二階非線性脈沖時滯微分方程的振動性

閆春娟 胡春霞 李瑞紅

摘要：討論了二階非線性脈沖時滯微分方程的振動性.在文獻[1]的基礎上，引入函數r（t），利用脈沖微分不等式和Riccati變換，從而得到方程振動的條件，結果推廣了原有文獻中的結論。

關鍵字：脈沖；時滯；非線性

中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）09-0174-02

一、引言

r（t）（x ‘（t））′+f（t，x（t），x′（t））+g（t，x（t），x（t-τ））=0 t≥t，t≠t ①

x（t）=I（x（t）） x′（t）=H（x′（t）） k=1，2，……滿足初始條件

x（t）=φ（t） t-τ≤t≤t ②

其中φ，φ‘：t-τ，t→R至多有限個不連續點，且在這些點右連續，0≤t

H）r∈C（R，（0，∞）），f：[t-τ，∞）×R×R→R是連續非負的函數。

H）g：[t-τ，+∞）×R×R→R是連續的，對于所有的x（t）x（t-τ）>0，有x（t）g（t，x（t），x（t-τ））>0，≥p（t），≤q（t），其中x（t-τ）≠0，p（t）≥0， p（t），q（t）在[t-τ，∞）上連續，xφ（x）>0，x≠0，φ′（x）≥0.

H）I，H∈C（R，R），存在正數a，，b，有

a≤≤，b≤≤，x≠0，k=1，2，…

H）對于t∈[t-τ，+∞），t≠t，k=1，2，…，x（t）是連續可微的且滿足方程①，x（t），x（t），x′（t），x′（t）都存在并有x（t）=x（t），x′（t）=x′（t）.[1]

二、主要結論

引理1 假設

a）序列{t}滿足0≤t

a）m，m′∈PC′（R+，R），在t=t左連續，k=1，2，…

a）對于k=1，2，…，t≥t有m′（t）≤p（t）m（t）+q（t） ③

m（t）≤d（t）+b ④

其中p，q∈C（R+，R），d≥0，d，b是實常數，則下列不等式成立

m（t）≤m（t）dexp（p（s）ds）

+dexp（p（u）du）q（s）ds

+ dexp（p（s）ds）b t≥t ⑤

注：如果不等式③，④中的不等號反向，則不等式⑤中的不等號也反向。

引理2 令方程①的解為x（t），假設存在T≥t，對于t≥T-τ有x（t）>0，且滿足以下條件：（i）前言中的假設條件H，H，H成立；

（ii）（）ds=+∞

則x′（t）≥0，x′（t）≥0，t∈[t，t]，t≥T.

證明：因為t≥T-τ時x（t）>0，所以t≥T時有x（t-τ）>0.首先，對于t≥T有x′（t）≥0，否則存在某個j，t≥T有x′（t）<0.

有方程①和假設條件H，可得

x′（t）=H（x′（t））≤x′（t）<0

令x′（t）=α，（α>0），由假設條件H知

r（t）（x（t））′=-f（t，x（t），x′（t））-g（t，x（t），x（t-τ））≤-p（t）φ（x（t-τ））≤0

因此，在區間[t，t）上，（i=1，2，…），函數r（t）（x（t））單調遞減，則r（t）（x（t））≤r（t）（x（t））

從而，x（t）≤（）x（t）≤-（）·α<0 同理可得x（t）≤（）x（t）

=（）·H（x（t））≤（）bx（t）

≤-（）b·α<0

由數學歸納法得x（t）≤-（）b·α<0

考慮脈沖微分不等式

r（t）（x（t））′≤0 t≥t，t≠t

x′（t）=H（x′（t））≤bx′（t） k=j+1，j+2，…

令m（t）=r（t）（x（t）），則上式可以轉化為

m′（t）≤0 m（t）≤b（t）

由引理1可知：m（t）≤m（t）b

即，r（t）（x（t））≤r（t）（x（t））b

x（t）≤（）·x（t）·b

又因為x（t）=I（x（t））≤x（t） k=j+1，j+2，…

再次由引理1可得，

x（t）≤x（t）a+（）·x（t）·bds≤[x（t）+x（t）·（r（t））（）ds]

由引理2中的條件（ii）知，t充分大時，x（t）≤0 這與引理2中的條件 t≥T-τ，x（t）>0矛盾，因此假設不成立，即有x′（t）≥0，t≥T.因為r（t）（x（t））在

[t，t），（i=1，2，…）單調遞減，顯然x（t）≥（）

·x（t）≥0.即得證。[2]

定理2 滿足假設條件H，H，H和引理2中的條件，存在正數k，a≥1，對于k≥k，若·p（u）du=+∞，則方程①的所有解振動。[3]

證明：假設x（t）是方程①的非振動解，即當t≥t-τ時，x（t）>0，由引理2可知，t≥t-τ，x′（t）≥0，x′（t）≥0，t∈[t，t）.

令m（t）=，t≥t，m（t）≥0

由方程①和前言中的假設條件H，H可得，

m（t）=

-≤-p（t）

由方程①和前言中的假設條件H，a≥1，φ′（x）≥0可得，m（t）=≤=m（t）m（t+τ）=≤

=m（t+τ）[4]

由引理1知，

m（t）≤m（s）-p（u）du t≤s≤t

當s→t，t→t時，則

m（t）≤m（t）≤[m（t）-p（u）du]

當t-t>τ時，可以得到不等式

m（t）≤m（t）≤[m（t+τ）-p（u）du]

≤b[m（t+τ）-p（u）du]≤[m（t）-p（u）du]≤m（t）-p（u）du-bp（u）du [5]

同理，由數學歸納法可知

m（t）≤…m（t）-…p（u）du-…

cp（u）du-…-p（u）du≤[m（t）-p（u）du]當n→+∞時，m（t）≤0，這與m（t）≥0矛盾，所以假設不成立，即方程①的所有解是振動的。

參考文獻：

[1]楊甲山.具有正負系數的二階中立型方程的振動性定理[J].華東師范大學學報（自然科學版），2011，（02）.

[2]程祥鳳，孫一冰，劉雪艷，等.二階具混合非線性時滯微分方程的振動性[J].聊城大學學報（自然科學版），2011，（02）.

[3]孫一冰，韓振來，李同興.二階擬線性中立型動力方程振動準則[J].濟南大學學報（自然科學版），2010，（03）.

[4]張全信，高麗，俞元洪.偶階半線性中立型分布時滯微分方程的振動性[J].應用數學學報，2011，（05）.

[5]XU Yonghong，SHI Lanfang，MO Jiaqi. Boundary Perturbed Problem for Reaction Diffusion Time Delay Equation with Two Parameters[J].Wuhan University Journal of Natural Sciences，2015，（02）.