基于OMP算法的極化敏感陣列多參數估計

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(電子科技大學電子工程學院， 四川成都 611731)

0 引言

壓縮感知(Compressive Sensing, CS)[1]是近幾年提出的一種稀疏信號重構技術，它突破了奈奎斯特采樣定理對采樣頻率的制約，可以以低頻率進行欠采樣，然后以高概率、高精度重構原始信號，降低數據采樣、存儲和處理的成本。CS理論為開辟高性能DOA估計算法提供了良好思路，但目前CS理論在多參數估計方面仍然存在比較大的問題。

對極化敏感陣列的研究自20世紀90年代開始日趨活躍，并成為陣列信號處理研究的新熱點[2]。其中對目標的DOA和極化參數估計一直都是研究的重點，而與常規標量陣列相比，利用矢量陣列可以進行多參數的估計，包括功率、極化參數等。多重信號分類[3](MUSIC)算法的提出使得高分辨測向技術發展有了飛躍性的突破。但是，對于多參數估計，傳統的MUSIC算法需要進行多維譜峰搜索，計算量太大，文獻[4-5]提出模值約束求解極化參數，降低了運算量，但在相干信號情況下估計失效。文獻[6]提出了通過旋轉不變性進行信號參數估計(ESPRIT)算法，避免了空間譜峰搜索，解決了運算量和儲存量方面的問題，但相干信號情況下失效。而將壓縮感知理論應用于矢量陣列參數估計時，其表現出的少快拍、低信噪比條件下仍有較好性能，以及天然的解相干能力等優勢，是傳統DOA估計算法不具備的，因此利用壓縮感知理論進行矢量陣列DOA估計，具有十分重要的意義。

標量陣列下壓縮感知理論已經有了比較成熟的研究，文獻[7-8]分別提出了L1-SVD算法以及L1-SRACV算法，文獻[9-10]提出加權范數算法，三者都屬于凸松弛算法，信號分辨率高，但運算復雜度大。文獻[11]在凸松弛算法的基礎上提出了將極化信號分解并利用LASSO算法求解極化參數的算法，得到比較精確的DOA估計，但極化參數估計結果并不好，并且算法涉及到正則化參數的選擇，計算復雜度非常高。文獻[12]提出了標量陣列下的正交匹配追蹤算法OMP算法，相對于L1-范數算法，OMP算法的優點是計算量小，并能夠更多地運用在實際工程中。本文在OMP算法的基礎上，對極化敏感陣列信號觀測矩陣重新建模，將空域與極化域參數分離進行估計，首先利用改進的OMP算法得到空域到達角估計結果，在已知空域到達角估計結果的基礎上，利用模值約束構造代價函數計算得到極化域參數估計結果，將空域和極化域分離處理，達到了降維的目的，減小了算法計算量。與傳統的MUSIC算法以及ESPRIT算法不同，該算法不需要求解協方差矩陣，進行特征值分解，這使得該算法在相干信號情況下同樣適用，同時也在一定程度上減少了算法運算復雜度。本文算法在小快拍數的情況下估計性能相較于ESPRIT算法以及模值約束MUSIC算法也有比較明顯的優勢。

1 常規OMP算法求解DOA

考慮均勻線性陣列，陣元數為M， 陣元間距為d， 均勻線性陣列空間導向矢量為

as(θ,φ)=[1,e-jφ,…,e-j(M-1)φ]T

(1)

式中，φ=2πdsinθsinφ/λ，λ為波長。為方便且不失一般性，假設信源方位角φ=90°。為得到波達方向估計，將整個空間的方位角劃分為Nθ份，構造M×Nθ維的冗余字典：

(2)

(3)

式中，x和n分別為陣列各通道的接收矩陣和其中的噪聲，均為M×N維，α為Nθ×1維的稀疏向量，只有信號入射方向對應的位置非零，其余位置全為零。上述稀疏表示模型對應的稀疏重構問題可以寫為

(4)

1) 初始值設置：殘差R0=x，原子集合A0為空矩陣，原子指針集Γ0為空，迭代次數k=0；

4) 計算最小二乘問題s′k=arg max‖x-Aks′‖2，并更新殘差Rk=x-Aksl；

5)如果k=K那么結束迭代，得到K個信號的DOA估計，否則k=k+1重復步驟2)。

OMP算法屬于壓縮感知重構方法中貪婪算法的一種，相較于凸優化算法雖然精度稍有欠缺，但運算復雜度小，因此更多的運用在實際工程中。本文中選擇OMP算法對極化敏感陣列模型進行求解。

