稀疏圓陣的解相干求根MUSIC算法

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(空軍預(yù)警學(xué)院， 湖北武漢 430019)

0 引言

均勻圓陣(Uniform Circular Array, UCA)在雷達(dá)、聲納和無(wú)線通信等領(lǐng)域應(yīng)用日益廣泛，這是因?yàn)橄啾扔诔Ｒ?guī)的均勻線陣，UCA具有可以同時(shí)提供俯仰角和方位角信息、方向圖在任何方位上具有基本相同的波束形狀和圓陣天線更易實(shí)現(xiàn)共形等優(yōu)勢(shì)[1-2]。UCA的超分辨DOA(Direction of Arrival)估計(jì)算法主要包括陣元域直接處理和波束域處理兩類。在陣元域直接處理時(shí)，由于UCA導(dǎo)向矢量不具備范德蒙德結(jié)構(gòu)，因此無(wú)法使用root-MUSIC, ESPRIT等算法減少運(yùn)算量，以及平滑處理、矩陣重構(gòu)等方法解相干。文獻(xiàn)[3]研究了兩種不同放置方式的圓陣的分辨特性，文獻(xiàn)[4-5]提出了直接利用圓陣的特殊陣列設(shè)置實(shí)現(xiàn)對(duì)相干源的DOA估計(jì)，不過(guò)這類算法的解相干性能和陣列設(shè)置的結(jié)構(gòu)密切相關(guān)，而且沒(méi)有考慮陣列稀疏的情況。

波束域處理通常采用波束變換的方法得到具有范德蒙德結(jié)構(gòu)的波束域?qū)蚴噶?。陣列?nèi)插變換[6]和相位模式激勵(lì)方法[7]是UCA波束變換的常用方法，前者適用于較小方位區(qū)域的處理，增加處理方位的范圍會(huì)導(dǎo)致誤差增大；后者利用空間離散傅里葉變換，適用于全方位處理，在陣元數(shù)目足夠多的情況下，波束域?qū)蚴噶靠梢钥醋骶哂泄曹棇?duì)稱和范德蒙德結(jié)構(gòu)。以相位模式激勵(lì)方法為基礎(chǔ)，文獻(xiàn)[8]提出了UCA-RB-MUSIC，UCA-ESPRIT算法，文獻(xiàn)[9-10]提出了Unitary root-MUSIC算法，這些算法在波束域進(jìn)行處理，避免了譜搜索過(guò)程，降低了計(jì)算量；文獻(xiàn)[11-14]提出了針對(duì)相干源的圓陣波束域DOA估計(jì)算法，這些算法利用波束域?qū)蚴噶康墓曹棇?duì)稱和范德蒙德結(jié)構(gòu)，通過(guò)矩陣重構(gòu)實(shí)現(xiàn)了對(duì)相干源的解相干。但是，以上算法的適用范圍是陣元數(shù)大于2K(K是最大模式值，與圓陣半徑和信號(hào)頻率的乘積成正比)，當(dāng)陣元數(shù)減少，即陣列稀疏時(shí)會(huì)產(chǎn)生很大誤差，導(dǎo)致上述算法失效。為了解決稀疏圓陣的DOA估計(jì)問(wèn)題，文獻(xiàn)[15]定量分析了相位模式激勵(lì)類算法的誤差，并且提出了一種改進(jìn)的波束變換方法，通過(guò)循環(huán)迭代的方式可以消除誤差的主要部分，從而使波束域?qū)蚴噶扛咏咏硐氲墓曹棇?duì)稱和范德蒙德結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[16]提出的sparse UCA root-MUSIC(SR)算法則是不改變相位模式激勵(lì)的變換矩陣，而對(duì)波束域的導(dǎo)向矢量進(jìn)行誤差補(bǔ)償，從而消除誤差的主要部分。文獻(xiàn)[15]中的方法復(fù)雜度較高，需要信號(hào)方位的先驗(yàn)信息，而且在陣元數(shù)小于K時(shí)只能消除部分誤差，導(dǎo)致算法性能急劇下降，因此只適用于陣元數(shù)大于K的情況。SR算法理論上適用于任意陣元數(shù)的UCA，但是得到的波束域?qū)蚴噶坎辉倬哂泄曹棇?duì)稱或者范德蒙德結(jié)構(gòu)，無(wú)法使用平滑、前后向平均等解相干方法。

