對阿基米德鑒別王冠真偽的故事的質疑

甘志國

一、數學之神阿基米德

阿基米德（Archimedes，公元前287～公元前212），出生于西西里島的敘拉古的一個貴族家庭，與敘拉古的赫農王（King Hieron）有親戚關系，家庭十分富有。他和牛頓（Isaac Newton，1643～1727）、高斯（Carl Friedrich Gauss，1777～1855）被譽為世界三大數學家。阿基米德的父親是天文學家兼數學家，學識淵博，為人謙遜。阿基米德受家庭的影響，從小就對數學、天文學，特別是古希臘的幾何學產生了濃厚的興趣。當他剛滿十一歲時，借助與王室的關系，被送到古埃及的亞歷山大里亞城去學習。亞歷山大位于尼羅河口，是當時文化貿易的中心之一，人才薈萃，被世人譽為“智慧之都”。阿基米德在這里學習和生活了許多年，曾跟很多學者密切交往。他兼收并蓄了東方和古希臘的優秀文化遺產，這些積淀為其后的科學生涯中作出了重大的貢獻。

阿基米德是偉大的古希臘哲學家、數學家、物理學家，靜態力學和流體靜力學的奠基人。他從小就善于思考，喜歡辯論。早年游歷過古埃及，曾在亞歷山大城學習。后來阿基米德成為兼數學家與力學家的偉大學者，并且享有“力學之父”的美稱。在數學方面，有《論球和圓柱》《拋物線的求積》《圓的度量》《論劈錐曲面體和球體》等論文和10余種著作流傳于世，多為希臘文手稿。在《論螺線》一文中，他研究的等速螺線現稱為阿基米德螺線，據說他就此發明了阿基米德式螺旋抽水機。在物理學方面，他還發現了杠桿定律和關于浮力的阿基米德定律。

在第二次布匿戰爭中，古羅馬人進犯敘拉古，阿基米德應用機械技術來幫助防御，使來犯之敵聞風喪膽，這也使阿基米德有“數學之神”的美譽。但最終城被攻破，阿基米德被古羅馬士兵殺害，終年75歲。阿基米德的遺體葬在西西里島，墓碑上刻著一個圓柱內切球的圖形，以紀念他在幾何學上的卓越貢獻。

二、阿基米德鑒別王冠真偽的故事

敘拉古（屬古希臘管轄，古希臘的國王是托勒玫）的希羅王對阿基米德說：“阿基米德，我有一個問題要向您請教。”

“好，陛下，我能給您什么幫助嗎？”

“有件事令我不滿意，”國王詳細地說，“我告訴了您，您可不要告訴任何人！”

“當然可以，請您相信我。”

“我的問題就在這里。丟奧森內斯為我造了個新王冠，用絲絨包著的。”

“真華麗，陛下！您是否喜歡它？”

“從外表上看，我也喜歡，但是，我總覺得沒有完全按照我的要求做。”國王解釋說，“您知道，我為丟奧森內斯提供了制造王冠所需要的金子。但是，現在我懷疑金匠在王冠內用銀代替了金，而把貴重的金子據為己有。”

“噢！”阿基米德被難住了，“當然，您不想把漂亮的王冠割開，看個究竟。您已經核對過王冠的重量與您給予丟奧森內斯的金子是一樣的重，是嗎？”

希羅王點點頭。阿基米德沒有立即解答國王的問題，他有點困惑。

阿基米德答應思考這個問題，然后就走開了，他常常心不在焉地自言自語沉浸于該問題中，連自己該往哪里走都忘了。有時撞著人，有時走到馬車前面，有時甚至連吃飯也忘了，直到他的朋友提醒他。

有一天，阿基米德去公共浴室洗澡，當他坐進木盆，一個思想像閃電一樣出現在他腦海。他是那樣的興奮——為他的發現而興奮，他沖出浴室跳著跑著上了街，喊道：“發現了，發現了！”竟然連衣服也忘了穿。阿基米德就這樣發現了浮力定律。

在澡盆里，阿基米德觀察到被他的身體排出的水量：在他降低或升高他的身體時，水面就隨之升高或降低；當他的身體完全進入水中時，水對他的浮力最大，水的浮力使他飄起來。經過思考，他認識到：被水浸沒的體積越大，受到水的浮力也越大。有較大體積的物體與同樣重量的小物體相比，承受著較大的浮力。例如，六寸的塑料尺和一個鎳幣一樣重，但是，尺浮而鎳幣下沉。因為尺子有較大的體積，所以就有較大的浮力。

阿基米德知道：丟奧森內斯為希羅王制造的王冠與國王給他的金子應該一樣重才對，但是，如果這個王冠排出的水多于同樣重量的金子，就意味著王冠的體積較大，所以，其中必定包含著比金密度小的物質——銀。他把與王冠同樣重的金放入水中，看水面升高多少，然后，他又把王冠置于水中，看見水面升得更高。由此證明：王冠有較大的體積，不是純金的。至于制造王冠的金匠，后來如何處置，沒人知曉。

三、對鑒別結論的質疑

阿基米德鑒別王冠真偽的原理很簡單，只用到“密度”——因為同一物質的密度相同，所以相同質量的金在形狀任意改變時體積不會變化。阿基米德由此問題發現了“浮力定律”是難能可貴的。

設質量為m kg的金王冠的體積為Vm³，質量為m kg的金的體積為V′m³，則

（1）若V>V′，則P金王冠

（2）若VP金，說明金王冠里摻有密度大于金的物質（比如鉑）；

（3）若V=V′，則P金王冠=P金，說明金王冠可能是用純金制成的（當然，金王冠里也可能既摻有密度小于金的物質又摻有密度大于金的物質）。

如何測出形狀不規則的金王冠的體積？通常的方法是把它放入水中來測（下稱水測法）。但這種方法只適合于金王冠是實心物體的情形，當金王冠不是實心物體時測量其體積是很難的。

上面的故事說，用水測法得出金王冠的體積大于與其質量相同的金的體積，聰明的金匠一定會說：“尊敬的陛下，尊敬的阿基米德先生，我制造的金王冠一定是純金的，是因為金王冠的內部有很多小空隙才使體積增大的呀，這樣的王冠既輕便又華貴呀！”……筆者真不知道尊敬的陛下和尊敬的阿基米德先生該如何回答聰明的金匠。