2 極化敏感陣列信號模型

為了將標量陣列下的OMP算法運用到極化敏感陣列信號多參數估計中，進行如下信號建模。對于完全極化波，考慮一個由M個天線單元所組成的極化敏感均勻線性陣列，陣元間距為d，以及K個遠場窄帶極化信源。對應的極化矢量可以表示為

ap(θ,φ,γ,η)=V(θ,φ)·E(γ,η)=

(5)

式中，γ∈[0,π/2)為極化幅角，η∈[-π,π)為極化相角，θ∈[-π/2,π/2]和φ∈[0,2π)分別為空域俯仰角和空域到達角。為推導方便且不失一般性，假設空域角度φ=90°，那么極化矢量ap(θ,φ,γ,η)退化為

ap(θ,γ,η)=V(θ)·E(γ,η)=

記api為極化矢量ap(θ,γ,η)中對應的每一行的元素值。極化敏感陣列的導向矢量可以表示為極化矢量與空域導向矢量的Kronecker積，即

as,p(θ,γ,η)=ap(θ,γ,η)?as(θ)

(7)

式中，as(θ)=[1,e-jφ,…,e-j(M-1)φ]T，φ=2πdsinθ/λ，λ為波長。第k個信號的接收模型可以表示為

xk(t)=as,p(θk,γk,ηk)sk(t)+nk(t)

(8)

將上述極化敏感陣列信號接收模型對應行相加可以表示為

(9)

x′=As′+n′

(10)

x′=A(Θ)α+n′

(11)

觀察式(11)和式(3)可以發現，此時的極化敏感陣列是可以采用OMP算法求解的。

3 改進的OMP算法及極化參數求解

3.1 改進的信號波達方向估計算法

RK-1=x′-AK-1s′K-1

(12)

那么最小二乘問題的解為

[(AK-1)HAK-1]-1(AK-1)Hx′

(13)

將x′及式(10)代入式(9)，可以得到下面的形式：

RK-1=(I-AK-1((AK-1)HAK-1)-1(AK-1)H)·

(14)

4) 計算最小二乘問題s′k=arg max‖x′-Aks′‖2，并更新殘差Rk=x′-Aks′l；

6) 如果k=K那么結束迭代，得到K個信號的DOA估計，否則k=k+1重復步驟2)。

3.2 極化參數的估計

極化敏感陣列導向矢量如式(7)中所示，證明得到

as,p(θ,γ,η)=ap(θ,γ,η)?as(θ)=

(V(θ)?as(θ))·E(γ,η)

(15)

式中，as,p(θ)=V(θ)?as(θ)。由上節步驟2)中的原子選擇準則可以看到，信號到達角方向與殘差的相關性最大。同樣，在得到DOA的估計結果后，極化敏感陣列信號導向矢量與觀測矩陣的相關性最大，這樣可以得到極化參數的估計結果。那么求解極化參數就可以轉換為如下問題：

s.t.‖E(γ,η)‖=1

(16)

式中，x為觀測矩陣，as,p為極化導向矢量。

(‖xH(as,p(θ)E(γ,η))‖1)2=

(xH(as,p(θ)E(γ,η)))H(xH(as,p(θ)E(γ,η)))=

E(γ,η)Has,p(θ)HxxHas,p(θ)E(γ,η)

(17)

式中，

G(θ)=as,p(θ)HxxHas,p(θ)

(18)

那么式(16)就變成如下問題：

maxE(γ,η)HG(θ)E(γ,η) s.t. |E(γ,η)|2=1

(19)

G(θ)E(γ,η)=uE(γ,η)

(20)

為解決上式的問題，建立代價函數：

L(θ,γ,η)=EH(γ,η)G(θ)E(γ,η)-

u[EH(γ,η)E(γ,η)-1]

(21)

對式(21)關于E(γ,η)求梯度，并令結果等于0，得到

(22)

即G(θ)E(γ,η)=uE(γ,η)

(23)

可以看出，E(γ,η)為G(θ)的特征值u所對應的特征向量，因為

EH(γ,η)G(θ)E(γ,η)=uEH(γ,η)E(γ,η)=u

(24)

所以，要使得EH(γ,η)G(θ)E(γ,η)最大，相當于要求得最大的u。而G(θ)的最大特征值對應的特征向量正好是E(γ,η)，即

E(γ,η)=vmax[G(θ)]

(25)

(26)

(27)

3.3 基于OMP算法的極化敏感陣列多參數估計算法步驟

1) 將極化敏感陣列信號接收矩陣按照式(9)、(10)中所示的形式進行建模；

3.4 算法復雜度分析

算法的運算量主要與M,N,K和n有關，其中M代表陣元個數，N代表采樣快拍數，K代表入射信號個數，n代表搜索范圍內點數。通常情況下，M,N和K都比n小得多，所以算法的運算量主要取決于與n有關的項。在計算入射信號的波達方向時，本文算法構造了冗余字典，模值約束MUSIC算法運用譜峰搜索，都與搜索范圍點數n有關，但本文算法不需要求解協方差矩陣，同時也不需要對協方差矩陣進行特征值分解，相對模值約束MUSIC算法，復雜度小。對于極化ESPRIT算法，算法不需要進行譜峰搜索，因此算法運算量與n無關，但與模值約束MUSIC算法相同，兩者都需要比較大的快拍數才能得到精確的估計結果，而本文算法小快拍下就可以得到良好的估計結果，減少了算法運算量。

