資產(chǎn)定價(jià)核還原方法的算符表述及其應(yīng)用——以中國(guó)股票市場(chǎng)泡沫診斷為例

林 黎

(華東理工大學(xué) 商學(xué)院,金融工程研究所,上海 200237)

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資產(chǎn)定價(jià)核還原方法的算符表述及其應(yīng)用
——以中國(guó)股票市場(chǎng)泡沫診斷為例

林 黎

(華東理工大學(xué) 商學(xué)院,金融工程研究所,上海 200237)

摘要：傳統(tǒng)金融工程技術(shù)能夠得到風(fēng)險(xiǎn)中性概率，但如果不還原出表征市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)偏好結(jié)構(gòu)的定價(jià)核,無(wú)法進(jìn)一步得到真實(shí)概率。圍繞定價(jià)核的還原研究，近年來(lái)出現(xiàn)兩類不同的方法：Ross的矩陣法，Carr和Yu的微分方程法。前者求解矩陣最大特征值,后者求解方程最小特征值。本文通過(guò)引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移定價(jià)算符，探討這兩種方法的內(nèi)在聯(lián)系，給出統(tǒng)一表述的還原法：求解定價(jià)算符特征方程, 其最大實(shí)特征值對(duì)應(yīng)市場(chǎng)貼現(xiàn)率，而特征函數(shù)代表各狀態(tài)下的基準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)水平。作為應(yīng)用，本文研究了我國(guó)2005～2007年股市泡沫下的定價(jià)核，估計(jì)出各行業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償和貼現(xiàn)要求，證實(shí)了泡沫過(guò)程中貨幣幻覺存在性。

關(guān)鍵詞：風(fēng)險(xiǎn)中性概率；定價(jià)核還原；股市泡沫；算符特征方程

1引言

資產(chǎn)動(dòng)態(tài)定價(jià)的核心問(wèn)題之一是估計(jì)資產(chǎn)未來(lái)變化的真實(shí)概率。當(dāng)前流行的方法是在定價(jià)核框架下研究此問(wèn)題。定價(jià)核， 也稱為隨機(jī)折現(xiàn)因子[1]，其倒數(shù)對(duì)應(yīng)著所謂基準(zhǔn)計(jì)價(jià)投資組合在未來(lái)的價(jià)值[2]。資產(chǎn)定價(jià)基本定理表明，對(duì)于任何無(wú)套利機(jī)會(huì)的金融市場(chǎng)，必然存在著定價(jià)核[3]。以定價(jià)核來(lái)計(jì)價(jià)的資產(chǎn)，期望收益率都一致地等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，這是因?yàn)槎▋r(jià)核平衡了各狀態(tài)間風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的差異[4]。本質(zhì)上，定價(jià)核可視為市場(chǎng)潛在的唯一系統(tǒng)性變動(dòng)因素，對(duì)資產(chǎn)收益與波動(dòng)的預(yù)測(cè)也最終可劃歸為定價(jià)核動(dòng)態(tài)性質(zhì)的確定上。

然而，由于定價(jià)核本身不可觀測(cè)，對(duì)定價(jià)核的量化在實(shí)際中很難操作。一種變通的做法是將其拆解為若干風(fēng)險(xiǎn)因子的線性疊加，通過(guò)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)因子的度量來(lái)間接衡量定價(jià)核水平，比如Fama-French三因子模型[5]或Mark提出的四因子模型[6]，但這樣無(wú)法保證所選因子的完備性。另一種方法是干脆繞過(guò)定價(jià)核的確定，利用金融工程技術(shù)剝離出的狀態(tài)價(jià)格，然后計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)中性概率作為資產(chǎn)變化真實(shí)概率的預(yù)測(cè)。但中性概率僅度量了市場(chǎng)對(duì)各狀態(tài)的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖偏好。比如，算出市場(chǎng)下月下跌超過(guò)10%的風(fēng)險(xiǎn)中性概率為0.8，而下跌不超過(guò)10%的風(fēng)險(xiǎn)中性概率僅為0.01，這一事實(shí)僅表明， 相對(duì)于后一種情形，市場(chǎng)在整體上更多地愿意去對(duì)沖下月下跌10%的風(fēng)險(xiǎn)。此時(shí)，為進(jìn)一步確定真實(shí)概率必須明確市場(chǎng)在各狀態(tài)上的偏好結(jié)構(gòu)，而這又回到定價(jià)核的確定上。實(shí)際上，用風(fēng)險(xiǎn)中性概率作為真實(shí)概率的預(yù)測(cè)隱含假設(shè)定價(jià)核與市場(chǎng)狀態(tài)無(wú)關(guān)，這過(guò)于牽強(qiáng)。

