相似三角形課程難度變化分析及其對教學指導的探究

陳劍濤

摘要：本文借助史寧中教授的課程難度量化分析模型N=αG/T+（1-α）S/T（注：N表示課程難度， G表示課程廣度，S表示課程深度，T表示課程實施時間），對我國2011年頒布的《義務教育數學課程標準》（以下簡稱“《標準》”）與2000年《全日制九年義務教育初中數學教學大綱（試用修訂版）》（以下簡稱“《大綱》”）中“相似三角形”的內容難度進行對比分析，以此考察初中幾何課程、教學內容的發展變化，希望對我國初中幾何基礎教育課程改革提供一些啟示。

關鍵詞：課程難度;課程深度;課程廣度;相似三角形;教學指導

一、背景

對于初中生尚未發展成熟的思維觀念來說，初中幾何是比較容易接受的教學體系，同時也能發展學生在思維和邏輯上的能力。其中，關于“相似三角形”這一內容，從新課程改革前就一直是中學數學的重要內容，不僅借用了前面學習的全等三角形的相關思路，也為接下來解答某一些特殊幾何圖形的線段、面積等之間的關系提供了思路和方法。

二、難度量化比較

1.課程廣度

對比《大綱》，《標準》中相似三角形刪除了“相似比”的內容。通過查閱得出《標準》和《大綱》的知識點數可得出相應的廣度系數，取《標準》綜合的課程廣度系數G1=3，取《大綱》綜合的課程廣度系數為G2=4。

2.課程深度

對比《大綱》，《標準》中相似三角形有所降低，具體如下：①對于相似三角形的概念，從理解降低為了解;②對于相似三角形的判定定理、性質定理，從靈活運用，理解均降低為了解。綜合深度賦值表，取《標準》的課程深度S1=3，《大綱》的課程深度S2=9。

3.課程時間

分析《標準》《大綱》中相似三角形知識點的課程實施時間得知，兩者基本相同。查閱兩者中相似三角形的課程內容完成的所需時間可知，取《標準》的課程實施時間T1=7，《大綱》的課程實施時間T2=9。

4.難度比較

基于前面三個方面得出的數據，代入課程難度模型N=αG/T+（1-α）S/T，可以得到《標準》《大綱》的課程難度分別為N1=0.43，N2=0.67（取α=0.6），顯然，在這個模型下，“相似三角形”《標準》比《大綱》的課程難度降低了0.24。

三、教學啟發

通過分析上述數據，可以發現，《標準》和《大綱》中相似三角形的課程廣度、課程實施時間基本一致，但總體的難度降低。顯然影響該知識點難度變化的主要因素是課程深度。下面將具體分析課程廣度、課程深度、課程實施時間、課程難度四方面對教師實際教學過程的啟發和指導。

1.課程廣度變化對教學實踐的指導

基于上述分析可知，相對比《大綱》，《標準》中對相似三角形的內容減少了一個“相似比”的內容?！稑藴省分兄灰髮W生知道“相似多邊形對應邊的比稱為相似比”這一定義即可。當今的時代在不斷發展，教學內容也要不斷考慮學生可持續發展的需求。因此教師在具體實踐教學中，要注意嚴格按照《標準》的教學要求，不要順著《大綱》的老思路繼續講解已經刪除的知識點，更不要講怪題、難題，從而影響學生對初中幾何的思維。應當把時間用在“相似三角形”所要求的知識點上。

如《大綱》中課本有一道例題：證明重心定理：三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的23。

要證明重心定理，不僅要讓學生能夠找出在三角形內部的三角形之間的相似關系，并靈活運用相似三角形的性質定理，還要通過線段關系證出相似比。這與《標準》的廣度和深度要求均不一致，不應繼續進行講解。

2.課程深度變化對教學實踐的指導

基于以上對“相似三角形”課程深度變化分析可知，《標準》中保留下來的“相似三角形的判定定理”和“相似三角形的性質定理”的賦值比《大綱》深度降低，只要求學生理解即可。《標準》中是結合以前所學習的“三線八角”中和全等三角形中的相關定理對判定定理進行相關證明，學生在之前學習中就已經有了深刻的認識，因此對此“相似三角形”內容都能快速掌握，不必再多加一些綜合題型進行思考。所以教師在教學的過程中應當針對之前所學習的相關知識和保留下來的知

識點，在課堂上讓學生動手、動口、動腦，加深學生對知識點的理解并快速掌握，從而培養學生對三角形以及其他幾何圖形的敏感度和相關的幾何發散思維能力。

同時，教師應當積極引導學生運用學過的知識，看到題目，會想到什么樣的知識點，應該運用什么定理，從而培養學生對幾何圖形的慣性思維和空間發散思維，符合學生的可持續發展。

3.課程實施時間變化對教學實踐的指導

《標準》和《大綱》中相似三角形的課程實施時間只相差了兩個課時，但由于課程廣度與課程深度的減小，使得教師有足夠的時間去講解和分析所留下的知識點，不要浪費時間去講解已被刪除的知識點。相似三角形方面注重圖形的空間想象能力和實際生活中的問題，如測量河寬、樓層高度等實際問題。這些知識都是直接運用相似三角形的相關定理，難度中等偏下，學生理解起來不會特別困難。同時啟發教師要認真分析教學內容和目標，結合以前學過的相關幾何定理和類比全等三角形的相關定理，來思考整個教學的流程應當如何實施。

4.課程難度變化對教師教學實踐的指導

基于以上的探究，課程廣度、課程深度、課程實施時間的變化，其實反映的是課程難度的變化。本文中，《標準》對比《大綱》，“相似三角形”課程難度降低。根據上述分析，刪除了一個對現在不實際的知識點，減少了課程廣度，也降低了對兩個知識點的理解程度，從而大大減少了課程深度，而課程實施時間基本不變，最終使得課程難度降低了。這對于新時代的教師來說，是一種新的體驗和新的起點，同時也面臨著一種挑戰。如在課程時間方面，要正確地理解新課標的理念，貫穿新課標的思想。在面對不同程度的學生時因材施教，并在規定時間里讓學生理解知識點，同時要能激發學生主動學習的興趣，從而逐步培養現代社會學生對數學的思考和邏輯思維。在課程廣度方面，新課程要求在教學過程中更加注重數學思維、思想、方法的結合，不再講一些《大綱》老思想的題目，要時刻結合《標準》的規定，并聯系以前學習過的知識點，使得課本知識的邏輯性、連貫性得以保障。在課程深度方面，教師要注意知識點對學生掌握的要求和不同程度的學生對知識點理解的不同，從而因材施教。如對相似三角形判定定理和性質定理，都可聯系以前學習過的全等三角形的判定定理和性質定理，并結合一開始所學習的有關基礎幾何的思想，將其運用到相似三角形中，從而使學生掌握知識點的來源，并理解知識點之間的關系，培養對幾何思維的敏感度。

初中幾何是初中數學中的重要內容，也是培養學生幾何思維能力的一個重要部分。隨著新課程的不斷推廣和深入，教師要不斷地關注知識點難度的變化，這也是課程難度的變化的意義——在知識點難度有所變化時，教師要適應這種變化，讓學生能夠真正地掌握該知識點，從而完成課程所要求的內容。