發現數學的美

夏金艷

“楊輝三角中的一些秘密”是人教A版選修2—3第一章后的“探究與發現”。楊輝三角蘊含了豐富的數字規律和數學思想方法，具有數學中的對稱美、簡潔美、和諧美以及數字的神奇美和數形結合的統一美。筆者以這節課的教學為例，談談如何在數學課堂中滲透美育。

一、在情境中欣賞美

為了激發學生的學習興趣，教師利用生活實例——縱橫路線圖導入新課。

2012年倫敦奧運會上，為了節省時間，導引人員必須引導觀眾按照最短路徑從一個場館到另一個場館。假設奧運場館的分布如圖1所示：節點表示場館，網線表示倫敦比賽區域的交通道路，每個方格內均有建筑物，觀眾只能沿著網線行走。請問，“從A處走到B處，從A處走到E處，從A處走到G處，各有多少種不同的走法？”學生通過觀察思考，很快得出了答案。教師在每個節點的位置上標出走法數，就得到楊輝三角的一部分（圖2）。如此導入，既讓學生感受到數學應用于生活，又讓學生欣賞到了生活中的實際問題與數學的轉化之美。

楊輝三角是我國古代數學的偉大成就之一，為了激發學生的愛國熱情和學習興趣，教師還利用多媒體向學生介紹了楊輝三角的簡史：楊輝三角最早是由我國北宋數學家賈憲在進行高次開方運算時使用的，之后由南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》中記載并保存。在歐洲，直到600年后，法國數學家帕斯卡才提出了“帕斯卡三角”。由此可見，我國古代數學的成就非常偉大。

二、在探究中感受美

楊輝三角中蘊含了豐富的數字規律，教師按照由易到難的順序設計了五個探究活動，引導學生通過自主探究、合作交流探索其中的奧秘。

探究1：（1）觀察楊輝三角（圖3），你能發現每一行數字的規律嗎？（2）你能發現組成它的相鄰兩行的數字間有什么關系嗎？

探究1是基礎性探究，學生結合現有知識，很容易觀察出楊輝三角橫行數字間的規律。因此，教師要求學生獨立思考后，相互交流補充。通過交流，學生發現：問題（1）中，三角形兩條腰上都是數字1；三角形每一行中的數字左右對稱，即[Crn=Cn-rn（n∈N？，r∈N）]；三角形每一行中的數字先增大再減小，在中間取得最大值；三角形的第n行的和為[2n（n∈N）]。問題（2）中，三角形的兩條腰都是由數字1組成的，其余的數都等于它肩上的兩個數字之和，即：

這兩個簡單的探究從學生已有的知識切入，既引起了他們對楊輝三角的關注，又讓他們感受到了數學的對稱美和簡潔美。接下來，教師依次出示探究2—5，引導學生多角度發現楊輝三角的奧秘。

探究2：（1）觀察斜線上的數字（圖4），你有什么發現？

（2）觀察下列斜線中的數字（圖5），你能發現什么規律？請用組合數表示出來。

（3）根據上述發現的規律，你能進一步猜想出一般結論嗎？

（4）利用組合數的定義和性質證明這個結論。

探究3：按照圖示（圖6）的方法寫出斜線上的各行數字的和。仔細觀察這些和，你有什么發現？

探究2和探究3是引導學生觀察、發現楊輝三角斜行數字間的規律，其中探究2是本節課的難點。根據本班學生的實際情況，教師將其分解成四個小問題，引導學生由易到難逐步解決，最終得到一般結論。

對于第（1）個問題，教師的預設是，學生會發現1+2+3+4+5+6=21， 1+3+6+10+15=35，1+4+10+20=35，并觀察到第2條斜線上的數字和在下一行的第3個位置。然而，學生并沒有按照教師的設想來回答，他們有的認為，每條斜線上從第二項起，每一項與前一項的差構成了等差數列，可以利用累加法求出這條線上的某個數字；有的認為，每條斜線上的數字和都可以寫成[n（n+1）2]的形式。這種發現超出了教師的預期，教師及時給予了肯定與鼓勵。

