建構數學模型解決生物問題

◆王紫惠

(河北樂亭第一中學)

建構數學模型解決生物問題

◆王紫惠

(河北樂亭第一中學)

數學是一門工具學科，在高中的物理與化學學科中廣泛地應用。在生物學科教學中，構建數學模型，對學生的理科思維培養也起到一定的作用。

數學模型 高中生物 理科思維

一、高中生物教學中的數學建模

數學是一門工具學科，在高中的物理與化學學科中廣泛的應用。由于高中生物學科以描述性的語言為主，學生不善于運用數學工具來解決生物學上的一些問題。這些需要教師在平時的課堂教學中給予提煉總結，并進行數學建模。所謂數學建模，就是把現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題，我們把數學知識的這一應用過程稱為數學建模。在生物學科教學中，構建數學模型，對理科思維培養也起到一定的作用。

二、數學建模思想在生物學中的應用

1.數形結合思想的應用

生物圖形與數學曲線相結合的試題是比較常見的一種題型。它能考查學生的分析、推理與綜合能力。這類試題從數形結合的角度，考查學生用數學圖形來表述生物學知識，體現理科思維的邏輯性。

例1：如下圖1表示某種生物細胞分裂的不同時期與每條染色體DNA含量變化的關系；圖2表示處于細胞分裂不同時期的細胞圖像。以下說法正確的是()

A.圖2中甲細胞處于圖1中的BC段，圖2中丙細胞處于圖1中的DE段

B.圖1中CD段變化發生在減數Ⅱ后期或有絲分裂后期

C.就圖2中的甲分析可知，該細胞含有2個染色體組，秋水仙素能阻止其進一步分裂

D.圖2中的三個細胞不可能在同一種組織中出現

解析：這是一道比較典型的數形結合題型：從圖2上的染色體形態不難辨別甲為有絲分裂后期、乙為減Ⅱ后期和丙為減Ⅱ中期；而圖1中的AB段表示的是間期中的(S期)正在進行DNA復制的過程，BC段表示的是存在姐妹染色單體(含2個DNA分子)的染色體，DE段表示的是著絲點斷裂后的只含1個DNA的染色體。此題的答案是B。

2.排列與組合的應用

排列與組合作為高中數學的重要知識。在減數分裂過程中，減Ⅰ分裂(中期)的同源染色體在細胞中央的不同排列方式，在細胞兩極出現不同的染色體組合，最終形成不同基因組成的配子，這是遺傳的分離定律與自由組合定律細胞學證據。同樣，遺傳信息的傳遞與表達過程中，也涉及到堿基的排列與密碼子的組合方式。因此，教師在教學中，從具體的實例出發，結合排列與組合知識，解決生物學上的一些疑難問題。

3.數學歸納法的應用

在平時的教學中，教師要善于從已有的知識過渡到新知識，詮釋新知識與已有知識的內在聯系與區別，以利于學生進行同化學習。教師通過對一些實例分析、協助學生歸納出一般的規律并構建數學模型。學生通過上位學習，把數學中的相關知識融入到生物學科中來，做到舉一反三。然后通過運用新規律，進一步檢驗、鞏固新知識，并實現知識的正遷移。

例2：若讓某雜合子連續自交，能表示自交代數和純合子比例關系是( )

解析：假設此雜合子的基因型為Aa、采用數學歸納法對雜合子自交的后代概率進行推算(一般學生都會)。自交第一代的雜合子概率為1/2，純合子的概率為1/2(顯、隱性純合子)，自交第二代的雜合子概率為(1/2)2……自交第N代的雜合子概率為(1/2)N，而純合子則為1-(1/2)N，然后再構建數學曲線模型。本題答案為D。

4.概率的計算

高中生物的遺傳機率的計算是教學的難點，教師通過對具體實例的解析，協助學生構建概率相加與相乘原理。比如，分類用概率相加原理；分步用概率相乘原理。

例3：A a B b×A a B B相交子代中基因型a a B B所占比例的計算。

解析：因為A a×A a相交子代中a a基因型個體占1/4，B b×B B相交子代中B B基因型個體占1/2，所以a a B B基因型個體占所有子代的1/4×1/2=1/8。由概率分步相乘原理，可知子代個別基因型所占比例等于該個別基因型中各對基因型出現概率的乘積。

5.生態系統的數學模型

生態學的一般規律中，常常求助于數學模型的研究，理論生態學中涉及到大量的數學模型構建的問題。在高中生物學中有種群的動態模型研究，如“J”與“S”型曲線；另外，種間競爭及捕食的數學模型等等。

例4：在實驗室中進行了兩類細菌競爭食物的實驗。在兩類細菌的混合培養液中測定了第Ⅰ類細菌后一代(即Zt+1)所占總數的百分數與前一代(即Zt)所占百分數之間的關系。在下圖中，實線表示觀測到的Zt+1和Zt之間的關系，虛線表示Zt+1=Zt時的情況。從長遠看，第Ⅰ類和第Ⅱ類細菌將會發生什么情況？()

A.第Ⅰ類細菌與第Ⅱ類細菌共存

B.兩類細菌共同增長

C.第Ⅰ類細菌把第Ⅱ類細菌從混合培養液中排除掉

D.第Ⅱ類細菌把第Ⅰ類細菌從混合培養液中排除掉

解析：兩類細菌在實驗條件下，同一環境中不存在其他生物因素的作用時，競爭的結果是一種生物生存下來，另一種被淘汰現象。從上述圖形的對角線(虛線)上可以看出在虛線上任取一點作橫坐標與縱坐標得到的是相同的數據，這說明了同種細菌后一代與前一代在混合培養液中的比例沒有變化，說明它們之間是共存的，不是競爭關系。而實線位于虛線下方，用同樣的方法不難得出，第Ⅰ類細菌的后一代含量比前一代含量減少了，在競爭中是劣勢的種群。本題答案為D。

6.生物作圖及曲線分析

生物作圖在近些年的高考試題中經常出現，對能力要求比較高，要求學生會從數形中提煉出有用的信息。教師在平時的教學中，可以結合生物學知識解決一些難以理解的、比較抽象的圖形和曲線。

例5：有一種酶催化反應P+Q→R，右圖中的實線表示沒有酶時此反應的進程。在t1時，將催化此反應的酶加入反應混合物中。右圖中的哪條線能表示此反應的真實進程(圖中[P]、[Q]和[R]分別代表化合物P、Q和R的濃度)？( )

A.Ⅰ B.Ⅱ C.Ⅲ D.Ⅳ E.Ⅴ

解析：A、B和D都不對。酶作為催化劑不能改變化學反應的平衡點即平衡常數(Keq=[R]/[P][Q])，只能縮短達到平衡的時間。圖中實線平行于橫坐標的線段延長相交于縱坐標的那個交點即為此反應的Keq。Ⅰ，Ⅱ和Ⅳ三條線顯然都改變了此平衡點。C正確：線Ⅲ反映了加酶后縮短了達到平衡點的時間而不改變原反應的平衡點。E不對：曲線Ⅴ從t1至平衡前的線段不符合加酶后的真實進程。

[1]鐘靜.數學模型法在高中生物教學中的應用[J].萍鄉高等專科學校學報，2012，(03).

[2]陳衛東.模型建構在高中生物新課程教學中的應用[J].教學與管理，2011，(04).