深度統整教材，凸顯單元整體思想

芮金芳

摘 要：很多教師在運算律單元教學中習慣按照教材的邏輯序列，從單個知識出發展開“點狀”教學，學生獲得知識的“重復疊加”。然而，在張老師的課堂中，他借助“加法交換律和結合律”作為一個研究觸點，用全局的視野統整運算律單元內容，整體架構知識間的內在關聯，從結構化的視角設計有效的學習活動，為學生后續整體學習運算律提供研究方法，累積研究經驗和研究范式。

關鍵詞：單元統整；經歷過程；模型抽象

常見尷尬場面——形似神散

“加法交換律和結合律”是學生學習運算律單元中的一節起始課，也是一節典型課。很多教師都習慣沿襲傳統做法“猜測——列舉——驗證——概括”的教學環節，引領學生經歷數學化的過程。一旦學生能初步感知發現“兩個加數交換位置，和不變”的運算律，就立刻呈現現成結論，作為學生探究發現的重要學習成果展示出來。很多學生在這樣的課堂組織下，獲得的往往是一個抽象的定律，而對它包含的具體內涵和深刻意義可能還不深入，甚至尚未觸及。

讓學生用自己個性化的語言或符號來抽象表示加法交換律時，會出現如下的尷尬場面，有學生模仿呈現“糖+水=水+糖”的一般形式。表面上與加法交換律尚無差異，深究其內涵，發現其只是形似而非神似。學生理解的更多傾向于加法交換律非本質的外在表現形式，即交換兩個量的位置，沒有真正體會到加法交換律的本質屬性即量的守恒上。“交換位置”只是外在一種形式，而“和不變（即量守恒）”才是它的核心本質，所以教師需要讓學生真正領會并深刻體會這一深層含義，而非僅僅停留在表層的模仿與形式的相似上面。

回望重構教學——結構統整

在參閱學習張齊華老師執教的“交換律”一課后，對運算律單元的教學思路有了新的思考和重新厘定。運算律教學中涉及諸多概念定律，如果單以簡化的活動形式告知學生，他們只能簡單接受并模仿，如何改變、豐富數學活動本身，實現活動過程的語言化，同時達到活動本質的概念化？應成為我們教師教學設計時主要思考的問題。皮亞杰曾說：“以表象或思維的形式把活動內化，就是改變或豐富活動本身，實現活動概念化。”所以，在運算律單元學習中，教師不僅要讓學生獲得具體豐富的感性經驗，更重要的是引導學生適時抽象概括，實現具體經驗的符號化、抽象化、模型化、結構化。

【精彩片段再現】

一、活動引入，喚醒經驗

1. 快速搶答。

8+5，5+8，19+5，5+19，36+24，24+36。

除了會算，還發現這幾道題有什么規律？

2. 初步感知。

出示三組等式：8+5=5+8，

19+5=5+19，

36+24=24+36。

質疑：把兩個加數交換位置，和怎樣？（不變）

猜一猜像這樣交換兩個加數位置和不變的例子，會有多少？（無數個）

二、猜想驗證，抽象運算律

1. 提出猜想。

那是不是“任意兩個數相加，交換它們的位置，和都不變？”有什么辦法知道對不對？（舉例證明）

問：“任意”是什么意思？

看來光靠這三組算式還不夠，還要再舉一些這樣的例子。

2. 舉例驗證。

學生舉例，展示學生舉例作品。

生1：舉的都是一位數加一位數的例子。

生2：有一位數、兩位數、三位數的例子。

問：比一比喜歡誰舉的例子？為什么？

生3：喜歡第二個同學，舉例要全面。

生4：舉例要簡單，有代表性。

質疑：光舉整數例子，就能一定說明“任意兩個數相加，交換它們的位置，和不變嗎？”

生：我舉的分數相加的例子。

生：我還會舉小數的例子。

……

3. 總結提升。

揭示加法交換律——任意兩數相加，交換它們的位置，和都不變。

通過剛才的研究，我們發現數學上要得出一個結論，必須要經歷一個完整、全面的分析思考過程，舉例要全面、典型，有代表性，只有這樣才能得出正確結論。

4. 拓展規律。

剛才我們研究“任意兩個數相加，交換它們的位置……”，如果進一步聯想你想到什么？

生：任意兩數相減……

生：任意兩數相乘、相除……

大家通過聯想，提出了這么多有價值的問題，是不是合理呢？

小組內合作研究。

活動要求：（1）舉例研究這些結論正確嗎？

（2）組內交流自己的想法。

學生匯報交流。

重點交流減法、除法中舉反例說明結論錯誤的方法。

5. 符號抽象。

數學家研究時不光舉例，還通過其他途徑幫我們更深入地認識加法交換律。

左邊出示若干紅色小點，右邊出示若干黃色小點，現在把紅色和黃色小點合到一起來，（出示點子集合圈），你們覺得最后是用紅色加黃色總數多，還是用黃色加紅色的總數多呢？（一樣多）