或許是受圖形中連線的影響，學生的思維始終拘泥于斜線上的數字，再難有新的發現。于是，教師給出了第二組圖形（圖5），提示學生注意拐角處增加的短線。學生激烈地討論著，有的說1+2+3+4+5=15，1+3+6+10+15=35，1+4+10+20=35；有的說可以把這些數用組合數表示出來，得出這樣的結論：

教師抓住時機，順勢導入問題（3），讓學生猜想一般結論。學生通過觀察三條斜線在楊輝三角中的位置以及這三個式子，較容易地得出了一般結論：

[Crr+Crr+1+Crr+2+？？？+Crn-1=Cr+1n（n>r，r∈N？）]

教師沒有滿足于這點收獲，向學生提出了有一定難度的問題（4）。這個問題看似有一定的難度，但學生只要結合以前所學的知識并利用探究1中的結論，就能找到解題途徑。事實上，大部分學生也正是用這種方法證明出了

隨著這四個問題的逐個解決，本節課的難點也就突破了。教師及時出示了探究3（圖6），促使學生熟練運用并鞏固所學的思考方法。學生經過獨立思考，得出了結果：從第3條斜線中的數字起，其后各斜線中的和是前兩條斜線中數字和之和，即[an-2+an-1=an（n≥3）]，這就是著名的菲波拉契數列。教師簡單地介紹了斐波那契數列及其應用，讓學生體會到了數字的神奇之美。

楊輝三角之妙絕不僅限于此，為了讓學生進一步體會其中的奧妙，教師設計了探究4和探究5，引導他們探究楊輝三角中的數字與行數間的關系。

探究4：（1）觀察楊輝三角中的第2，3，5，7行（圖7），思考這幾行的數字與行數之間有什么關系？（2）滿足這種規律的行的行數有什么特征？請說明理由。

自主探究后，有的學生說，這幾行數字除了1以外，都能被行數整除；有的說，2，3，5，7都是質數，滿足這種規律的行的行數都是質數。有一名學生提出疑問：所有的質數行都滿足這樣的規律嗎？大家通過驗證發現：第13行除去兩端的數字外，都可以被13整除；第17行除去兩端的數字外，也都可以被17整除。于是，大家猜想到，所有的質數行中除去1以外的每個數都能被行數整除。可是，問題出現了，楊輝三角中有無數個質數行，不可能一一去驗證啊！

學生陷入了沉思，不知道從哪個角度來說明。教師及時給予提示：要證明這個問題，需要說明質數行中除去1以外的每個數都能被行數整除，而這些數都可以寫成組合數的形式，我們能否利用組合數來證明呢？這樣一提示，學生有了新的思路。一名學生說，第n行中第r個數可以寫成[Crn]，[Crn=n·（n-1）？？？2？1r！]，n為質數，不能被[2？？？r]中的任何數整除，所以[Crn]能被n整除。另一名學生做了補充：[n？（n-1）？？？2？1r！]寫成這樣的形式[n？（n-1）？？？2？1r！]，[n？（n-1）？？？2？1r！]為整數，由于n為質數，不能被任何數整除，則[（n-1）？？？2？1r！]為整數，所以[Crn]能被n整除。還有學生進一步補充：除去兩端的1，還需要限制[r≠0，r≠n]。

這個過程中，學生通過討論、合作、交流、互動，不僅碰撞了思維，解決了問題，而且感受到了數學的邏輯美。

探究5：（1）觀察楊輝三角（圖8）中的第0，1，3，7行，你發現這幾行的數字有什么規律？（2）哪些行有這種規律？請說明理由。

第（1）問，學生解決得很順利：這幾行數字都是奇數，并且第[2n-1（n∈N）]行都具有這樣的規律。問題（2）由于坡度太大，學生一時找不到思考路徑。經過教師引導，一名學生談了自己的想法：把每一行到下一行的過程看作一次從奇數到偶數或者從偶數到奇數的變換過程，從第0行到第1行經過1次變換，從第1行到第3行經過2次變換，從第3行到第7行經過4次變換，從第7行到第15行經過8次變換，按照這種規律可以得出答案。雖然他的說明有道理，但不能作為嚴格的證明。由于時間問題，也只能把這個問題留到課后讓學生自己去探究了。