本文在SR算法的基礎(chǔ)上，首先改進(jìn)了波束變換矩陣，對(duì)變換矩陣進(jìn)行相位校正，從而使波束域?qū)蚴噶烤邆淞斯曹棇?duì)稱結(jié)構(gòu)，進(jìn)而提出了稀疏圓陣的解相干求根MUSIC算法(Sparse UCA Decorrelation Root-MUSIC , SDR)，這種算法適用于任意陣元數(shù)的UCA，而且進(jìn)行了前后向平均處理，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)相干信號(hào)源的DOA估計(jì)，在低信噪比和低快拍數(shù)情況下有更好的估計(jì)性能。

1 陣列模型

這里只考慮入射信號(hào)與陣列在同一個(gè)平面的情況，假設(shè)均勻圓陣由M個(gè)各向同性的陣元組成，圓陣水平放置，半徑為r。以圓心為參考點(diǎn)，則陣列的導(dǎo)向矢量可以表示為

a(θ)=[e-j2πr/λ cos(θ-γ1), e-j2πr/λ cos(θ-γ2),…,e-j2πr/λ cos(θ-γM)]T

(1)

陣元的接收數(shù)據(jù)可以表示為

x(t) =As(t)+n(t)

(2)

式中，A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θN)]為N個(gè)信號(hào)的陣列流形，s(t)為N×1維的信號(hào)矢量，n(t)為M×1維的噪聲矢量，x(t)為M×1維的陣元接收數(shù)據(jù)矢量。

bkejkθ+Δ

(3)

b(θ)≈FaB(θ)=

[b-Ke-jKθ,b-(K-1)e-j(K-1)θ,…,bKejKθ]T

(4)

式中，F(xiàn)=diag([b-K,b-(K-1),…,bK])，aB(θ)=[e-jKθ,e-j(K-1)θ,…,ejKθ]T。

常規(guī)相位模式激勵(lì)法以F-1W=F-1[w-K,w-(K-1),…,wK]H作為波束形成器，那么aB(θ)即為波束域?qū)蚴噶?，具備共軛?duì)稱和范德蒙德結(jié)構(gòu)，可以使用平滑處理及矩陣重構(gòu)等方法解相干[12-15]。

SR算法以W作為波束形成器，考慮陣元數(shù)為奇數(shù)且M<2K的陣列稀疏情況，記P=(M-1)/2，取|k|≤P，此時(shí)Δ中存在P<|k±qM|

|k±qM|

co(θ)=Hob(θ)

(5)

式中，Ho=[I1?I?Ir]，I為(2P+1)×(2P+1)維的單位矩陣，Il為I的后K-P列，Ir為I的前K-P列。顯而易見(jiàn)，這種方法得到的波束域維數(shù)為2P+1，將P<|k±qM|

對(duì)于補(bǔ)償后的導(dǎo)向矢量仍然可以進(jìn)行root-MUSIC運(yùn)算，避免了計(jì)算量較大的譜搜索過(guò)程。上面提到的補(bǔ)償矩陣Ho的形式只適用于K<3P+1的情形，當(dāng)陣元數(shù)繼續(xù)減少時(shí)，文獻(xiàn)[17]給出了補(bǔ)償矩陣相應(yīng)的形式，在3P+1