最近，Ross找到了一種將定價(jià)核與真實(shí)概率從風(fēng)險(xiǎn)中性概率中分離出來(lái)的方法，稱為“還原定 理”[7]。這一方法建立在離散狀態(tài)的基礎(chǔ)上，用矩陣運(yùn)算來(lái)表達(dá)。主要思路是從狀態(tài)轉(zhuǎn)移價(jià)格矩陣解出其最大特征根和特征向量。假設(shè)投資者滿足Von Neumann期望效用法則，且都運(yùn)用時(shí)間可分、 狀態(tài)間獨(dú)立的效用函數(shù)來(lái)決策，Ross證明了，如果狀態(tài)驅(qū)動(dòng)因子為離散的齊時(shí)Markov鏈，那么最大特征根剛好就是市場(chǎng)貼現(xiàn)率，而特征向量的分量也恰好可以用來(lái)構(gòu)造出狀態(tài)轉(zhuǎn)移定價(jià)核。由于狀態(tài)轉(zhuǎn)移價(jià)格矩陣為非負(fù)實(shí)方陣，Perron-Frobenius 定理在此可以保證其實(shí)值解的存在唯一性和定價(jià)核的非負(fù)性[8,9]。同時(shí)，Ross的方法還可進(jìn)一步獲得風(fēng)險(xiǎn)中性狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率和真實(shí)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。另一方面，Carr和Yu[10]也給出了一套定價(jià)核的還原方法，但是此方法建立在連續(xù)狀態(tài)的基礎(chǔ)上，用微分方程來(lái)表達(dá)。該方法以風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下定價(jià)核滿足的微分方程為基礎(chǔ)，將定價(jià)核還原轉(zhuǎn)化為求解Sturm-Liouville特征值問(wèn)題。只要定價(jià)核有界，那么Sturm-Liouville方程的最小特征值剛好對(duì)應(yīng)著定價(jià)核變動(dòng)的時(shí)間趨勢(shì)，而方程的特征函數(shù)就是定價(jià)核的倒數(shù)。此時(shí)Sturm-Liouville定理可以保證該問(wèn)題有實(shí)值解[11]。該方法與 Ross還原方法非常類似，然而后者需要求解最大特征值，可前者則需要求解特征值，兩種不同形式的方法之間的聯(lián)系與區(qū)別尚有待進(jìn)一步探尋。

本文研究發(fā)現(xiàn)，通過(guò)引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移價(jià)格算符，建立定價(jià)核還原的算符表述，可將Ross，Carr和Yu的方法歸納為統(tǒng)一的形式。一方面，Ross的還原法等價(jià)于求解一個(gè)用有限維狀態(tài)轉(zhuǎn)移價(jià)格算符來(lái)表述的特征方程。另一方面，當(dāng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程為連續(xù)狀態(tài)的齊時(shí)Markov過(guò)程時(shí)，狀態(tài)轉(zhuǎn)移價(jià)格算符自然變?yōu)槲⒎炙惴Ｅc此同時(shí)，Carr和Yu的微分方程也變形到統(tǒng)一表述法下的算符特征方程形式。由此可見，兩種不同的方法僅是不同算符形式的特例，Ross的方法對(duì)應(yīng)矩陣算符，而Carr和Yu的方法對(duì)應(yīng)微分算符。不過(guò)，估測(cè)矩陣型狀態(tài)價(jià)格轉(zhuǎn)移算符需要首先估計(jì)狀態(tài)定價(jià)密度，這通常采用交替最小二乘法 (Alternating Least Square)，但估計(jì)結(jié)果非常不穩(wěn)定[12]。而估測(cè)微分狀態(tài)價(jià)格轉(zhuǎn)移算符是去求解估計(jì)狀態(tài)因子風(fēng)險(xiǎn)中性方程，這方面的方法則相對(duì)成熟許多，可參見文獻(xiàn)[13～16]。另外，微分方程法的待估參數(shù)數(shù)量也顯著小于矩陣算符的參數(shù)數(shù)量。因此，本文實(shí)證部分將采用微分算符的形式。

國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)于定價(jià)核的研究在早期多限于理論探討的范疇，如肖輝和吳沖鋒[17]，臨海和鄭振龍[18]的研究。近年來(lái)，也出現(xiàn)了一些基于定價(jià)核的資產(chǎn)定價(jià)實(shí)證研究，吳鑫育等[19]的權(quán)證定價(jià)研究，鄒高峰等[20]基于從前景理論的價(jià)值函數(shù)出發(fā)建立的PTCAPM模型，以及張玉龍和李怡宗[21]在分解出流動(dòng)性特征和流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)基礎(chǔ)上建立的SDF-LCAPM模型，但這些研究都事先假設(shè)好定價(jià)核所滿足特定的動(dòng)態(tài)行為，沒能夠用數(shù)據(jù)說(shuō)明定價(jià)核為何取定為該形式。李仲飛和高金窯[22]在模型不確定的情形下通過(guò)一般均衡推導(dǎo)出了定價(jià)核的一個(gè)潛在形式，但并未見相應(yīng)的實(shí)證結(jié)果。直接利用實(shí)際數(shù)據(jù)估計(jì)出市場(chǎng)中定價(jià)核大小及其行為的研究仍較為鮮見。

