圖上的p-Laplacian方程解的性質(zhì)及其數(shù)值仿真

王　坤，辛　巧

(伊犁師范學院數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，新疆伊寧 835000)

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圖上的p-Laplacian方程解的性質(zhì)及其數(shù)值仿真

王坤，辛巧

(伊犁師范學院數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，新疆伊寧 835000)

[摘要]本文通過研究圖上的p-Laplacian算子的基本性質(zhì)，首先討論了圖上的p-Laplacian方程解的性質(zhì)；其次，給出了一個圖上的p-Laplacian方程的解析解論證了理論上的結(jié)果；最后，對另一個圖上的p-Laplacian方程進行數(shù)值模擬驗證理論上的結(jié)果。

[關(guān)鍵詞]圖上的p-Laplacian算子；圖上的p-Laplacian方程；Cauchy問題

圖(Graph)通過一些有意義的連接(邊)表示離散對象的相互關(guān)系，它是計算機科學、生物學、經(jīng)濟學、社會學等領(lǐng)域用來分析離散對象關(guān)系的重要工具.近年來，圖譜理論是討論圖的識別問題的重要工具之一.2005年，Berenstein和Chung[1]對定義在圖上的函數(shù)引入了積分、方向?qū)?shù)、梯度、離散Laplacian算子等概念，并利用圖上的調(diào)和方程的反問題討論圖的邊的連通性和連接權(quán)重的識別問題.2007年，S.Y. Chung、Y.S. Chung和J.H. Kim[2]引入了圖上的ω-熱方程，討論了其初值和邊值問題的可解性，利用ω-擴散核的概念刻畫了其解的形式.2008年，Elmoataz、Lezoray和Bougleux[3]從圖上的能量泛函的極小化出發(fā)，引入了圖上的p-Laplacian算子，并將其應(yīng)用于圖像去噪問題.此外，圖上的偏微分方程還可進一步應(yīng)用于分子擾動分析[4]、動力系統(tǒng)[5]、圖像分割[6]等研究領(lǐng)域.2012年，Y.S. Lee和S.Y. Chung[7]討論了帶有狄利克雷邊界條件的圖上的p-Laplacian方程初邊值問題解的熄滅和正性.在本文中，我們主要討論圖上的p-Laplacian方程Cauchy問題(也稱為初值問題)解的性質(zhì)，該結(jié)果推廣了文獻[8]中關(guān)于非局部熱方程解的性質(zhì)的研究.值得注意的是，文獻[3]和[7]中關(guān)于離散的p-Laplacian算子的定義略有差異，我們采用文獻[3]中p-Laplacian算子的定義.

1預(yù)備知識

首先，給出一些圖論中的基本符號、定義以及圖上的函數(shù)的積分、方向?qū)?shù)、梯度和離散p-Laplacian算子及其伴隨算子[1,3,9]. 在下文中，G(V，E，ω)通常表示簡單、連通賦權(quán)圖，其中有限集合V表示圖G頂點，用符號x∈V表示x是圖G的頂點，而E?V×V表示其賦權(quán)邊的集合，用符號x~y表示圖G中連接頂點x和y的邊，邊的權(quán)重函數(shù)定義為：ω：V×V→[0，+∞)，且滿足：(1)對任意的x∈V，有ω(x，x)=0；(2)若x~y，則ω(x，y)=ω(y，x)>0，即對稱性、非負性；(3)如果E中不存在連接頂點x和y的邊，則ω(x，y)=0.

圖G(V，E，ω)上的函數(shù)可以理解為定義在圖頂點集合V上的映射u：V→R，類似于連續(xù)函數(shù)空間上積分的定義，其在圖G上的積分定義如下：

方向?qū)?shù)為

ωu(x)=(dω，yu(x))y∈V.

在下文中，用符號H(V)表示定義在圖G(V，E，ω)頂點集V上的函數(shù)的集合，對于任意的u(x)，v(x)∈H(V)，其內(nèi)積定義為

〈u(x)，v(x)〉H(V)=∫Vu(x)v(x).