2 改進(jìn)的波束變換和平滑方法

2.1 改進(jìn)的波束變換方法

SR算法改進(jìn)了傳統(tǒng)的相位模式激勵(lì)方法，適用于陣元稀疏的情況，而且可以采用root-MUSIC方法減少計(jì)算量。但是它的缺陷在于不適用于相干信號(hào)源的DOA估計(jì)，而實(shí)際應(yīng)用中，由于多徑等情況的存在，相干信號(hào)源是不可避免的。SR算法不能解相干的原因是它的波束域?qū)蚴噶縞o(θ)不再具有共軛對(duì)稱或者范德蒙德結(jié)構(gòu)，因此，首先考慮改進(jìn)SR算法，得到具有共軛對(duì)稱結(jié)構(gòu)的波束域?qū)蚴噶俊?/p>

這里考慮陣元數(shù)目為偶數(shù)的情況，即M=2P，同樣地，P

He=[0l?I?0r]+[Il?0?Ir]

(6)

式中，0l和0r都為(2P+1)×(K-P)維的零矩陣，I為(2P+1)×(2P+1)維的單位矩陣，Il為I的后K-P+1列，Ir為I的前K-P+1列，0為(2P+1)×(2P-1)維的零矩陣。

可以看出，當(dāng)陣元數(shù)目為偶數(shù)時(shí)，補(bǔ)償矩陣有別于陣元數(shù)目為奇數(shù)的情況。下面討論這兩種情況下波束域的特征。為了直觀地說(shuō)明問(wèn)題，這里取K=5，P=3。首先得出陣元數(shù)目M=6和M=7兩種情況下的補(bǔ)償矩陣。

(7)

相應(yīng)的波束域?qū)蚴噶繛?/p>

(8)

觀察以上兩種情況下的波束域?qū)蚴噶靠梢钥闯觯?/p>

1)ce(θ)的首末兩項(xiàng)是重復(fù)的，其中一個(gè)是冗余的，co(θ)則無(wú)冗余，也就是ce(θ)的有效維數(shù)為M。這是由于補(bǔ)償后的波束域是2P+1維的，當(dāng)陣元數(shù)為2P時(shí)，少于波束域維數(shù)。

3)ce(θ)的元素中相加項(xiàng)的下標(biāo)同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)，而co(θ)的元素中相加項(xiàng)的下標(biāo)為一奇數(shù)一偶數(shù)。

在上述觀察結(jié)果的基礎(chǔ)上，為了使波束域?qū)蚴噶烤哂泄曹棇?duì)稱結(jié)構(gòu)，再考慮bk=jkJk

T=diag([(-1)P,(-1)P-1,…,(-1)0,1,…,1])

(9)

綜上所述，新的波束形成器是TW，對(duì)應(yīng)的波束域?qū)蚴噶縟(θ)滿足共軛對(duì)稱結(jié)構(gòu)，表示為

d(θ)=Tce(θ)=THeFaB(θ)

(10)

2.2 波束域前后向平滑處理

通過(guò)前一小節(jié)所述的改進(jìn)波束變換方法，可以得到具有共軛對(duì)稱結(jié)構(gòu)的波束域?qū)蚴噶?，從而可以利用前后向平均處理的方法，?shí)現(xiàn)對(duì)相干源的DOA估計(jì)。需要說(shuō)明的是，這種方法針對(duì)的是時(shí)域相位不一致的相干信號(hào)，即信號(hào)的相位差非零且非π的情況，實(shí)際中的相干源基本上都滿足這一要求。

首先，介紹波束域前后向平均處理的方法，采用前一節(jié)提出的波束變換方法后，可以得到波束域數(shù)據(jù)：

y(t)=TWx(t)=TWAs(t)+TWn(t)=

Ds(t)+TWn(t)

(11)

式中，D=[d(θ1)d(θ2)…d(θN)]。相應(yīng)的波束域數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可以表示為

R= E [y(t)yH(t)]

(12)

然后，可以進(jìn)行前后向平均處理：

(13)

式中，J為(2P+1)×(2P+1)維的反對(duì)角線單位矩陣。

(14)

令z=ejθ，可得出關(guān)于z的2P階方程，通過(guò)對(duì)方程求根即可得出相干信號(hào)源的DOA。

R=DE [s(t)s*(t)]DH+TWE [n(t)n*(t)]WHTH=

(15)

(16)

