高等數學課程的教學改革與模式探索——傳授數學思想，滲透數學文化

吳慧，孫丹娜，劉倩

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高等數學課程的教學改革與模式探索——傳授數學思想，滲透數學文化

吳慧[*]，孫丹娜，劉倩

（青島農業大學 理學與信息科學學院，山東 青島 266109）

高等數學作為高等學校的基礎課程，在培養學生抽象思維和邏輯推理能力上具有重要的作用．以激發學生的學習興趣，傳輸數學文化為切入點，從板書與多媒體相結合的授課模式，討論課與講授課相結合的啟發式課堂教學，考試形式改革等諸多方面闡述了高等數學課程的授課模式和教學改革，以期提高學生的邏輯推理能力、分析問題和解決問題的能力以及自主學習的能力，提高高等數學的教學質量和教學效果．

高等數學；教學改革；授課模式

高等數學是高等學校非數學專業學生的一門基礎課程，在培養高素質、高科技人才中具有其獨特的、無法取代的地位[1]．高等數學內容豐富，理論嚴謹，應用廣泛，影響深遠，對于高等學校理科類和工科類專業的學生而言，是一門非常重要的基礎課程．不僅為學習后繼課程和進一步擴大數學知識面奠定必要的基礎，而且在培養學生綜合利用所學知識分析問題和解決問題的能力，自主學習的能力，創新意識和創新能力，抽象思維、邏輯推理能力上都具有非常重要的作用[2]．高等數學課程對部分學生來說是枯燥乏味的，抽象的概念、大量的公式、各種各樣的求解方法，讓一些學生望而卻步[3-4]．高等數學的授課教師應該改變以往的填鴨式授課模式，著手激發學生的學習興趣，增強學生的好奇心與探索欲，引領他們走進數學的奇妙世界．

1滲透數學文化

高等數學相比于其他學科而言枯燥乏味，為此在授課過程中通過講解一些數學典故，讓學生了解數學文化、數學的文化價值和數學思維的文化意義尤為重要．讓學生在學習高等數學知識的過程中真正地受到數學文化的熏陶，對數學文化產生共鳴，體察社會文化和數學文化之間的互動[5]，從而能夠用數學的觀點來觀察問題，分析問題，最終能夠解決問題．通過構造數學模型，進行理性的數學交流，進一步培養嚴謹的科學素質及理性的思維方式．從具體的數學概念、精巧的數學方法、深邃的數學思想中展現高等數學的魅力，揭示數學的文化底蘊．當數學文化真正地滲入教材，到達課堂，溶入教學時，數學教學就會通過文化層面讓學生進一步理解數學，喜歡數學，熱愛數學．數學文化博大精深，高等數學只是其中的滄海一粟，但在實際應用中又必不可少．因此，非常有必要讓學生了解高等數學在數學中的地位和重要性．

高等數學與初等數學在教學內容上是連貫的，在授課時將所講授的內容與高中所學知識點相結合．在中學學習了很多數學定理及大量的計算公式，很多學生對這些定理記得較為清楚，公式掌握得非常熟練，但對其原理多是一知半解，并不清楚其是如何得到的，教師可以從這里著手來激發學生學習高等數學的興趣．

圓周率對于學生來說是最熟悉不過的知識點，基本都知道圓周率就是，它是精確計算圓周長、圓面積和球體積等數據的關鍵數值，但多數學生并不清楚圓周率是怎么得到的．因此，在講授泰勒公式時，可以借此擴展學生的知識面，給學生介紹圓周率的求解方法及發展歷程．從最初的實驗時期到幾何法時期，再到分析法時期，到最后的計算機時代．在這些發展過程中，圓周率從最初利用迭代算法得到的6位小數3.141 851到割圓術得到的更為精確的4位小數3.141 6，再到無窮級數，隨后利用反正切函數的泰勒級數，求出的值能精確到100位小數，值的計算精確度有了突飛猛進的發展．隨著計算機時代的到來，巨型計算機在70 h內計算出2 037個小數位，云計算和計算機相結合使計算出的圓周率到小數點后5萬億位．在圓周率的計算過程中，從古希臘數學家阿基米德，到中國數學家張衡、劉徽、祖沖之，英國數學家梅欽，再到日本的計算機天才近藤茂，他們對圓周率的計算做出了極大的貢獻．通過講授圓周率的求解方法及發展歷程，既能擴大學生的知識面，增強學生的探索欲，又能提升學生的學習興趣．

