“圓與圓的位置關(guān)系”的課程難度變化及其對(duì)教學(xué)指導(dǎo)的探究

施學(xué)星

摘要：本文借助史寧中教授等人的課程難度量化分析模型，對(duì)我國(guó)2011年的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）與2000年的《全日制九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂版）》（以下簡(jiǎn)稱《大綱》）中“圓與圓的位置關(guān)系”的內(nèi)容難度進(jìn)行對(duì)比分析，以此考察初中幾何課程、教學(xué)內(nèi)容的發(fā)展變化，希望對(duì)教師的實(shí)踐教學(xué)提供一些建議與指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：圓；課程難度；教學(xué)指導(dǎo)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）09-0159-02

一、背景

圓是日常生活中常見(jiàn)的圖形之一，也是平面幾何中最基本的圖形之一，它不僅在初中幾何學(xué)習(xí)中有著重要地位，而且是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及其他科學(xué)的重要的基礎(chǔ)。本文在本課題組成員鄭澤娜的《圓課程難度的定量分析比較》[1]的基礎(chǔ)上對(duì)“圓與圓的位置關(guān)系”進(jìn)行課程難度定量分析，通過(guò)比較《大綱》和《標(biāo)準(zhǔn)》中該模塊的課程難度變化，進(jìn)一步探究該模塊的課程難度變化及其對(duì)教師教學(xué)實(shí)踐的指導(dǎo)作用。

二、課程難度量化比較

（一）課程廣度比較

通過(guò)對(duì)比《大綱》和《標(biāo)準(zhǔn)》中的“探究并理解圓與圓的位置關(guān)系”的內(nèi)容，相比《大綱》，《標(biāo)準(zhǔn)》減少了五個(gè)知識(shí)點(diǎn)：①兩圓的連心線的性質(zhì)；②兩圓的公切線的性質(zhì)；③兩圓的外公切線的作法；④兩圓的內(nèi)公切線的作法；⑤切線在作圖中的應(yīng)用。總體上，《大綱》中“圓與圓的位置關(guān)系”的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)，即課程廣度G1=6；《標(biāo)準(zhǔn)》的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，即課程廣度G2=1。

（二）課程深度比較

總體上，對(duì)比《大綱》，《標(biāo)準(zhǔn)》中“圓與圓的位置關(guān)系”這一知識(shí)點(diǎn)的課程深度基本保持一致，而其他的五個(gè)知識(shí)點(diǎn)均被直接刪除。即《大綱》中相應(yīng)課程內(nèi)容的總體課程深度=16；《標(biāo)準(zhǔn)》中相應(yīng)課程內(nèi)容的總體課程深度=3。

（三）課程實(shí)施時(shí)間

“圓與圓的位置關(guān)系”在《大綱》下的教科書(shū)中安排7個(gè)課時(shí)，于是課程實(shí)施時(shí)間T1=7；在《標(biāo)準(zhǔn)》下的教科書(shū)中安排5個(gè)課時(shí)，于是課程實(shí)施時(shí)間T2=5。

（四）課程難度變化

根據(jù)以上課程廣度、課程深度和課程實(shí)施時(shí)間三個(gè)方面的數(shù)據(jù)，代入課程難度模型（1），即可得到《大綱》和《標(biāo)準(zhǔn)》的課程難度分別為，（其中，α=0.6）。很顯然，在這個(gè)難度模型下，《標(biāo)準(zhǔn)》中“圓與圓的位置關(guān)系”的課程難度比《大綱》中的低了1.27，即總體課程難度降低了1.27。

三、教學(xué)啟發(fā)

分析以上數(shù)據(jù)可知，“圓與圓的位置關(guān)系”的課程難度大大降低了，由于《大綱》和《標(biāo)準(zhǔn)》中該模塊的課程廣度和課程深度都發(fā)生了較大的變化，影響課程難度變化的主要原因是課程廣度的變化進(jìn)而引發(fā)的課程深度變化。以下將具體分析課程廣度、課程深度、課程實(shí)施時(shí)間和總體課程難度變化四個(gè)方面對(duì)教學(xué)實(shí)踐的啟發(fā)和指導(dǎo)。

（一） 課程廣度變化對(duì)教學(xué)實(shí)踐的指導(dǎo)

基于上述分析可知，相對(duì)《大綱》，《標(biāo)準(zhǔn)》中該模塊的課程廣度大大減小了。課程內(nèi)容增強(qiáng)了對(duì)課程目標(biāo)服務(wù)的選擇性，為數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容指出了方向，根據(jù)時(shí)代發(fā)展要求，考慮學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的數(shù)學(xué)需求，刪除了一些不常用的知識(shí)點(diǎn)，諸如兩圓的連心線、公切線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，使得教育面向全體學(xué)生，減輕部分學(xué)生過(guò)重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，并與現(xiàn)實(shí)生活以及當(dāng)代科技相需求相結(jié)合，最大程度體會(huì)數(shù)學(xué)從生活中來(lái)，最終服務(wù)于生活。

所以，教師在具體實(shí)踐教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)緊緊圍繞《標(biāo)準(zhǔn)》的教學(xué)要求，根據(jù)新的教學(xué)要求進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)，不要順著老思路繼續(xù)講解那些已經(jīng)被刪除的知識(shí)點(diǎn)及其延伸出來(lái)的題目，更不要講怪題、難題，而應(yīng)圍繞“探究并理解圓與圓的位置關(guān)系”這一要求進(jìn)行課堂教學(xué)?，F(xiàn)以《大綱》中“圓與圓的位置關(guān)系”的一道經(jīng)典例題為例。