加法交換律在數學家眼里就可以用這樣一種直觀的方式表達出來。

三、豐富經驗，反芻運算律

今天我們研究發現了加法、乘法中的交換律，在以前的學習中有沒有接觸到這樣的加法、乘法交換律問題。

1. 出示5的分與合畫面。4和1合成5，交換一下位置，還是合成5。

2. 出示一圖二式的加法畫面，如2+4和4+2，和相等。

3. 出示一圖二式的乘法畫面，如2×4和4×2，積相等。

4. 加法、乘法計算中的驗算都可以用交換律進行驗算。

看來數學學習前后之間有非常密切的聯系。

從整節課來看，張老師敢于打破教材分塊編排體系所帶來的“零散式”點狀學習的藩籬，因為教材的編排體系不一定是教學展開的唯一起點，知識的邏輯體系也可能不是學生思維的邏輯。所以，張老師勇做教材的創造者，用全局的視野統整運算律整個單元學習內容，整體架構知識結構間的內在關聯，讓學生從“加法交換律”作為引子觸點，逐漸延伸至“減法中是否也有交換律？”“乘法、除法中呢？”以點帶面，牽一發而動全身將學習的觸點延伸出一個個新的研究生長點。學生的學習視角也不再局限于教材中某一狹窄的知識點上，深刻體驗到數學研究中“變與不變”的辯證關系、經歷“猜想——實驗——驗證”的思考路徑，感受由“此知”到“彼知”的數學聯想的思考魅力，這些顯然成為超越于知識之上的凸顯思想價值的數學課堂目標追求。

深刻領悟本質——參悟思想

一、立足長遠，從整體把握研讀教材

從長遠角度看教材是指不僅僅從一節課來看教學知識點的內容。在以往，由于我們只關注知識的傳遞，試圖通過每一節課的學習讓學生能圍繞一個知識點進行知識理解、方法掌握、規律發現，然后運用知識、方法、規律來解決問題，最終獲得對這個知識的牢固習得。通過一節節課的“點狀”教學，學生只能獲得知識的“重復疊加”，并不能真正促進學生長遠學習能力的獲得和發展。

張老師在進行運算律教學時就打破了常規點狀課堂的備課模式，借助“交換律”這一線索將學生已有的加、減、乘、除法四種運算有機穿插成一條知識鏈，讓學生先從加法作為引子開啟探究之門，逐步延伸到減法、乘法、除法的學習歷程中。這樣的運算律學習有機地幫學生建構起一張富有張力的學習網絡，學生不再獲取零散、瑣碎的知識點，而是架構一張完整的知識結構，同時參悟其中滲透的數學思想，學生的猜想、推理、驗證、歸納、比較能力在多樣化、開放的活動中不斷豐富、提升、拓展。

所以，一節課的成功與否并非僅僅在于這節課的教學任務是否完成，更重要的是它的學習對整個知識體系的建構有沒有貢獻。有人認為：教學是導致學習活動發生、系統持續的交流活動。要讓學生的學習活動系統持續的發生作用，教師必須立足學生長遠的發展，著眼整體，從結構化的視角設計學習活動，這樣才能讓學生真正獲得以后發展的持續動力。

二、把握核心，從本質入手經歷過程

交換律這節課的核心是什么？抓住什么就能幫助學生理解交換律的本質內涵？交換律中“交換位置”只是一種外在形式，而“結果不變（即量的守恒）”才是其本質。要充分認識這一本質意義，對學生來說過于抽象，是有困難的。那么，應該借助什么幫助學生理解這深層含義呢？學生已有的加、減、乘、除法計算經驗，以及整數、分數、小數的認識都是深刻認識“交換律”的重要資源。

張老師開門見山就讓學生觀察一組加法算式的特征，并初步提出自己的猜想。這些都是學生基于已有計算經驗自然生發的一些數學想法，通過這些初步猜想，引領學生逐步經歷數學化的層層遞進的思辨過程，從整數的加法例子，到分數的加法補充，再到小數加法的加入等等，讓學生采取不完全歸納法提煉出加法交換律的本質特征。學生完整經歷從特殊到一般、從個別到全面、從散點到結構的全面驗證認識過程，這樣的學習過程的體驗、學習方法的累積、研究問題的視角為后面深入探究減法、乘法、除法中的運算律累積相應的經驗和思想方法，提供了很好的研究范式。

三、模型抽象，從思想深處完成建構

符號是數學抽象化的標志。利用數學符號有利于促進學生數學活動經驗的內化。建立交換律的基本模型不可能一蹴而就，需要逐層抽象，逐步建立。

張老師在幫助學生建立“加法交換律”基本模式時，安排了三個層次展開。第一，先初步感知加法算式中交換律的存在。重點讓學生觀察三個等式，提出自己的初步感受，發現這三組算式的結果都是相等的，這是交換律的核心本質，也是學生從局部向整體認識的重要轉折點。第二，提出猜想，并舉例驗證。學生初次感知“交換兩個加數位置，和不變”的特征，嘗試舉例驗證符合這樣規律的等式，學生依據已有的加法計算經驗，可以初步得到結論。第三，完善猜想，豐富例證。如果僅憑借一類例子就說明定律的正確性，還缺少完備性。繼續調用已有計算經驗，補充“分數、小數”中類似的例子說明定律的合理性、全面性。第四，符號概括，抽象定律。在學生充分感知各類題組算式特征的基礎上，學生用符號表示出符合這類算式特征的規律，a+b=b+a，△+□=□+△……

這樣由具體算式到抽象符號，有效促進學生對交換律經驗的抽象化，揭示了交換律的本質意義，促進學生數學抽象思維的發展，同時凸顯符號化思想的價值作用，以簡潔濃縮的數學模型表達運算律豐富的深刻內涵。交換律的研究模式為后續進一步深入研究結合律、分配律，積累豐富的數學活動經驗，架構完整的知識結構體系，建立良好的數學感受，彰顯了真正意義上的深度數學學習。