極限對于大多數學生來說既熟悉又陌生，很多學生對于極限運算掌握得非常熟練，對于極限的概念又顯得陌生．因此，在講極限的概念時，應注重思想及微積分歷史的介紹，突出微積分的作用，以吸引學生的注意．在講導數時，應突出高等數學應用的廣泛性和解決問題的簡潔性和科學性．在中學很多學校講授了導數這部分內容，大多數學生只是知道公式但并不清楚導數公式是通過什么原理得到的，也不明白求導數的意義．因此，在講授導數時，不僅要告訴學生方法，更要拋磚引玉，布置題目讓學生推導，以此加深學生的學習印象，提升學生學習高等數學的興趣．以前用到正弦函數和余弦函數時，可以查數學用表，但數學用表也是需要計算的，那么怎樣才能得到結果，可否擺脫數學用表的約束，得到一個估計值．藉此引導學生，結合所講授的內容，利用微分的近似計算或黃金等腰三角形等方法求解正弦函數和余弦函數值，這樣既擴展了知識面，同時也激發學生學習高等數學的興趣．

微分中值定理體現了數學的美，但是非常抽象難懂．這部分內容理論價值和應用價值都很大，教師不僅要教會學生欣賞數學的美，同時要培養學生的創新能力，使其能夠依據結論，運用逆向思維構造函數．微積分學基本定理是本課程最精彩的結論，幾乎達到了完美的頂點，刻畫了導數、原函數和定積分之間的關系．講授這部分內容時，教師應注重整體的觀點，注重培養學生整合知識的能力.

2板書與多媒體相結合

大部分數學類課程都是采用板書授課，也有一些學校利用多媒體．利用板書授課的教學，重點突出，對知識的鞏固性強，能夠長時間地向學生傳遞信息，有助于學生理解相關知識點，也便于學生記錄和記憶．

板書更能體現教師的教學能力，好的板書其實就是一種文化藝術的熏陶，板書授課時，教師所展示出的規范的書寫過程，合理的結構安排，認真的書寫態度以及豐富的人文素養等，都是非常豐富的教學資源，對學生所起的引領作用是不可忽視的．板書授課更容易突出教學的重點和難點，板書的內容是對教學內容的加工和提煉，更方便學生理清教學內容的思路．板書不僅能呈現知識結構的完整性，而且更為靈活，可以根據學生的具體情況因材施教．

相比之下，多媒體教學更為生動和直觀，更易于活躍課堂氣氛，進而激發學生學習高等數學的興趣，有助于鞏固教學內容．不僅如此，多媒體教學還能夠增大信息含量，有效地擴展課時容量，進而能夠提高教學效率[6]．在講授定積分的應用與空間解析幾何時，可以用直觀形象的圖片向學生展示，如二次錐面、馬鞍面、拋物面、雙曲面和旋轉曲面等曲面，可以讓學生從不同的方位觀察球面與錐面相交的空間曲線的側視圖、俯視圖或者斜視圖，讓學生對相應曲線有更加直觀的認識．參數方程也可以表示曲線，但其更為抽象，可以用多媒體將其展示出來，讓學生真切地體會到圖形的美妙，這是板書授課難以實現的．通過多媒體技術觀察到的圖形、圖片及一些軌跡能夠彌補相當一部分學生空間想象能力的不足．對于微分方程的數值解與解析解的精度比較等也可以利用圖表向學生進行展示．

