以有限單演半群S=，如果指數m>1,則半群S的生成元唯一.

推論1設S=為一個有限單演半群，如果指數m>1,對任意ai∈S且ai≠a，則＜ai>是S的一個真子半群.

［1］朱用文.完全單的矩陣半群[J].數學進展，2007，36（1）：76-80.

［2］朱用文.正則矩陣半群[J].數學進展，2009，38（1）：75-78.

［3］陳大亮，朱用文.Clifford矩陣半群[J].煙臺大學學報（自然科學和工程版），2010,23(4)：251-255.

［4］喬占科.循環半群的矩陣表示[J].河西學院學報：2002(5)：10-13.

［5］John M H.Fundamentals of Semigroup Theory[M].Oxford:Oxford University Press,1995.

［6］趙雨清.單演半群的幾條性質[J].湘潭師范學院學報（自然科學版）,2004,26（1）：20-29.

Some Properties of Monogenic Semigroups

XU Wen-feng
（School of Mathematics and Statistics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

A monogenic semigroup can be generated by a singleton element.Useing a special kind of finite monogenic semigroup of matrices,it discusses their Green's ralations and obtain some new properties of finite monogenic semigroup.

monogenic semigroup;matrix semigroup;finite monogenic matrix semigroup

O152.7

A

1007-5348（2016）12-0004-03

（責任編輯：邵曉軍）

2016-11-08

徐文鋒（1983-），女，江西都昌人，韶關學院數學與統計學院講師，碩士；研究方向：半群代數.