基于MATLAB的曲柄搖桿機構優化設計

Optimization design of crank rocker structure under the given output angle constraint

李瑩瑩，游　敏，徐建軍

LI Ying-ying, YOU Min, XU Jian-jun

（三峽大學 機械與動力學院，宜昌 443002）

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基于MATLAB的曲柄搖桿機構優化設計

Optimization design of crank rocker structure under the given output angle constraint

李瑩瑩，游敏，徐建軍

LI Ying-ying, YOU Min, XU Jian-jun

（三峽大學 機械與動力學院，宜昌 443002）

摘 要：在給定搖桿輸出角約束的情況下，以曲柄搖桿機構的從動件運動角度與期望角度差值平方的和的最小值（即最小二乘法模式）為設計目標，建立單目標優化數學模型，通過MATLAB編程求解，研究了設計變量的個數和變量對象的選取對滿足搖桿輸出角約束的曲柄搖桿機構軌跡特性的影響，并確定了最佳的設計變量個數及變量對象的選取方案。

關鍵詞：曲柄搖桿機構；優化設計；設計變量

0 引言

平面連桿機構結構簡單，易于制造，能實現多種運動規律和運動軌跡，在工程實際中應用非常廣泛[1]。然而，隨著工業的不斷發展，人們對曲柄連桿機構的運動特性、機構尺寸和桿件的受力情況等提出了更高的要求，使得連桿機構的設計難度也隨之增大。連桿機構的設計問題通常可歸為按給定的運動軌跡設計和按給定的運動規律設計[2]。對于這兩類問題的求解，通常采用的是函數逼近法求解，該方法不僅計算復雜，而且變量較少時，計算精度也不高。若采用最優化方法對機構進行設計，可以大大簡化[3]。

樓云江[4]等在給定搖桿最大擺角的情況下，借助于極位夾角和輔助角，建立了平均傳動角最優化的曲柄搖桿機構優化模型，從而得到全局最大平均傳動角，并確定相應的各桿桿長；蘇有良[5]在給定行程速比系數、擺角、搖桿尺寸的設計條件下，建立了I、II型曲柄搖桿機構最小傳動角與相對桿長的函數方程及其變化區間，解決了在此設計條件下曲柄搖桿機構不易獲得最小傳動角為最大值的最優傳動性能解的設計問題；武麗梅[6]等通過仿真建立了桿長制造誤差、運動副間隙與連桿曲線軌跡精度的數量級別關系。蘇全衛、王曉侃[7]針對常用的滑塊傳動機構建立了速度和加速度的閉環矢量方程并借助MATLAB軟件中的Simulink仿真工具對機構在仿真時間域內各個構件的瞬時位置、速度和加速度進行求解，提高了設計工作效率；馬東輝、趙東[8]建立了三維實體結構優化設計的一般化數學模型，并采用MATLAB優化工具箱對模型求解，可以快速得出精確的優化結果。

本文通過對已知運動特性的曲柄搖桿機構的尺寸作優化設計，在已知運動特性的基礎上，建立從動件運動角度與期望角度差值平方的和最小的單目標數學優化模型，并以經典的曲柄搖桿機構設計問題為算例，討論了設計變量的個數及變量對象的選取對模型優化結果的影響。

1 問題提出

如圖1所示，設計一曲柄搖桿機構，當曲柄由?0轉到?0+90°時，搖桿的輸出角實現給定的函數關系ψ=ψ(?0)，且在該區間的運動過程中的最小傳動角不得小于45°，即=45°。其中?0和分別為對應于搖桿在右極限位置時曲柄和搖桿的位置角；ψ和?是機架桿l4為原線逆時針度量的角度，分別為對應的搖桿轉過一定的角度時搖桿和曲柄的輸出角。

圖1　曲柄搖桿機構簡圖

2 優化模型

2.1 設計變量

2.2 目標函數

實際的設計中，搖桿的輸出角具有一定的軌跡，它會無限的趨近于某種函數曲線，要做到完全重合，其可能性基本為0，因此，我們僅能使所設計出來的曲柄搖桿機構的搖桿實際輸出角盡可能的趨近于理論輸出角。基于以上分析，我們取曲柄搖桿機構的已知運動規律與實際運動規律的偏差最小為指標來建立目標函數：

圖2　曲柄搖桿機構搖桿的實際輸出角

如圖2所示，曲柄搖桿機構的實際輸出角的表達式會隨機構的轉動而發生變化，當時，如圖2(a)所示，；當時，如圖2(b)所示，，即：

在本問題的研究中，由于初始角度?0的取值范圍無法確定，因此在編程求解的過程中要將兩種情況都考慮其中，上述曲柄搖桿機構的實際輸出角的表達式中，∠ADB 和∠BDC滿足的關系式如下：

BD的長度用ri表示，根據余弦定理可以求得：

2.3 約束條件

曲柄搖桿機構受三方面的約束：一個是四桿機構中存在曲柄的條件，其次是曲柄搖桿機構的最小傳動角約束條件，以及最后一個必須滿足的邊界條件。

1）四桿機構中存在曲柄的條件

由機械原理[1]可知，曲柄存在的條件：

對應的約束函數為：

2）傳動角約束條件

當機構運轉時，其傳動角的大小是變化的，為了保證機構傳動良好，設計時通常應使≥40°[1]，該算例中要求機構在該區間運動過程中的最小傳動角不得小于45°，即=45°。根據曲柄搖桿機構的傳動特性可知，當曲柄和機架重合時傳動角最小，因此傳動角的約束條件為：

