對《常微分方程》課程教學(xué)方法的研究

王秋寶　張麗麗　田瑞蘭　郭秀英

摘 要：《常微分方程》課程是高等院校數(shù)學(xué)類專業(yè)的本科生以及部分理工類專業(yè)的研究生一門必修的重要基礎(chǔ)課程，也是數(shù)學(xué)與工程實(shí)踐聯(lián)系最緊密的學(xué)科之一。文章從作者多年來的教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，從教與學(xué)兩方面分別闡述了如何教好和學(xué)好《常微分方程》，以此提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

關(guān)鍵詞：常微分方程；高等院校；工程實(shí)踐

中圖分類號(hào)：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9132（2016）12-0350-116

《常微分方程》一直是各高等院校的數(shù)學(xué)類專業(yè)必修的基礎(chǔ)課程，其是其他很多專業(yè)課，比如，《數(shù)值分析》《偏微分方程》《動(dòng)力系統(tǒng)》等課程的工具和基礎(chǔ)。《常微分方程》的課堂教學(xué)效果如何，直接關(guān)系到其他相關(guān)課程的學(xué)習(xí)甚至是學(xué)生的畢業(yè)后工作上的具體問題的解決，另一方面還影響著學(xué)習(xí)者的邏輯判斷推理以及數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。作為教學(xué)者都知道，教學(xué)沒有固定的模式，要做到因材施教，相同的知識(shí)內(nèi)容由不同的教師處理，那就會(huì)產(chǎn)生各自的講解方法，下面我們從以下四個(gè)方面來介紹作為教師應(yīng)該如何處理教與學(xué)的關(guān)系，使學(xué)生更好地掌握所學(xué)知識(shí)并付諸實(shí)踐。

一、首次課很重要

部分教師對于課程的第一次課有一個(gè)誤解：認(rèn)為只需要簡單介紹下課程章節(jié)、作業(yè)要求、課堂紀(jì)律、考核標(biāo)準(zhǔn)等。作為合格的大學(xué)教師，如若我們的緒論課僅僅就是上面所涉及的部分內(nèi)容不免就讓人覺得落伍，而且乏味。對學(xué)習(xí)者而言，如果教師如此講課，則只會(huì)對所學(xué)課程只能是一知半解，更做不到有什么深刻認(rèn)識(shí)！

萬事開頭難，第一次教學(xué)成功與否關(guān)系著整個(gè)教學(xué)是否會(huì)順利進(jìn)行，我認(rèn)為不管什么課程首先要使得學(xué)習(xí)者了解它的起源發(fā)展以及所關(guān)注的主要對象。講述者要做到這一點(diǎn)必須對這門課程起源發(fā)展以及前沿要有準(zhǔn)確地把握和透徹的認(rèn)知。比如，我在第一次課中會(huì)這樣介紹。

1.常微分方程的起源和發(fā)展

牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，關(guān)于其起源恩格斯在《自然辯證法》中的表述十分貼切：數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻變成了必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生，并且是由牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由它們發(fā)明的。在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生了微分方程并在當(dāng)時(shí)有很多數(shù)學(xué)家對此有著濃厚的興趣。

接下來，我就會(huì)介紹微分方程的發(fā)展歷史，并把它大致分成了四個(gè)階段：經(jīng)典階段；解的存在唯一性研究；解的定性理論和穩(wěn)定性理論階段；前沿發(fā)展階段。在每個(gè)階段中都拿出一兩個(gè)經(jīng)典的歷史上的例子來說明問題。

2.常微分方程的主要問題

常微分這門學(xué)科是由實(shí)際問題出發(fā)，又回到實(shí)際問題中去的學(xué)問，每一個(gè)微分方程的建立都是由實(shí)際問題而來，而建立的方程最后都是去解決實(shí)際問題，并在解決的過程中不斷地完善改進(jìn)。

在此認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，我就會(huì)在課堂上充分展現(xiàn)這門課程的魅力：以它的發(fā)展過程為脈絡(luò)，每個(gè)關(guān)鍵的轉(zhuǎn)折點(diǎn)我都會(huì)添加有趣的歷史上的真實(shí)案例來講解。一方面可以很好地展現(xiàn)它的美，另外一方面可以很好地說明此課程與工程實(shí)踐的緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，時(shí)刻提醒學(xué)生學(xué)習(xí)是為了解決問題。

二、重視基本概念

《常微分方程》大多數(shù)學(xué)校在大學(xué)二年級上學(xué)期開設(shè)，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)過了一年的大學(xué)生活的洗禮，習(xí)慣了大學(xué)課程的特點(diǎn)，但是在一年級大多數(shù)會(huì)開設(shè)《數(shù)學(xué)分析》《高等代數(shù)》《解析幾何》這三門課程，相對來說難度較大，一定程度上打擊了學(xué)生的積極性。為了調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)熱情，要強(qiáng)調(diào)我們課程的特點(diǎn)與所學(xué)過的那三門不同，側(cè)重的是基本概念與基礎(chǔ)知識(shí)。

