基于Mathematica的高等數學教學過程研究與實踐

[摘 要]借助Mathematica通用數學軟件，強化課堂直觀描述、豐富課堂教學內容表現形式；開展數學實驗，增強應用實踐數學意識；借助WolframAlpha，豐富在線教學與學習資源；搭建在線互動平臺，拓廣師生互動維度的研究與實踐，對創建高等數學課程在線教育優質教學視頻，構建完善的配套資源平臺，促進有效在線教育模式的研究與探索具有一定的參考與借鑒作用。

[關鍵詞]高等數學；Mathematica；直觀教學；數學實驗；互動教學

[中圖分類號] O13 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2016）02-0136-03

一、引言

高等數學作為理工科院校非數學專業學生必修的一門重要基礎課，在培養學生發現、分析、探索和解決問題的能力和為后續相關課程學習及生活、工作打好基本數學知識基礎等方面有著其他課程無法替代的作用；同時也在提高理工科院校教育、教學和人才培養質量的工作中起著舉足輕重的作用。[1] [2]傳統的高等數學教學過程一般由于教學時數少、內容多等條件限制和多方面的原因，一直遵循著“定義—定理—證明—推論—計算—大量練習與測試—考試”的教學過程，有些較好的課堂教學可能在定義引出之前會加上適當引例，在計算之后會簡單地增加少量應用題的求解。這樣的教學過程重點仍放在運算公式、法則和技巧訓練上，數學思想與理論的教學與實踐完全處于脫節的狀態，沒能讓學生真正明白數學的精神實質和思想方法，也無法讓學生知道數學的豐富內涵及其廣泛的應用；同時把書面的閉卷考試作為學生學習成績好壞的唯一評價標準；從而也就無法讓學生知道數學在人類認識世界和改造世界中發揮的關鍵作用，也不會自覺地接受數學文化的熏陶，當然也就無法達到培養數學素質的目的，而且還會形成數學學習過程就是為了有個好成績的錯誤學習動機。

借助現代信息技術構建數學情景，詮釋概念、定義本質，展示定理、推論、公式內涵，提高數學學習興趣和應用數學知識分析、探索、解決問題，并組織開展自主學習、探究性學習、協同式學習和在實踐中學習的研究與探索，是當前大學數學教學改革的重要方向之一。尤其是通用數學軟件功能的日益全面與豐富，更是對以傳統課堂教學為主要形式的數學教學過程帶來了極大沖擊。數學教師熟練使用數學軟件輔助教學，學生熟練使用數學軟件進行學習，在信息技術的支持下構建思維、豐富知識結構、培養探索和實踐數學的能力、形成數學素質，已成為現代數學教學信息化背景下的一種流行趨勢。教師作為教學過程實施的引導者和協作者，研究和探索借助數學軟件最大限度地調動教學過程中學生的參與意識、激發學習的主觀能動性、培養正確的學習動機、增強實踐數學的意識，對提升教學過程效率和實現人才培養目標具有重要意義。

二、數學軟件Mathematica的功能與特點

Mathematica是一個集成數值、符號計算、圖形與動畫、程序設計與交互式演示于一體的，功能全面、效率極高的通用數學軟件。用戶既可以直接使用Mathematica來實現自己的計算需求，也可以借助于它豐富、擴展其他軟件的計算與演示功能，甚至還可以將它的應用集成到其他應用程序和在保持其交互性等特征的基礎上發布文檔到網絡上直接進行共享與交流。Mathematica軟件目前被廣泛地應用于教育，從中學到研究生，被全世界來自不同專業的學生首選為進行數學及相關課程的學習和應用的重要工具；也有很多老師以它為基礎進行了教學和學習內容的設計，并借助Mathematica促進學生加強對課程內容的理解與應用，以此來提高教學與學習效果和質量[3]。