因教師預設時考慮不周，導致這個階段耗時耗力而收效甚微，這也是這節課最值得引以為戒的地方。如果說到收獲，這個過程中最大的收獲在于，學生體會到了從特殊到一般的歸納方法，并感受到了數字的神奇之美。

三、在延伸中領悟美

課即將結束時，教師向學生提出了一個具有延伸性質的問題：探究5（1）中，我們只是憑推測得出了規律，卻沒有說明為什么第[2n-1=0]行的數字都是奇數。現在，請大家發揮聰明才智，嘗試著證明這個問題。學生經過討論交流，找到了這樣的解題思路：規定奇數記為1，偶數記為0，則楊輝三角可以變形成如下形式（圖9）。

利用數學歸納法：當n=0時，[2n-1=0]是第0行，第0行中所有的數都是奇數；當n=1時，[2n-1=1] 是第1行，第1行中所有的數都是奇數。假設當n=k時，第[2k-1]行中所有的數為奇數，那么當n=k+1時，由假設知道，第[2k-1]行中所有的數為奇數。按照探究1（2）中得到的結論（楊輝三角中每行除兩腰的數字外，其他的數字都等于它肩上的兩個數字的和），由1+0=1，0+0=0可得，第[2k]行中除了兩端的數字為1外，其他的數字都為0，即第[2k]行中間就有[2k-1]個0，每計算一次，下一行與上一行相比中間位置減少1個0。從第[2k]行中間位置有[2k-1]個0到中間位置沒有0，則需要[2k-1]次計算，[2k+2k-1=2k+1-1]，因此[2k+1-1]行的中間位置沒有0，全部為1；而其他位置經過偶數次變換得到0，經過奇數次變換得到1，而[2k-1]是奇數，因此第[2k+1-1]行全部為奇數。綜上可知，第[2n-1（n∈N）]行中的所有數字全部是奇數。

這個探究過程中，學生的思維十分活躍，在縝密的思考和推理中，學生感受到了數學的嚴謹之美，靈活之美。

（作者單位：江漢油田廣華中學）

數學的語言、符號、圖形、形式無不體現出美學因素，比如數與形的統一、符號和圖形的對稱、動態和靜態等都透著濃郁的美感。教學中，教師如果能將這些美充分挖掘和展示出來，學生就能在學習中享受數學之美，進而增強學習的興趣。

在一次數學實驗課上，我與學生一起進行了用紙折圓錐曲線的實驗。

首先，我要求學生在一張白紙上畫一個圓，圓心為O，在圓內取一個異于圓心的點A；在圓上任取一點，對折，使該點與A點重合，用直尺與鉛筆將折痕畫出來；在圓上取不同的點，重復上述過程。學生畫出許多條折痕后，驚喜地發現，這些直線圍成的圖形竟是一個橢圓。在此基礎上，我利用計算機模擬了紙折圓錐曲線的過程（這其實是利用直線的運動痕跡來模擬折痕，這個模擬實驗在幾何畫板軟件中很好實現）。這個過程中，學生先是經歷了動手操作發現結論的喜悅，又在信息技術的幫助下感受到了直線運動帶來的視覺沖擊，心里激動不已。