其實(shí)，學(xué)習(xí)者認(rèn)真回憶一下自己從懵懂開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)直至大學(xué)整個(gè)求學(xué)之路不正是沿著人類數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展路線去學(xué)習(xí)的，越到后來“高級”的數(shù)學(xué)越是“簡單”。那么，以前所掌握的“寶貴”的解題技巧和公式就毫無價(jià)值而言，此類東西也不是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)東西就要學(xué)習(xí)本質(zhì)的，作為教師教授也要教授本質(zhì)的內(nèi)容。相比較而言，重要的是各種概念和各種方法的思想，而不是各種諸如求解方程的巧妙的方法，不能讓學(xué)生深陷于此。

三、與工程實(shí)踐緊密聯(lián)系

《常微分方程》是一門相對“精彩”的課程，如果只是停留在本本主義，那就太浪費(fèi)這門課程啦。尤其是石家莊鐵道大學(xué)是一所工科院校，鐵路工程師的搖籃，校內(nèi)有很多實(shí)踐基地，而且數(shù)學(xué)系也有自己的實(shí)踐創(chuàng)業(yè)基地，這些都需要教師在平時(shí)教學(xué)過程中理論聯(lián)系實(shí)際，把自己的教學(xué)內(nèi)容和工程實(shí)踐聯(lián)系起來。例如，講授第4章的“質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)”這一節(jié)時(shí)，可以通過高速列車的懸架系統(tǒng)出發(fā)，引入振動(dòng)方程，而且可以帶學(xué)生具體實(shí)地參觀學(xué)校的相關(guān)實(shí)踐項(xiàng)目基地，使得學(xué)生能夠更加深刻地了解質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程在力學(xué)等方面強(qiáng)大的應(yīng)用。對于帶有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)更是可以舉出生活中的例子很好地去解釋共振現(xiàn)象。要做到這點(diǎn)，教師必須平時(shí)進(jìn)行大量的積累，在備課時(shí)要多參考相關(guān)的資料尤其是發(fā)展前沿，雖然會(huì)耗費(fèi)時(shí)間，但是我認(rèn)為是物超所值。

四、及時(shí)總結(jié)

對于課程進(jìn)行到新的部分之前，要及時(shí)總結(jié)。每次上課前要總結(jié)前一次課，每章結(jié)束要總結(jié)這一章。但是不能誤解為就是把相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵題型再重述一遍，或者在深入一點(diǎn)就是弄個(gè)所謂知識(shí)脈絡(luò)圖。除了上述這些是必要的之外，最重要的是把此部分的重點(diǎn)難點(diǎn)以及涉及的內(nèi)容與其他部分的聯(lián)系講解明白，所謂的一心兩點(diǎn)，即抓住一個(gè)中心，知識(shí)的分界點(diǎn)以及聯(lián)系點(diǎn)。

總結(jié)課最難做的就是期末的最后一節(jié)復(fù)習(xí)課。很多大學(xué)課程都存在一個(gè)共性問題，即期末復(fù)習(xí)課變成了考前的輔導(dǎo)課，教師在課堂上勾畫一些考試重點(diǎn)，而學(xué)生對此也是熱衷得很。但是，我認(rèn)為此種做法很不負(fù)責(zé)任，也是對自己的教學(xué)沒有信心的表現(xiàn)。期末復(fù)習(xí)，就是要從宏觀整體上把這門課程做一個(gè)概括總結(jié)，正好和緒論課做一個(gè)首尾呼應(yīng)。

五、結(jié)語

《常微分方程》在數(shù)學(xué)類專業(yè)的本科生課程中占有非常重要的地位，如何教好學(xué)好以及掌握這門課程就顯得尤為重要。教學(xué)質(zhì)量的好壞衡量標(biāo)準(zhǔn)并不是考試成績的高低，也不是會(huì)做多少道題目，而是對相關(guān)的思想和方法的理解運(yùn)用，能夠更好地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題，能夠養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S推理習(xí)慣，這些都是十分重要的。故而，作為課程的教授者應(yīng)該在這方面努力，不斷地改進(jìn)自己的教學(xué)方法和更新教學(xué)內(nèi)容，為國家和社會(huì)培養(yǎng)出高素質(zhì)的人才而盡一份微薄之力！

參考文獻(xiàn)：

[1] 王高雄等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2] 于光遠(yuǎn)（譯）.自然辯證法[M].北京：人民出版社，1984.

[ 責(zé)任編輯 田彩霞 ]