Mathematica之所以得到老師、學生和科技工作者的廣泛歡迎，除了其強大的功能外，更為重要的是Mathematica中的輸入方式與內部函數名稱符合用戶的使用習慣，尤其是其數學公式與符號的輸入、輸出形式基本上能夠與傳統教材和通常書寫格式保持一致。首先表現在其工作窗口對表達式的編輯、排版與通常的文字編輯工具操作方法基本一致，而且還提供了多種模版對所做的工作進行編排。其次，內部函數與命令的名稱基本上就是完整的，且能描述其功能的英文單詞或者英文單詞的組合。第三，可以方便、快捷地導入常用文件格式中的數據和將處理的內容導出為滿足多種需求的文件格式，并可以通過指定數據類型進行復制、粘貼，在各程序之間快速交換數據。第四，提供了滿足多種需求的軟件包，并能通過高效的、連接方式多樣的編程方式擴展軟件功能以滿足不同用戶多方面的需求。第五，提供了多種形式的，內容詳細、豐富、完整的交互式幫助，用戶幾乎不需要借助其他參考書就可以獲得需要的軟件使用、甚至學科相關的幫助信息。另外，Mathematica能夠將創建的文檔保存為具有交互性的可計算CDF文檔格式。CDF文件的交互性并不只是預先生成的，而是可以通過交互操作實時完成，并能將其嵌入到網頁中進行網絡實時交流。用戶之間這樣的文檔交流除了傳遞內容外，更能很好地傳遞其中涵蓋的思想，而且實時生成的結果與變化的內容可以形成一種參與度更深且具有建設性的討論。

正因為如此，教師可以使用Mathematica方便、快捷地構建數據、圖形、動畫等教學素材，不僅使課堂教學課件系統圖文并茂，生動直觀，加強學生對數學知識的直觀理解；而且也可以通過部署交互式文檔以及豐富的素材與文件類型輸出與交換功能，構建內容豐富的交互式虛擬數學教學與學習平臺，達到拓廣教學與學習維度，加強對數學知識的理解，并促進其分析、探索、解決問題能力的提升以及探索、實踐數學意識的增強，從而為優質在線教育教學視頻的構建和配套資源的建設提供了技術上的強有力支撐。

三、融入可視化演示案例，加強課堂直觀教學

從小學到大學，數學應該是人一生中學的時間最長的課程。但是為什么要學數學，學數學到底有什么用，很多學生都終究沒有弄明白，甚至有人認為學數學就是為了應付考試。之所以造成這樣的現象，李大潛院士認為數學家和數學老師應該要負責任，與我們目前的傳統教學模式有著極大的關系。他指出[4]：“從本質上說，學數學，并不是學定理、背公式，而是提高素養，數學教育本質上是一種素質教育。”

抽象性和邏輯性雖然是數學區別于其他學科的特點，但林群院士在一直致力于教育數學的研究的過程中，一再強調微積分教學其實可以更簡單、更有趣。由于長期以來的數學教學缺乏直觀性、應用性教學，缺乏“尋根究底”的情景教學，使得高等數學的教學模式相對單一，教學內容、教材和課堂枯燥乏味；學生的學習在某種程度上陷入到了“得意忘形”的境界；同時也忽略了數學本質上的實踐性特征和其對科學技術發展、其他學科促進和支撐的作用[5]。也正因為如此，使得很多學生對高等數學望而卻步，失去了學習的興趣，缺乏能學好的信心；同時也出現了“唯分數”定成敗的“功利性”學習動機。雖然這個問題不是可以依靠課堂教學就可以完全解決的，但采用直觀教學法，并構建可視化的教學情景，在很大程度上有助于緩解這個問題的存在。直觀的形象在記憶中一般比較清晰穩定，一張圖片、一段視頻，甚至一個可視化交互演示過程，絕對勝過千言萬語的文字描述。

直觀教學一般是指利用教具作為感官傳遞物，通過一定的方式、方法向學生展示，達到提高教學和學習效率或效果的一種教學方式。17世紀，捷克教育家夸美紐斯宣稱直觀教學是教學的一條金科玉律：“只要有可能，應該用感性去接受一切東西”。信息化教學環境下的直觀教學則是指在教學過程中運用各種手段（如數據、圖形、動畫、視頻、交互式演示與操作等），在概念、定理、證明、解題中突出其直觀性，培養學生的數學直覺的教學方法。[6]直觀性教學法有助于定義、定理和推導過程及公式的理解，可以培養學習興趣，提高記憶品質，加深理論印象，促進思想、方法的理解，提高教學與學習效率。