4 算法仿真及分析

仿真實驗一：假設陣元數M=16，陣元間距d=λ/2，噪聲為高斯白噪聲，兩個入射信號的角度及極化參數分別為(θ1,γ1,η1)=(10°,15°,30°)， (θ2,γ2,η2)=(60°,45°,75°)，兩個信號非相干情況下進行實驗。改變采樣快拍數，信噪比為5 dB，每個快拍條件下進行500次蒙特卡羅實驗，圖1(a)、(b)、(c)分別給出了在小快拍情況下極化ESPRIT算法、模值約束MUSIC算法、本文的入射信號波達方向估計及極化參數估計的均方誤差曲線。從仿真結果可以看出，隨著快拍數的增加，誤差減小，對于信號到達角的估計，本文算法在快拍數小于17 dB時，性能比ESPRIT以及MUSIC算法好，這表現出壓縮感知小快拍下性能優越的特點。極化參數估計方面，本文算法優于ESPRIT和模值約束MUSIC算法。

仿真實驗二：改變入射信號的信噪比，快拍數為50，進行500次蒙特卡羅實驗，兩個信號非相關條件下進行實驗，其余仿真條件與實驗一中相同。圖2(a)、(b)、(c)分別給出了極化ESPRIT算法、模值約束MUSIC算法、本文的入射信號波達方向估計以及極化參數估計的均方根誤差曲線。從仿真結果可以看出，隨著信噪比增加，均方根誤差越來越小。對入射信號的到達角估計，本文算法在信噪比小于0 dB時優勢明顯，隨著信噪比的增加MUSIC算法的估計性能優勢凸顯出來，這是因為MUSIC算法在求解DOA時運用特征分解，在大信噪比時優勢明顯。兩者的估計結果都優于ESPRIT算法。極化參數的估計本文算法總體優于極化ESPRIT算法和模值約束MUSIC算法，從圖1(b)中可以看到在信噪比增大到16 dB左右ESPRIT和模值約束算法的性能要比本文算法好，這也是由于兩種算法都運用了特征值分解而帶來的優勢。

仿真實驗三：入射信號的信噪比為10 dB，快拍數為200，兩個信號相干情況下進行實驗，其他實驗條件與實驗一中相同，進行500次蒙特卡羅實驗仿真得到統計均方根誤差對比結果如表1所示。從仿真結果可以看出，本文算法在相干信號情況下可以進行工作，但模值約束MUSIC算法及ES-PRIT算法已經失效，不能夠進行多參數的估計。所以將壓縮感知運用于極化敏感陣列中，無論在相干信號還是非相干信號的情況下都能夠得到良好的估計結果。

(a)到達角估計誤差隨快拍變化

(b)極化幅角估計誤差隨快拍變化

(c)極化相角估計誤差隨快拍變化圖1估計誤差隨快拍變化曲線

(a)到達角估計誤差隨信噪比變化

(b)極化幅角估計誤差隨信噪比變化

(c)極化相角估計誤差隨信噪比變化圖2估計誤差隨信噪比變化曲線

表1 統計均方根誤差結果對比

注：表中的MUSIC算法為模值約束MUSIC算法。

5 結束語

本文研究壓縮感知理論在極化敏感陣列信號多參數估計中的應用，在OMP算法的基礎上，提出一種改進的極化OMP算法。算法對極化敏感陣列信號觀測矩陣重新建模，將空域與極化域參數分離進行估計，達到了降維以及獨立估計的目的。與傳統的MUSIC算法以及ESPRIT算法不同，算法不需要求解協方差矩陣，進行特征值分解，這使得算法在相干信號情況下同樣適用，同時也在一定程度上減少了算法運算復雜度。本文算法在小快拍數的情況下估計性能相較于ESPRIT算法以及模值約束MUSIC算法也有比較明顯的優勢。通過仿真驗證了算法的正確性以及性能的優越性。通過與傳統的ESPRIT算法以及模值約束MUSIC算法的仿真性能對比，也可以看到將壓縮感知理論運用在極化敏感陣列多參數估計中能夠達到比傳統極化方法更好的估計性能。并且本文算法在小快拍及低信噪比時性能更好，具有很好的估計效果以及較快的收斂速度。

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