對應的約束函數為：

3）邊界條件約束

對于機構的各個桿件尺寸，應保證其值為正數。

2.4 標準化模型

綜上所述，將數學模型轉化為標準形式如下：

3 應用實例

3.1 三個設計變量的模型解

有學者在基于MATLAB的曲柄搖桿機構的優化設計中也研究了三個參數對模型求解的影響，規定各設計變量的最短桿與最長桿的比例設置在[1,10]的范圍內，本文認為這種做法缺乏相應的理論依據，故在本文的研究中，沒有限制最短桿與最長桿的比例。對于模型中設定x1,x2,x3三個變量的求解，利用所建立模型的線性約束條件和非線性約束條件確定目標函數的可行域，在可行域范圍內選取適當的初始值，并利用計算軟件MATLAB優化工具箱的Function()函數，對模型編程計算，通過在可行域范圍內輸入不同的初始值計算，我們得到的桿長設計結果如表1所示。

表1　三個設計變量的模型解

從表中的結果可以看出，通過選取可行域中不同的初始值，對三設計變量的曲柄搖桿優化結果會產生較大的影響，特別是當初始值取為（3,4,4）時，連桿和機架的長度幾乎為初始值為（3,4,5）和（4,4,4）時的兩倍，而搖桿的長度值幾乎不受影響，函數的優化值極差為0.0027。

3.2 兩個設計變量的模型解

本文中研究的主要是設計變量的個數對優化結果的影響，因此，在接下來的研究中，本文又討論了2個設計變量時的優化情況。

當設計變量的個數為2時，根據機械原理四桿機構曲柄存在的條件可知：連架桿或機架是最短桿。文中以曲柄為最短桿進行討論，設曲柄的長度為1，對于本文所給的算例，確定設計變量為2的研究中，大量的學者都對其進行計算求解并得出結論[9,10]，一般都是將曲柄和機架的長度設為1和5，沒有考慮設計變量為搖桿和機架、連桿和機架的組合，也沒有對初始確定的兩桿取多組值進行深入研究，本文作者針對這一問題，對多種變量的組合全面考慮，每一組變量中設多組已確定桿長值組合，模型的求解結果如表2所示。

表2　兩個設計變量的模型解

用MATLAB軟件編程求解發現在初始值滿足可行域的前提下，改變初始值取值，計算結果顯示，模型的優化結果不受影響，因此，表2中沒有列出初始值。曲柄和搖桿長度取為1和2時，程序無法正常運行出結果。確定曲柄長為1，機架長從4變化至5時，函數的優化值從0.0046降低至0.0030；確定曲柄長為1，連桿長從3增大至5時，函數的優化值從0.0038減小到0.0029；從總體情況來看，函數的優化值大部分在0.0029～0.0066之間，曲柄、連桿、搖桿和機架的長度分別取為1,5,2.4207和6.4207時，函數的優化值最小，為0.0029，結果最佳。曲柄和搖桿取值分別為1和4時，函數優化值明顯較大，為0.2280。

4 結果分析

對于3設計變量的模型解，可以看出最短桿與最長桿的比例在1:117～1:57間大幅波動，初始值的選取對設計桿長連桿和機架的影響較大，將優化的桿長設計結果代入模型的約束條件，滿足約束條件，表明該設計結果是可取的。改變使選取的不同的初始值，模型的目標函數值在0.1419～0.1446之間波動，最大值于最小值的極差達到0.0027，較之于兩設計變量的目標函數值，偏差比較大。

從2設計變量的求解結果表中可以看出，不同于3設計變量的桿長設計值大幅波動情況，2設計變量求解的曲柄、連桿、搖桿和機架的長度比例維持在較穩定的水平，可行域范圍內初始值的選取對模型的優化結果并無影響，目標函數的輸出值基本在0.0029～0.0066范圍內微小變化。當曲柄和搖桿取定值分別為1和4時，目標函數的輸出值達到0.2280，相較于其他7組情況，偏差較大，曲柄和搖桿分別取1和2時，無法得到最終的桿長設計結果，觀察其他7組的桿長設計結果，認為搖桿長度取2.4左右較佳。從表2中可以看出，當搖桿的取值偏差超過0.4，優化的結果便不太理想，連桿長在[3,5]，機架長在[4.5,6.5]區間內取值時，均能得到較理想的優化結果。

5 結論

本文主要研究平面四桿機構優化中，設計變量的個數及對象的選取對機構優化結果的影響，在模型的建立和求解中分別針對3個設計變量和2個設計變量的情況詳細討論，在設計變量為2個的模型求解中，取三組不同的設計變量組合進行優化求解，比較分析所得結果，得出以下結論：

1）平面四桿機構優化中，在可行域范圍內選取初始值迭代計算，3設計變量的優化桿長輸出值會隨初始值選取的變化而發生較大波動，而兩設計變量的桿長設計值不隨初始值的變化而變化。

2）從優化的結果來看，2設計變量的優化結果明顯優于3設計變量的優化結果，后者目標函數的輸出值為前者的48倍左右。

3）綜合以上分析，本文認為，在輸出角約束條件給定的曲柄搖桿機構的最優化設計問題中，當確定搖桿和機架兩個變量的長度時，能夠得到最優的滿足機構軌跡特性的解。

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2）隨著流量的增加，進氣口與旋流管組件對空氣流動的阻力會有增長，合理選擇進氣口、旋流管參數與數量能有效的減小空氣流動壓力損失。

3）通過分析提出了新的改進方案，數值模擬結果表明，改進方案在發動機負荷范圍內粗濾器具有較好的流阻特性，在流量為1600m3/h時，壓力損失降低了24.96%。

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作者簡介：李瑩瑩（1992 -），女，湖北宜昌人，碩士研究生，研究方向為結構強度設計。

基金項目：湖北省自然科學基金項目：金屬膠焊結構應力分布與失效機制研究（1214230）

收稿日期：2015-08-31

中圖分類號：TH164

文獻標識碼：B

文章編號：1009-0134(2016)01-0102-04