減法，讓問題變簡單

◆馬云聰

(河北樂亭縣第一中學)

減法，讓問題變簡單

◆馬云聰

(河北樂亭縣第一中學)

通過學習經驗，論證在做數學題時適當做做減法，讓圖形變得簡潔些，對于定理中條件的要求就能認識得更充分些。闡述了“減法，讓問題變簡單”的道理，供大家探討。

數學 減法 問題 簡單

在利用線面平行的判定定理證明平行的圖形，發現PC這條直線是聯系MN和平時，由于不能很快找到面內的平行直線，讓面PAD的紐帶，由直線PC和MN會形成很多同學頗為苦惱。經過一段時間的探索，我發現了一個比較有趣的方法，讓我在證明線面平行的相關問題時，能夠很快地找到平行直線。這還要從筆者解一道課本題說起：

如圖1所示，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別是PC，AB的中點，若ABCD是平行四邊形，求證：MN∥平面PAD。

在本題中，要想證明MN∥平面PAD，就需要在平面PAD內找一條

線與MN平行，題目所給的圖形中，有些線是多余的，那么我們去掉多余的線，是不是方便我們更好地看圖呢？

我們去掉多余的線，就形成如圖2所示的圖形，發現PC這條直線是聯系MN和平面PAD的紐帶，由直線PC和MN會形成一個平面，這個平面與已知平面PAD有一個交點，根據公理可以知道這兩個平面一定有一條交線，同時，點N，C和直線AD共面，所以連結直線NC，那么直線NC與AD有一個交點，設為E，就形成了圖3．連結線段PE，這時我們會感覺到直線 MN和PE是平行的。那么，下面我們就要想辦法證明MN∥PE，這個問題的證明就簡單了。

小剛聽了我的分析，覺得圖形變簡單了，因為一些在證明過程中不重要的線和面沒有了，把問題的矛盾集中體現出來了，容易去作輔助線或者輔助面了，很好，但又不是很確定，所以，他給我出了道題，想看看，我還能夠用這個方法來解決嗎？

如圖4，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，AB—AC，D為BC的中點。

求證：AlB∥平面ADC1。

要證AlB∥平面ADC1，先把圖形簡化成圖5，顯然只要連結A1C，交AC1于點M，連結DM，如圖6．這樣DM就是平面ADC1中，與AlB平行的直線。

當我給出輔助線，并給出證明時，小光還沒有找到輔助直線，頓時佩服不已。“我也在用你的思路啊，為什么我沒有找到這樣的輔助線啊？”小光說出了自己的困惑，并讓我看了他的簡化圖7。

我看到小光的簡化圖，就知道原因了。原來小光的簡化圖，減去的線段太多了，最糟糕的是，小光把聯系AlB和平面ADC1的紐帶BC這條線也去掉了。顯然，我的方法主要是減去圖形中無用的線條，對于聯系要證明關系的元素之間的紐帶是必須保留的，而且是關鍵元素。

聽了我的講解，小光似乎抓住了重點，便求著我給自己出道題，讓自己好好做做，看看是否真會了。小光做出來之后，很高興，感覺這個方法最大的好處在于，通過減少線條，使需要證明的元素之間的關系顯得更突出，從而找平行線時，思路就明顯了。