任何事物都有其所長，亦有其所短．傳統的板書教學缺乏豐富的色彩和質感，在很大程度上影響了學生思維聯想能力的發揮，而多媒體教學更為直觀形象正好可以彌補這些不足，同時還能夠調動學生的學習能動性．板書教學內容一般是通過描述性的文字、說明性的圖形、圖表或者抽象的公式來表達，而多媒體教學能夠把板書難以表達的內容或無法體現出來的現象，通過生動、直觀的圖形、圖片或動畫展現出來．如果在教學過程中單純地運用多媒體教學，一些定理和公式在授課過程中會隨著大屏幕的翻頁而消失，那么在具體解題時便不利于學生理解．高等數學不同于其他課程，其內容結構具有連貫性和延續性，有些知識點必須要掌握住，才能進行后續內容的講授．而板書授課具有平移性，可以把重點和難點保留在黑板上，讓學生消化記憶，更利于學生理解教學內容．在多媒體授課過程中若有突發事件發生，如停電、計算機投影儀出現故障，便會影響教師的講授，對此務必要引起高度的重視，無論何時都要兩手準備．對于一般的定理和計算利用板書，對不宜畫出的圖形和抽象的曲線、曲面利用多媒體授課更為合適．在授課過程中，應根據具體的章節內容，選用更為合適的授課方式．

3討論課與講授課同時進行

高等數學課程的知識點較多，而且關聯性強．因此，在教學中一定要有針對性，重要的知識點一定要講透、講好．這里的針對性是指專業課需要、高等數學本身需求和后繼課程需求．在課程設計中應以提高學生的計算能力、應用能力和建模能力為主線，采取靈活多樣的教學方法.

課堂講授是目前教學的一種主要形式，它對培養學生的能力起著至關重要的作用．討論課和其它教學環節一樣，是一種互動的教學方式，是以討論為中心的綜合性、啟發式課堂教學，也是培養能力的一種較好形式，可以激發學生學習高等數學的興趣，培養學生的邏輯思維能力，調動學生的學習能動性．

在高等數學中，很多題目都存在一題多解的情況，如求極限和積分等內容．在授課過程中，可以根據具體的章節，選擇合適的內容開設討論課，把學生分組，對同一道題目展開討論，然后由每個小組的組長闡述該組的解題思路及所運用的方法，最后由教師總結各種解題方法，分析各種方法的優缺點，使學生獲得正確的解題思路和系統的數學知識．與此同時，教師也要對討論的問題進行更深一步的擴展，讓學生了解其發展歷程，以及該知識點在其他學科中的應用，這樣可以加深學生的記憶，還能擴展學生的知識面，提高學生學習的興趣，促使學生在學習中占主導地位，同時學生對自己也會有更深刻的認識，明確自己對所學知識掌握的情況．

高等數學教育不僅要傳授給學生數學知識，更重要的是要傳授給學生數學理念及邏輯思維方式，還要教會學生能夠運用所學知識去分析和解決實際問題[7]．數學建模作為一個強大的工具，是利用數學的語言和方法近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的重要手段[8]．在教學過程中，教師要善于對數學概念和解題方法進行模型化，使學生能夠運用數學理論和數學方法分析和解決問題，讓學生既能掌握數學的基礎知識，又能提高其學習數學的興趣和應用數學的意識與能力．

在討論課中，把數學競賽中的一些簡單問題抽離出來，分發給學生，學生３人組成一個團隊，對分配的問題進行求解．包括搜索資料，篩選有用信息，分析資料，建立數學模型，設計解題思路，編程求解，

撰寫論文，以PPT形式進行匯報，并對同學的疑惑進行解釋說明，最后進行總結和分析．這樣一個過程，不僅能使學生對所學知識有了更深入的理解，還能提升學生的自主學習能力，鍛煉學生的語言及文字表達能力，培養學生的團隊協作意識．在此過程中，學生能感受到自己的欠缺，了解應該繼續強化的內容，明確在后續的學習過程中應該注重培養自己哪些方面的能力等．

通過討論課的學習，學生對問題的理解會更加深入，思路也會更加開闊．討論課既能培養學生的發散思維能力和邏輯思維能力，同時也能提高學生的應用能力．豐富知識的同時，也見證了數學的魅力．

4考試形式的改革

現在很多課程的考試，都是以期末考試為主，參考平時成績和考勤成績等給出學生最終的評定分數．有些學生考前不學習，不上課，對待學習敷衍了事，只是考前進行突擊，一個學期講授的內容支離破碎，沒有主線，更談不上對課程的宏觀認識，只是為了應付考試而考試．為了改變這種狀況，必須對考試的形式進行改革，以此激發學生的自主學習，提高學生的學習能動性．

