淺談中學生對銳角三角函數理解出現的問題及原因

【摘要】初中階段，學生會學習到幾類函數的基本概念與應用，如一次函數，二次函數，銳角三角函數等。其中銳角三角函數是特殊的一種函數，它不僅要結合特定的圖形，而且表達式與其他函數也不相同。這使得教師在三角函數概念的教學上有著一定的難度，而一部分學生對銳角三角函數的理解也存在偏頗。本文將從三角函數概念發展的過程角度對初中生三角函數部分學習現狀進行分析，并給出出現問題的原因。

【關鍵詞】銳角三角函數 對應 現狀及原因

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）01-0150-01

一、函數概念形成過程中的三角函數

三角函數也被稱作圓函數。在古代研究三角函數，大都在一個半徑確定的圓內進行。當時的三角函數實際上是定圓內的一些線段長，故稱圓函數。后來數學家雷狄庫斯重新給出了三角函數的定義，他把三角函數定義為直角三角形邊長比，建立了三角函數與角度的直接聯系，脫離依賴圓弧作法。直到1748年，數學家歐拉在《無窮小分析引論》中首次令圓的半徑為1，即置角與單位圓中，從而使正、余弦函數定義為相應的線段與圓半徑之比。

有了以上定義，我們可以看出，三角函數存在的兩個變量，一個是角度，一個是線段比。當自變量角度發生改變時，它所對應的各個三角函數值也在改變。但是，很明顯的是，作為自變量的角度，并不參與求解各個三角函數值的運算。也就是說，某角度的各個三角函數值的解答過程，只是相應的線段在做比，角度本身沒有參與這種得到結果的運算，這是一種角度與線段比的對應關系。

在函數概念形成的歷史過程中，可以大致分為從“變量說”函數到“對應說”函數最后到“集合說”函數。現今人教版初中數學課本對函數的定義是“設在一個變化過程中有兩個變量X與Y，如果對于X的每一個值，Y都有唯一的值與它對應，那么就說X是自變量，Y是X的函數”。這樣的一種定義比較趨近于函數的“變量說”，而且之后學生接觸到的一次函數、正比例函數等都是典型的用“變量說”來解釋的函數。然而銳角三角函數與之不同的就是，它強調的是兩變量之間的關系，并不只對自變量本身進行代數運算。因此，站在函數的高度并結合初中數學課本函數部分的內容來說，銳角三角函數是函數“對應說”中很好的例子。

二、銳角三角函數的概念教學現狀及原因

在問及初中生函數有什么特點時，學生常?；卮鸷瘮涤凶约航馕鍪?、圖像、自變量X、因變量Y以及X可以經過運算得到Y等等。這些問題出現的原因是教材中首先采用了一次函數，反比例函數等這種用解析式表達的函數，因此這種認知的同化過程，即不斷的加深深學生對函數有固定解析式且用X、Y表示的印象，對學生學習銳角三角函數時產生了負遷移。例如學生會出現這樣的問題，他們認為既然叫銳角三角函數，為什么跟以前學的函數不一樣，沒有X和Y；為什么函數值的求解要在直角三角形中進行；為什么銳角三角函數有三個不同的表達式等等。

出現這些問題的原因，最主要一點上文已提到，銳角三角函數是函數“對應說”中很好的例子，而很多教師都沒有這方面的意識，只是單純的講解銳角三角函數解析式，三個函數值的符號，沒有把它上升到函數的高度。因此，學生出現問題的原因大致如下。

首先，由于數學教師沒有這方面的體會，所以在講解銳角三角函數時，很少會提到“對應”這個詞，沒有為學生講明白銳角三角函數與之前所學函數的實質性差別。三角函數之所以也叫函數，更為突出的是它體現了函數的“對應”思想。沒有直接把角度放入表達式中進行代數運算，而是用角所對應邊的比值來表示這個角的某個三角函數值。教師若是讓學生死記硬背銳角三角函數的三種函數符號和計算方法，學生自然不會將三角函數跟之前所學函數有何區別有何相同進行比較聯系，而會一直帶著疑問。這樣的教學對于中學生來說，是充滿了心理上的困難。

其次，銳角三角函數本身的表達形式也讓學生現迷惑不已。由于要在直角三角形中用代數式解決角的問題，所以人為的給出了銳角的三種三角函數值的符號?！皊in、cos、tan”這三個符號不能體現出銳角三角函數的對應性實質，而是讓學生誤認為是它的解析式。心里并沒有思考銳角三角函數的對應實質。

總之，銳角三角函數有其特殊的性質，教師在教學上應站在更高的函數角度為學生講解。

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[2]引自《銳角三角函數》人教版九年級下冊 第二十八章

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作者簡介：

孫牟昕（1991-），女，漢族，遼寧人，沈陽師范大學教師專業發展學院在讀碩士研究生，主要研究方向數學課程與教學論。