容易驗證H(V)為Hilbert空間.類似地，用符號H(E)表示定義在圖G(V，E，ω)邊集E的函數(shù)U∶(x，y)→R的集合，對任意的U(x，y)，V(x，y)∈H(E)，定義它們的內(nèi)積為

也容易驗證該空間為Hilbert空間.

在上述基本定義的基礎(chǔ)上，方向?qū)?shù)的伴隨算子記作d*∶H(E)→H(V)(線性算子)的定義為

〈du，U〉H(E)=〈u，d*U〉H(V).

此外，其詳細的計算公式

證明可參考文獻[5]的推論1.

根據(jù)伴隨算子的定義進行計算，容易知

其中，γ(x，y)=|ωu(x)|p-2+|ωu(y)|p-2，具體的證明細節(jié)可以參考文獻[5]的推論3.

2主要結(jié)果

在研究圖上的p-laplacian方程Cauchy問題解的性質(zhì)之前，先給出離散的p-laplacian算子的性質(zhì)，有如下定理.

證明(a)由于u(x)恒為常數(shù)，所以對于?x，y∈V都有u(x)=C(C為常數(shù))，進而u(x)-u(y)=0，再由離散的p-laplacian算子的定義可知

(b)若?x0∈V，對?x∈V，有u(x0)≥u(x)，由于

(c)根據(jù)離散的p-laplacian算子的定義、權(quán)重函數(shù)ω(x，y)的對稱性和函數(shù)空間H(V)內(nèi)積的定義，可得到

(d)

在研究上述離散的p-laplacian算子性質(zhì)的基礎(chǔ)上，可得到如下圖上離散的p-laplacian方程Cauchy問題解的性質(zhì).

目前中國的餐飲企業(yè)核心特征為雖然客戶群體龐大，發(fā)展前景很樂觀，但整個餐飲業(yè)發(fā)展階段足夠豐富，即每家企業(yè)所處的發(fā)展階段存在很大差別，龍頭企業(yè)相對稀缺，在上市企業(yè)中也毫無存在感！國內(nèi)大部分餐飲企業(yè)發(fā)展遇到瓶頸！

定理2圖上離散的p-laplacian方程的Cauchy問題：

(1)

證明(ⅰ)由離散的p-laplacian算子的性質(zhì)(d)，則有

(ⅱ)若存在頂點x0∈V，對于?x，u(x0，t)是方程的解u(x，t)的最大值，那么

類似地，對于任意的頂點x0∈V，若u(x0，t)是方程的解u(x，t)的最小值，那么

(ⅲ)對于能量函數(shù)E(t)，有

=-〈u(x，t)，d*[γ(x，y)dω，yu(x，t)]〉H(V)

=-〈dω，yu(x，t)，γ(x，y)dω，yu(x，t)〉H(E)

≤0.

3數(shù)值模擬

下面我們給出兩個具體的實例用于論證理論上的結(jié)果.

例1設(shè)圖G(V，E，ω)為2個頂點的完全圖，V={x1，x2}，特別選取ω=1(此時，該圖稱為標準圖)，則該圖上的p-Laplacian方程(1)可以具體表示為：

(2)

由(2)的兩個方程和0

當p≠2時，解析解為

當p=2時，解析解為

不管p取何值，都容易驗證方程(2)的解滿足定理2.