下面就如何借助Mathematica軟件的可視化交互功能，在高等數學概念理解，參數意義、定理結論說明、證明過程思路構建等幾個方面以高等數學幾何直觀教學案例說明直觀教學的作用與意義。

案例1：借助Mathematica的實時交互式操作功能，加強數學概念教學，促進學生加深與概念有關的條件、結論、思想與方法理解，并通過直觀演示理清學生容易混淆的有關變量關系。如數列極限概念中N與ε之間的關系演示、函數極限中δ與ε之間的關系演示。

案例2：借助于Mathematica數據處理與圖形演示功能，加強解題方法的理解和促進有關結論的引出與驗證，構建數學思想的起源情景，加深學生對數學思想、方法及應用的認識，提升課堂教學效果。如單調性的分界點為函數的極值點，極值點不一定為函數單調性的分界點等結論，及元素法及定積分的概念、重積分的計算和無窮積分的積分和等。

案例3：借助于Mathematica軟件圖形繪制功能，加強參數方程參數理解，直觀演示與驗證相關結論，并通過豐富多彩的曲線圖形演示，展示數學的“藝術美”特征。如旋輪線參數方程定圓、動圓半徑比值與生成曲線特征的關系及參數的幾何意義，默比烏斯帶單面特征的演示等。

案例4：在高等數學教學內容中，p-級數在級數、反常積分收斂性的判定和常值級數求和中占有重要地位。在一般的教材中，對其收斂性的證明思路一般都比較抽象而不易被學生所接受。要證明p-級數的收斂性，關鍵是證明如下不等式[7]

借助于不等式中三個式子的幾何意義，構建證明思路則相對直接和熟悉。

四、借助數學實驗平臺，拓廣教學學習維度

在高等數學課程內容多，任課教師教學、科研任務繁重的情況下，一般課堂教學時數不能滿足教學需求；同時由于教學班人數眾多，師生有效交流的機會很少，加上很多同學聽課效率不高等因素的影響，使得高等數學課堂教學效果和學生學習質量很難達到預期目標。隨著網絡通信技術的迅速發展和網絡覆蓋面的擴大，如何借助網絡平臺，發展課程在線教育，拓廣教學學習維度日益受到廣大教育工作者的重視，并在國家和學校的大力支持下得到迅速發展。

（一）借助WolframAlpha豐富高等數學在線教學與學習資源庫

與其他文化課程不同，要保證數學課程的教學質量和學習效率，離不開線下的課堂教學和師生的面對面互動交流，所以高等數學的在線教育只能是看作對課堂教學與線下學習的一個輔助和補充，為進一步豐富和完善課堂教學過程，拓廣教學與學習時間和空間維度，提高教學和學習質量提供一個相對有效的途徑；要充分發揮其預期的作用，關鍵在于平臺內容的選擇與設置。Mathematica軟件的交互式電子文檔、基于Alpha引擎的遠程實驗平臺和在線測試系統（Wolfram Problem Generator）以及Wolfram網站的數學資源庫[8]，不僅為高等數學的學習提供了豐富學習擴展資源，而且為師生之間的交流提供了一個很好的互動工具，同時也為學生開展數學實驗，檢驗學習效果，應用實踐數學提供了有效支持。憑借Mathematica豐富的知識庫和在線測試系統，不僅豐富了高等數學課程的教學與學習內容，拓展了學生的認知結構，而且能讓學生自己及時發現和了解學習過程中的錯誤和理解上的偏差。圖文并茂的內容展示，甚至交互式的演示過程，以非常直觀的形式有效地加深了學生印象，彌補了課堂與線下教育的局限與不足。學生也在知識不斷豐富和探索的過程中，豐富了知識結構，發現了自己的不足，從而進一步促進其學習的欲望提升。