ρ*ρT)，下面對(duì)它進(jìn)一步求解：

(17)

式中，P=[ρρ*]，P又可以表示為

(18)

很明顯可以得到，在|angle(ρ(1))-angle(ρ(2))|

3 仿真分析

實(shí)驗(yàn)中，圓陣半徑r=λ，

最大模式值為K=

圖1 r=λ情況下|bk|與k的關(guān)系圖

實(shí)驗(yàn)1：不同陣元數(shù)時(shí)的解相干性能

實(shí)驗(yàn)仿真比較本文算法與文獻(xiàn)[13]中MODETOEP算法及MODEFBSS算法在不同陣元數(shù)情況下的解相干性能。實(shí)驗(yàn)中陣元數(shù)目分別為16，10和6，其中，陣元數(shù)16是陣列不稀疏的情況，陣元數(shù)10和6分別是陣元數(shù)目大于和小于最大模式K的陣列稀疏的情況， 3種陣元數(shù)目分別對(duì)應(yīng)陣元間距為0.39λ，0.63λ和1.05λ。兩個(gè)相干信號(hào)入射方位分別為-20°和20°，衰落系數(shù)分別為1，0.9ej1.3。其中，MODETOEP算法和MODEFBSS算法需要采用傳統(tǒng)的相位模式激勵(lì)法，波束域維數(shù)為15，波束域?qū)蚴噶坎捎胊B(θ)，MODEFBSS算法子陣陣元數(shù)為10；本文算法波束域維數(shù)分別為17，11和7，波束域?qū)蚴噶坎捎胐(θ)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果由200次蒙特卡洛仿真得出，快拍次數(shù)為100。圖2是16元陣3種算法的解相干性能，圖3是10元陣和6元陣使用本文算法的解相干性能。

當(dāng)陣元數(shù)為16時(shí)，3種算法均有效，但是MODETOEP算法估計(jì)偏差始終為11°左右，估計(jì)精度較差，這是因?yàn)镸ODETOEP等矩陣重構(gòu)類算法適用范圍是ρ為實(shí)數(shù)矢量，當(dāng)ρ為復(fù)數(shù)矢量時(shí)，會(huì)引起估計(jì)角度的偏移。隨著信噪比增大，本文算法和MODEFBSS算法估計(jì)偏差逐漸減小。在信噪比小于0 dB時(shí)，很明顯本文算法估計(jì)精度好于MODEFBSS算法，這是由于本文算法考慮了|k+qM|<11的所有誤差，而MODEFBSS算法需要忽略9<|k±qM|<11的誤差。

當(dāng)陣元數(shù)為6或者10，即陣列稀疏時(shí)，MODETOEP算法和MODEFBSS算法失效，無(wú)法正確估計(jì)出信號(hào)源方位，因?yàn)檫@兩種算法要求波束域?qū)蚴噶繚M足范德蒙德結(jié)構(gòu)，然而陣列稀疏時(shí)相位模式激勵(lì)有較大誤差，波束域?qū)蚴噶坎⒉粷M足范德蒙德結(jié)構(gòu)。本文算法由于考慮了模式激勵(lì)的誤差，在陣列稀疏時(shí)仍有很好估計(jì)性能，當(dāng)信噪比大于-5 dB時(shí)，估計(jì)偏差小于1°，估計(jì)精度好于16元陣的MODEFBSS算法。

實(shí)驗(yàn)2：稀疏陣列對(duì)非相關(guān)信號(hào)源估計(jì)性能

實(shí)驗(yàn)仿真對(duì)于陣元數(shù)為6的稀疏UCA，比較不同快拍數(shù)和不同信噪比時(shí)本文算法與SR算法對(duì)于信號(hào)的估計(jì)性能。實(shí)驗(yàn)中，采用兩個(gè)不相關(guān)信號(hào)，入射角度分別為-10°和10°，比較信噪比的影響時(shí)快拍數(shù)為50，比較快拍數(shù)影響時(shí)，信噪比為-3 dB。當(dāng)估計(jì)方位與目標(biāo)真實(shí)方位相差小于0.1倍的目標(biāo)方位間距時(shí)，認(rèn)為估計(jì)成功。實(shí)驗(yàn)結(jié)果由200次蒙特卡洛仿真得出。