例2設(shè)圖G(V，E，ω)為3個頂點的完全圖，V={x1，x2，x3}，也特別選取ω(xi，xj)=1，1≤i≠j≤3，則該圖上的p-Laplacian方程(1)可以具體表示為

(3)

其中，c1，c2，c3為常數(shù)，f1(t)，f2(t)，f3(t)分別是f(x1,t),f(x2,t),f(x3,t)的簡單表示，fi在各個頂點的梯度算子的模定義如下：

由于微分方程組(3)的非線性，不容易求其解析解.在此，我們考慮它的數(shù)值解，對時間變量采取顯式的差分格式.在下面的數(shù)值模擬中，Δt為時間步長設(shè)定為0.001，p=2.5，c1=15,c2=8,c3=2.8.在圖1中，實的曲線為函數(shù)f1(t)，點狀的曲線為f2(t)，虛線短表示的曲線為f3(t)，可見當時間t足夠大時，三者的值都收斂到初值的平均值.定理2(c)中的能量函數(shù)E(t)隨時間遞減，其函數(shù)圖像如圖2所示.

圖1　解的數(shù)值模擬

圖2　能量函數(shù)的圖像

4結(jié)論

本文主要考慮了圖上的p-Laplacian算子及圖上的p-Laplacian方程Cauchy問題解的性質(zhì)，并且給出了兩個實例用于進一步論證理論上的結(jié)果.由定理2和定理3的結(jié)果得到離散的p-laplacian方程確實可用于圖像去噪，并且具有一些好的性質(zhì)，其在文獻[3]中也得到了印證.在后續(xù)的研究過程中，我們可以進一步討論其在圖像處理問題中的其它應(yīng)用.

[參考文獻]

[1]Chung S Y,Berenstein C A.ω-Harmonic function and inverse conductivity problems on networks[J].SIAM J Appl Math,2005,56(4):1200-1226.

[2]Chung S Y,Chung Y S,Kim J H.Diffusion and elastic equations on networks[J].Publ Res Inst Math Sci,2007,43(3): 699-725.

[3]Elmoataz A,Lezoray O,Bougleux S.Nonlocal discrete regularization on weighted graphs:a framework for image and manifold processing[J].IEEE Tans Image Process,2008,17(7):1047-1060.

[4]Trinajstic N,Babic D,Nikoli S.The Laplacian matrix in chemistry[J].J Chem Inf Comput Sci,1994,34(2):368-376.

[5]Zakrzewski W J.Laplacians on lattices[J].J Nonlinear Math Phys,2005,12(4):530-538.

[6]Ta V T,Lezoray O,Elmoataz A, et al.Graph-based tools for microscopic cellular image segmentation[J].Pattern Recognition,2009,42(6):1113-1125.

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[8]Gilboa G,Osher S.Nonlocal linear Image regularization and supervised segmentation[J].Multiscale Model Simul, 2007,6(2):595-630.

[9]辛巧,許璐,王安平.無限圖上帶吸收項的熱方程解的熄滅和正性[J].云南大學學報:自然科學版,2013,35(6):727-730.

Properties of the Solution for the p-Laplacian Equation on Graphs and Its Numerical Simulation

WANG Kun, XIN Qiao

(College of Mathematics and Statistics, Yili Normal Univeristy, Yining Xinjiang 835000, China)

Abstract:Throughout the researches on the basic properties of the p-Laplacian operator, the properties of the solution for the p-Laplacian equation on graphs were considered. Finally, the analytic solution of an example for the p-Laplacian equation on a special graph is used to demonstrate the theoretical results. Furthermore, the numerical simulation for the p-Laplacian equation on a complex graph is given.

Key words:p-Laplacian operator on graphs; p-Laplacian equation on graphs; Cauchy problem

[通訊作者]辛巧(1981- )，男，副教授，博士，碩士生導師，從事偏微分方程及應(yīng)用研究。

[作者簡介]王坤(1991- )，男，碩士研究生，從事偏微分方程及應(yīng)用研究。

[基金項目]新疆維吾爾自治區(qū)自然科學基金項目“圖上的偏微分方程解的性質(zhì)研究”(201442137-30)；伊犁師范學院2014年度研究生科研創(chuàng)新項目“圖上的偏微分方程解的漸進行為”(2014YSY022)。

[收稿日期]2015-10-16

[中圖分類號]O175.29

[文獻標識碼]A

[文章編號]2095-7602(2016)02-0009-05