（二）開展高等數學實驗，增強應用實踐數學意識

數學實驗是激發學生興趣，實踐、應用數學最為有效的手段。借助Mathematica提供的數學實驗平臺，在數學教學中，引入數學實驗，利用數學軟件進行多媒體教學，可以增加教與學之間的互動性。學生在教師的積極啟發引導下，通過不斷利用數學軟件進行實驗，由一些具體特例分析歸納出問題的特性，找出問題的關鍵并得到解決問題的思路，最終完成對命題的論證、總結和提高。這種教學方式，不僅增加了學生的參與意識，使學生變被動接受為主動求知，真正成為教學的主體；而且符合“直覺一探討一出錯一思考一猜想一證明”的數學認知規律，有利于培養學生綜合分析問題和解決問題的能力，促進學生掌握數學的思想與方法。

在數學實驗中，由于計算機的引入和數學軟件包的應用，也為數學的思想與方法注入了更多、更廣泛的內容，使學生擺脫了繁重乏味的數學演算和數值計算，促進了數學同其他學科之間的結合，從而使學生有更多的時間去思考和做更多的創造性工作。為了保證高等數學實驗化教學過程的有效實施，讓學生認識、理解，并積極參與到實驗化教學過程，我們編寫了《高等數學課程實驗》參考書，提供了近30個演示性、驗證性與探索性的實驗[9]；搭建了高等數學課程和數學建模與數學實驗網站，建設了國家數理虛擬仿真實驗教學中心，設置了專門的大學數學公共基礎課程實驗教學與學習模塊；同時將Mathematica軟件應用融入了教材、進入了課堂和考試，將“應用性教學”思想貫穿于整個教學過程，很好地促進了學生應用數學知識解決實際問題的能力和學生實踐數學的意識提升[2]。

五、結束語

將通用數學軟件融入數學課程教學過程，不僅豐富了教學手段，改變了高等數學課程的教學與學習方式，也改變了數學的研究方法和應用模式。在大力推動在線教育發展和優質教育資源開放、共享的階段，如何發展在線教育優勢，探索有效教育模式受到廣大教育工作者的廣泛關注[10]。在線教育的主體除了優質的視頻教學內容外，更需要完善的相關優質配套資源作為補充以促進教學和學習質量的提升。數學軟件與課程的整合不僅為視頻教學提供了豐富的表現手段，更為優質資源的創建提供了支撐和保障。但是，由于受到網絡以及知識產權和受益人群等因素的限制，教學過程的信息化和在線教育平臺的構建還處于“百花齊放”的狀態，在一定程度上造成了不必要的資源浪費，也脫離了信息化和在線教育發起的初衷。因此，如何在現代信息技術高速發展的今天，根據各個學校的人才培養目標，構建有效的教學資源，探索有效的教學模式，還需要不斷的探索與實踐。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 高建，黃廷祝，干泰彬.提高“微積分”課堂教學質量的幾點思考[J].中國大學教學，2008（1）：35-37.

[2] 劉雄偉，王曉.高等數學實驗化教學模式的理論研究與實踐[J].高等理科學刊，2012（6）：75-78.

[3] Wolfram.Mathematica Features：http：//www.wolfram.com/mathematica/features/.

[4] 李大潛.數學學習的本質是提高素質[N].中國青年報，2012-07-16（12）.

[5] 楊孝平，許春根.加強直觀性和應用性教學 提高大學數學教育質量[J].大學數學，2006（6）：1-3.

[6] 楊立敏.重視直觀性教學法在高等數學教學中的應用[J].大學數學，2008（2）：34-37.

[7] 朱健民，李建平.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[8] Wolfram MathWorld：http：//mathworld.wolfram.com/.

[9] 李建平，朱健民，劉雄偉，等.高等數學課程實驗[M].北京：科學出版社，2011.

[10] 吳劍平，趙可，等.大學的革命：MOOC時代的高等教育[M].北京：清華大學出版社，2014.

[責任編輯：王 品]