靜電場中的“像電荷”及其應用

楊兆興　王金聚

(浙江省溫州中學,浙江　溫州　325000)

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靜電場中的“像電荷”及其應用

楊兆興王金聚

(浙江省溫州中學,浙江溫州325000)

摘要：用像電荷來等效替代感應電荷，是解決復雜靜電場問題的一種行之有效的方法，本文介紹了像電荷知識在靜電場習題教學中的應用.

關鍵詞:靜電場;像電荷;等效替代

如果把一塊導體從遠處移動到一固定點電荷q的附近,則導體表面上會產生感應電荷,空間的電場應為該固定電荷q和感應電荷產生的電場的疊加.一般說來,導體表面的感應電荷的分布是比較復雜的,直接求解該空間某處的電場十分困難.

然而,在一定條件下,我們可以在待求場區域的邊界之外虛設一個或多個電荷來等效替代導體表面上的感應電荷,且保持原有邊界條件不變,則根據靜電唯一性定理,空間的電場可由原來的電荷q和等效電荷產生的電場疊加得到.這些“等效電荷”我們稱之為“像電荷”,用“像電荷”來替代感應電荷是解決復雜靜電場問題的一種行之有效的方法.

1接地平面導體情況下的“像電荷”

如圖1所示,一塊足夠大的接地導體板豎直放置,在板的右側與板相距為d處有一點電荷+q,則在板的右側面將出現感應負電荷,點電荷+q將受到導體板上感應電荷的作用力,那么這個作用力的大小該如何計算呢？

圖1

圖2

例1：如圖3所示,一個無限大的金屬板上表面接地,在其下方某處恰能停留一個質量為m、帶電量為+q的點電荷,求這個點電荷離金屬板的距離r.

圖3

圖4

圖5

可以看出,在感應電荷位于足夠大的接地平面導體的情況下,其“像電荷”與“源電荷”關于導體板表面對稱，且電量等量異號,這與平面鏡成像的情況相類似,故稱之為“像電荷”.

2接地球面導體情況下的“像電荷”

如果感應電荷所在的導體表面并非是足夠大的平面,比如是球面或柱體表面,那么在這種情況下“像電荷”的位置、電量又怎么樣計算？

例2：如圖6所示,一點電荷+q置于半徑為R的接地導體球外,與球心相距為a,a>R,試求點電荷+q所受的靜電力.

圖6

解析：因球外點電荷+q的存在,使導體表面有不均勻分布的負電荷,由于導體球接地,故感應負電荷在球面上的分布,將使它與點電荷+q在球內任意點的電勢均為0.感應負電荷在球外的電場,同樣也可以用像電荷的電場來等效替代.因此點電荷+q所受感應電荷的靜電力也完全可由它與“像電荷”間的庫侖力來替代.

q2(R2+b2)-2q2Rbcosθ=q′2(R2+a2)-2q′2Racosθ.

雖然導體球面上感應電荷的“像電荷”與“源電荷”的關系不再像平面導體那樣關于導體表面對稱且等量,但想一想凸面鏡成像時虛像與實物之間的相互關系,是不是覺得有幾分相似呢.

用“像電荷”取代感應電荷的思想最早是由英國物理學家W·湯姆孫(即開爾文)于1848年提出來的,最先用于計算一定形狀導體面附近的電荷所產生的靜電場,叫做“電像法”,后來發展到可以計算某些穩定電磁場,現在稱做“鏡像法”.雖然這種方法比較靈活、巧妙,但并不適用于所有情況下的電磁場.一般說來,只有邊界面幾何形狀較為簡單的情形才容易成功地設置“像電荷”,比如邊界面較規則的平面、球面和柱面等情況.