接著，我引導學生對上述過程的結論（這些直線能夠圍成一個橢圓，說明這些直線上都有且僅有一個橢圓上的點）進行推理論證。學生經過討論交流，有了這樣的思維過程（圖略）：圓O的半徑為R，A點是圓內異于O的一點，B點是圓上任意一點，直線L是線段AB的中垂線，L與線段OA交于P點。那么P點的軌跡是什么？學生連接OA，根據橢圓的第一定義發現了軌跡是橢圓。這也就說明了前面的每條折痕上都有一個點在以O、A為焦點，以R為長軸長的橢圓上。那么，折痕上是否還有其他的點在橢圓上呢？這個問題既是解決上述問題的需要，又能體現思維的批判性。學生解決完這些問題后，對橢圓定義的理解更深刻了，對數學的嚴謹性和數學思維的批判性有了更深的認識。

最后，我引導學生結合橢圓、雙曲線、拋物線的定義的統一性進行思考：能否用紙折雙曲線、拋物線？如果可以，該如何操作？學生帶著這些問題主動思考與探究，體驗到了數學探究與發現的樂趣。

（江漢油田廣華中學 柯 麗）

普通高中課程標準實驗教科書《數學》中蘊含著大量的數學美育素材，教師有意識地挖掘、整理并引導學生發現和欣賞，能讓學生在創造的過程中體驗到數學的美。

教學選修2-1的《圓錐曲線與方程》，在曲線軌跡探究過程中，我引導學生用套在細線上的鉛筆尖畫成橢圓，用拉鏈的拉開或閉攏帶動筆尖畫出雙曲線，并觀察幾何畫板演示動點的拋物線軌跡，以及在由點動成線的過程中實現的量變到質變的轉化。學生在操作和觀察中感受到了數學的動態美。

此外，在這節課的教學中，學生還從不同建系方式取得方程的比較中，感受到了數學的簡潔美；從橢圓與雙曲線都關于坐標軸與原點對稱中，感受到了數學的對稱美；從由圓錐曲線一個焦點發出的光線，經反射后，其反射光線所在直線必須經過另一個焦點中，感受到了數學的統一美。

這些美遙相呼應，構成了數學教學的亮麗風景。

（江漢油田廣華中學 徐洪軍）

華羅庚說：“認為數學枯燥無味，沒有藝術性，這種看法是不正確的，就像人站在花園外面，說花園里枯燥無味一樣。”數學老師善于捕捉和引導，能讓學生發現數學之美。

教學《橢圓及其標準方程》時，為了讓學生在獲取數學知識的同時獲得美的感受，我先播放了“神舟5號”飛船發射的視頻及飛船運動軌跡的動畫；接著要求學生兩人一組，互相協作，在事先準備好的白紙上，利用課本上介紹的方法繪制橢圓；然后鼓勵學生利用幾何畫板軟件在電腦屏幕上繪制橢圓，并對橢圓設置參數；最后安排各學習小組通過觀察身邊的事物，或者上網查閱資料，列舉橢圓在生活中的應用。

課堂上，學生表現十分出色。觀看視頻時，學生在愉悅的氛圍中欣賞著優美的畫面，既感受到了橢圓與大自然的密切聯系，又生發了學好數學創造美好事物的迫切愿望；繪制橢圓時，學生看到隨著參數的改變，自己親手繪制的橢圓發生一系列神奇變化后，發出陣陣驚嘆，在不知不覺中由數學的顯性美悟出了數學的隱性美；拓展應用這個環節，學生在兩天后作了“美麗的橢圓”專題匯報，有的小組展示了橢圓形腕表，有的小組展示了手工制作的地球繞太陽運行的軌道模型，有的小組展示了“黃金橢圓”……每一件作品都顯現出了獨有的美。

美國數學家哈爾斯說，“數學是創造性的藝術”。教師用創造的眼光來審視數學，就能不斷地發現數學之美。

（江漢油田廣華中學 劉旭光）

用數學美的思想解題是培養學生數學思維品質的重要策略。它能引導學生進行直覺思維，發現問題的內在聯系，從中欣賞數學之美，感受解題樂趣。更重要的是，它能開拓學生的思維空間，啟迪他們的智慧，培養他們的多元思維和創新精神，使其獲得學習的愉悅感。

（江漢油田廣華中學 張希杰）

責任編輯 姜楚華