“證明：相交兩圓的連心線，垂直平分兩圓的公共弦（連心線：連接兩圓的線段）”。此例題不只是簡(jiǎn)單呈現(xiàn)圓心距與兩圓半徑大小，而是要求學(xué)生在掌握判斷兩圓位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)如何利用圓與圓的位置關(guān)系來(lái)證明兩圓位置連心線，公共弦的位置關(guān)系，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)具有一定難度，也與《標(biāo)準(zhǔn)》中的教學(xué)要求不一致，不應(yīng)再繼續(xù)講解。

（二） 課程深度變化對(duì)教學(xué)實(shí)踐的指導(dǎo)

基于以上對(duì)“圓與圓的位置關(guān)系”課程深度變化分析可知，《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)《大綱》中該模塊的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了部分刪除，保留下來(lái)的“探究并理解圓與圓的位置關(guān)系”的難度也跟《大綱》基本一致，進(jìn)而使得知識(shí)點(diǎn)涉及面較少，要求學(xué)生掌握的知識(shí)點(diǎn)減少，降低了總體的課程深度。

因而，教師在進(jìn)行教學(xué)的過(guò)程中應(yīng)當(dāng)針對(duì)所保留下來(lái)的知識(shí)點(diǎn)，圍繞知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行課堂教學(xué)，讓學(xué)生多動(dòng)手多動(dòng)腦，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解與掌握，并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、發(fā)散思維能力和推理能力。現(xiàn)以《標(biāo)準(zhǔn)》中“圓與圓的位置關(guān)系”的一道經(jīng)典例題為例。

“已知兩圓半徑之比是5：3，如果兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距等于6，問(wèn)當(dāng)兩圓的圓心距分別是24、5、20、0時(shí)，相應(yīng)兩圓的位置關(guān)系如何”。該例題只要求學(xué)生掌握判斷兩圓位置關(guān)系，只要知道圓心距d與兩圓的半徑大小，便可判斷兩圓的關(guān)系，解題思路簡(jiǎn)單清晰，考察學(xué)生對(duì)兩圓位置的數(shù)量認(rèn)識(shí)與形象思維的聯(lián)想能力。所以教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)積極引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，動(dòng)手能力，分析、概括等理性思維的能力。

（三）課程實(shí)施時(shí)間變化對(duì)教學(xué)實(shí)踐的指導(dǎo)

基于上述分析可知，相比于《大綱》，《標(biāo)準(zhǔn)》中該模塊的課程實(shí)施時(shí)間減少了兩個(gè)課時(shí)，但由于課程廣度與課程深度的大大減小，使得教師在課堂教學(xué)中仍有足夠的時(shí)間去講解分析。部分知識(shí)點(diǎn)的刪除，這啟發(fā)著教師在課程教學(xué)中切勿將時(shí)間浪費(fèi)在已被刪除的知識(shí)點(diǎn)及其延伸出來(lái)的題目，而應(yīng)緊緊圍繞《標(biāo)準(zhǔn)》的教學(xué)要求，將時(shí)間用在講解“探究并理解圓與圓的位置關(guān)系”這一內(nèi)容上。

另一方面，課程實(shí)施時(shí)間的減少也啟示著教師在教學(xué)中應(yīng)分析學(xué)生、分析教學(xué)內(nèi)容、分析課程標(biāo)準(zhǔn)和分析教學(xué)目標(biāo)，并且改變教學(xué)觀念、教學(xué)方法，以此提高課堂的教學(xué)效率。且在時(shí)間允許的情況下，完成《標(biāo)準(zhǔn)》中的許多探索將對(duì)學(xué)生更好的掌握知識(shí)有著很大的幫助，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和推理能力。

（四）課程難度變化對(duì)教學(xué)實(shí)踐的指導(dǎo)

基于上述課程難度的比較分析可知，相比于《大綱》，《標(biāo)準(zhǔn)》中“圓與圓的位置關(guān)系”的總體課程難度系數(shù)大大降低了，即該模塊的課程難度大大降低了。課程廣度、課程深度、課程實(shí)施時(shí)間三個(gè)方面的變化，歸根結(jié)底就是課程難度的變化。根據(jù)上述分析可知，相對(duì)《大綱》，《標(biāo)準(zhǔn)》中該模塊課程中知識(shí)點(diǎn)的刪除，使得課程廣度大大減小，進(jìn)而使得知識(shí)點(diǎn)涉及面較少，要求學(xué)生掌握的知識(shí)點(diǎn)減少，降低了總體的課程深度，而課程實(shí)施時(shí)間的變化不大，最終使得總體課程難度降低了。

《標(biāo)準(zhǔn)》中“圓與圓的位置關(guān)系”的課程難度降低，在新課程的潮流下，廣大的教師在實(shí)踐教學(xué)中都應(yīng)有所調(diào)整，尤其是一些年齡較大的教師，不要繼續(xù)順著老思路，講解那些已經(jīng)被刪除的知識(shí)點(diǎn)及其延伸出來(lái)的題目，更不要講脫離教學(xué)要求的怪題、難題。而應(yīng)緊緊圍繞新的教學(xué)要求作出相應(yīng)的教學(xué)改變，并以此進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)，落實(shí)于基礎(chǔ)概念、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，掌握判斷兩圓的位置關(guān)系以及對(duì)兩圓位置的數(shù)量認(rèn)識(shí)與形象思維的聯(lián)想能力。教師在課堂教學(xué)中注意讓學(xué)生多動(dòng)手多動(dòng)腦，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解與掌握，并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力、發(fā)散思維能力和推理能力。教師應(yīng)當(dāng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣并調(diào)高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，提高他們的數(shù)學(xué)思維能力，使學(xué)生最大程度體會(huì)數(shù)學(xué)從生活中來(lái)，最終服務(wù)于生活。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭澤娜.圓課程難度的定量分析比較[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015，（9）：38-39.