4.1建立考試網站

建立高等數學試題庫，覆蓋每一章的重點和難點等，根據每道題目的分值與類別，系統可自動生成試卷，涵蓋各種題型，并結合標準答案系統自動評分．

4.2考試方法

根據課程內容及重點、難點等知識點將整本教材劃分為若干模塊，對于每一個模塊，在規定時間內允許學生可以多次參加考試，每次都會隨機生成試卷，提交試卷后系統自動評分，每一模塊的測試按最高分計算．學生為了取得滿意的成績，自然會下功夫，主動去學習．最終以所有模塊測試的平均分作為學生的期末成績．這種考試模式在一定程度上能避免學生的僥幸心理，更主要的是能發揮學生的學習能動性．

4.3嚴格考試紀律．

因為考試形式的變化，監考也成了一個不得不考慮的問題，基于考試形式的靈活性，安排監考人員將會違背這一宗旨．因此，必須對用于考試的電腦配置高清攝像頭，考試開始，攝像頭將會自動啟動，隨機抓拍，并將抓拍到的畫面呈現在試卷上，以防學生作弊．若有作弊現象，該模塊考核記為0分，但并不影響其他模塊的考試．

這種考試模式，目前實施起來需要花費巨大的人力和物力，但就其作用來講，能調動學生的學習能動性，提高學生自主學習的能力和高等數學的教學效果．就其長遠意義來講，這種考試模式必將是衡量學生學習效果的一種發展趨勢.

高等數學課程可以培養學生嚴密的邏輯思維能力，使其掌握科學分析與決策的精確方法，在培養具有良好素養的數學及其應用人才方面起著特別重要的作用，同時也為學習后繼課程和自我更新奠定必要的數學基礎．無論采用何種教學方式或考試方式都要本著形式服務于內容的原則，任何教學方法和教學改革，都要以提高教學質量和教學效果為根本目的．

[1] 曾玖紅．獨立學院高等數學教學探索[J]．衡陽師范學院學報，2009，30（6）：157-160

[2] 蒲和平，黃廷祝，千泰彬，等．高等數學課程教學中探究式教學方法的研究與實踐[J]．大學數學，2013，29（3）：147-150

[3] 吳慧，孫丹娜，郭效芝．探索與分析高等數學中常見的一題多解[J]．價值工程，2013（32）：307-308

[4] 安黔江．高等數學探究式教學模式及其評價分析[J]．蘭州教育學院學報，2014，30（1）：100-101

[5] 郭效芝，吳慧．Matlab在《數值分析》教學中的應用[J]．數學教學研究，2014，33（4）：47-50

[6] 張穎，吳建華．高等數學多媒體輔助教學的實踐與思考[J]．高等數學研究，2006，9（4）：110-112

[7] 郭效芝，吳慧．對案例式教學模式的認識[J]．高師理科學刊，2014，34（2）：37

[8]胡煜寒．基于數學建模的“六位一體”創新型人才培養模式研究[J]．高師理科學刊，2015，35（10）：66-68

The teaching reform and model exploration on advanced mathematics——To initiate mathematics principle，permeate mathematical culture

WU Hui，SUN Dan-na，LIU Qian

（School of Science and Information，Qingdao Agricultural University，Qingdao 266109，China）

Advanced mathematics，as a basic course of university，plays an important role on cultivating students' ability，for instance，abstract thinking and logical reasoning ability．In order to improve the teaching quality and effect of advanced mathematics，discusses the teaching reform and teaching mode from these aspects，such as stimulating students′ interest，permeating mathematical culture，combining blackboard with multimedia，combining seminar with speaking teaching，reforming the form of test and so on．Most important of all，by the teaching reform，expect to improve the students′ ability of logical reasoning，analyzing problems，resolving problems and autonomous learning，improve the teaching quality and teaching effect of higher mathematics．

advanced mathematics；teaching reform；teaching mode

O13∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.013

2015-12-04

山東省教育科學“十二五”規劃課題（2013GG096）

吳慧（1980-），女，山東定陶人，講師，碩士，從事復雜性理論研究．E-mail：wuhui0925@163.com

1007-9831（2016）04-0046-04