從圖4中可以看出，在快拍數(shù)大于150或者信噪比大于0 dB時(shí)，本文算法與SR算法估計(jì)性能基本一致，但是當(dāng)快拍數(shù)小于150或者信噪比小于0 dB時(shí)，本文算法成功概率和RMSE都要優(yōu)于SR算法。這是因?yàn)楸疚乃惴ㄍㄟ^(guò)改進(jìn)波束變換矩陣，增加了平滑處理，具有平均的意義。

(a)成功概率與信噪比的關(guān)系

(b)估計(jì)偏差與信噪比的關(guān)系圖2 16元陣3種算法解相干性能

(a)成功概率與信噪比的關(guān)系

(b)估計(jì)偏差與信噪比的關(guān)系圖3 10陣和6元陣使用本文算法的解相干性能

(a)成功概率與信噪比的關(guān)系

(b)RMSE與信噪比的關(guān)系

(c)成功概率與快拍數(shù)的關(guān)系

(d)RMSE與快拍數(shù)的關(guān)系圖4 稀疏陣列的估計(jì)性能

實(shí)驗(yàn)3：稀疏陣列的解相干能力

實(shí)驗(yàn)仿真陣元數(shù)為6和8的兩種稀疏圓陣，其中針對(duì)6元陣仿真了1組和2組相干源的情況，針對(duì)8元陣仿真了2組和3組相干源的情況。其中各組相干源入射角度分別是(10°,-10°)，(50°,-50°)和(100°,-100°)。實(shí)驗(yàn)快拍數(shù)為100，信噪比為0 dB。圖5和圖6為利用本文算法求解所得根的分布，其中橫軸表示根的實(shí)部，縱軸表示根的虛部，與橫軸正方向的夾角即為估計(jì)的入射信號(hào)方位角。

(a)1組相干源

(b)2組相干源圖5 6元陣根分布圖

(a)1組相干源

(b)2組相干源

(c)3組相干源圖6 8元陣根分布圖

從圖5和圖6可以看出，6元陣和8元陣分別可以估計(jì)出4個(gè)相干源和6個(gè)相干源的入射方位。理論上，對(duì)于M元陣，在波束域有M個(gè)有效的自由度，可以估計(jì)M-1個(gè)相干源，然而實(shí)際中由于噪聲等因素的影響，在對(duì)M-1個(gè)相干源估計(jì)時(shí)會(huì)出現(xiàn)多個(gè)虛假方位，導(dǎo)致估計(jì)失敗，最多只能估計(jì)出M-2個(gè)相干源。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文首先在SR算法的基礎(chǔ)上，對(duì)波束變換過(guò)程中的誤差進(jìn)行補(bǔ)償，得到了波束域?qū)蚴噶康恼_表達(dá)形式，相比傳統(tǒng)的相位模式激勵(lì)方法要求陣元數(shù)大于2K，該方法適用于陣元數(shù)小于2K的稀疏圓陣。然后，通過(guò)分析新的波束域?qū)蚴噶康慕Y(jié)構(gòu)特征，提出對(duì)波束域進(jìn)行相位校正的方法，從而實(shí)現(xiàn)了波束域?qū)蚴噶康墓曹棇?duì)稱結(jié)構(gòu)。最后，利用這種共軛對(duì)稱結(jié)構(gòu)進(jìn)行前后向平均，實(shí)現(xiàn)了對(duì)相干信號(hào)源的解相干。

相比其他的圓陣波束域解相干算法，該方法考慮了波束變換的誤差，從而不再需要陣元數(shù)目大于2K，在陣列稀疏的情況下仍然具有較高的估計(jì)精度。與陣元域處理算法相比，本文算法可以采用root-MUSIC算法，避免了譜搜索過(guò)程，減少了計(jì)算量。

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