2定價(jià)核還原方法

2.1Ross的定價(jià)核還原方法

Gφ=δφ

(1)

證明首先,從期望效用最優(yōu)化出發(fā),所解出的Euler方程組可在形式上規(guī)簡(jiǎn),思路如下

(2)

(3)

2.2Carr和Yu的定價(jià)核還原方法

(4)

同時(shí)φ(x)滿足微分方程

(5)

Carr和Yu發(fā)現(xiàn),上述方程可變形為如下所謂的Sturm-Liouville方程

x∈(xmin,xmax),w(x)>0

(6)

3狀態(tài)轉(zhuǎn)移價(jià)格算符與定價(jià)核還原方法的統(tǒng)一表述

由前述討論可看出,Ross[7]的方法與Carr和Yu[10]的方法在形式上非常不同,前者須求解矩陣 特征值方程獲得最大特征值,而后者須求解特征方程獲取最小特征值。不僅如此,Carr的方法在推 導(dǎo)時(shí)并不事先要求設(shè)定投資者的偏好特征。本節(jié)將證明,在引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移價(jià)格算符Gx后,兩種方法實(shí)際上服從相同的算符方程，他們只是不同算符設(shè)定下的特例。

線性算符Gx的含義很明顯,未來(lái)價(jià)格(可視為未來(lái)或有價(jià)值)通過(guò)它變換后恰好是當(dāng)前的價(jià)格,因此它是齊時(shí)Markov過(guò)程下的定價(jià)算符,x對(duì)應(yīng)市場(chǎng)狀態(tài)。當(dāng)市場(chǎng)完全且無(wú)套利機(jī)會(huì)時(shí),算符存在且唯一。當(dāng)市場(chǎng)不完全時(shí),該算符可以有無(wú)限多個(gè)。

命題2[算符的具體形式]

(1)當(dāng)x為有n個(gè)可選狀態(tài)的離散Markov鏈時(shí),算符Gx退化為矩陣[ηij]n×n；

證明根據(jù)命題的形式分情況證明,

(1)當(dāng)x為離散可選狀態(tài)的離散Markov鏈時(shí),Hilbert空間變?yōu)橛邢蘧S歐氏空間,St(x)退化為有 限維向量。同時(shí)令Gx中的分量ηij表示在t-1時(shí)市場(chǎng)處于狀態(tài)i時(shí)能夠提供出的狀態(tài)證券ADij——當(dāng)未來(lái)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到j(luò)時(shí)就支付 1 元的價(jià)格,則算符Gx變?yōu)闋顟B(tài)轉(zhuǎn)移價(jià)格矩陣G。顯然，G滿足GSt=St-1=St-, 因此GxSt=St-；

證明先分開討論Ross的方法與Carr和Yu的方法，最后證明λmax≈1時(shí),兩種方法的結(jié)果近似相等。

從命題3可以看出,Ross方法與Carr和Yu的還原方法僅是算符形式表述方法在市場(chǎng)不同Markov過(guò)程設(shè)定下的特例。只要算符為已知,求解算符特征方程即可得到市場(chǎng)內(nèi)部要求的貼現(xiàn)率, 而特征向量(函數(shù))則反映了狀態(tài)間的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)節(jié)關(guān)系。另外,雖然Carr和Yu的方法未引入效用, 其實(shí)風(fēng)險(xiǎn)偏好已隱含在算符Gx中a(x)和b(x)的形式設(shè)定上，因?yàn)檫@些參數(shù)決定了算符在不同狀態(tài)上的相對(duì)比值,間接表征了市場(chǎng)對(duì)于不同狀態(tài)的偏好程度。需要說(shuō)明的是,算符形式的表述同樣要求市場(chǎng)無(wú)套利機(jī)會(huì)，不過(guò)在實(shí)際應(yīng)用時(shí)并無(wú)需保證市場(chǎng)的完全性，只要設(shè)定出驅(qū)動(dòng)市場(chǎng)狀態(tài)變化的因子即可。

4應(yīng)用定價(jià)核還原法分析股市價(jià)格泡沫

我們基于上述提出的微分算符對(duì)中國(guó)2005～2007年股市泡沫進(jìn)行了實(shí)證。統(tǒng)一選取2005年9月1日作為實(shí)證窗口起點(diǎn),而窗口的終點(diǎn)選為其未來(lái)3年內(nèi)的到達(dá)歷史最高點(diǎn)交易日的前一天,由于我國(guó)此輪泡沫大致在2008年初破滅, 所以絕大多數(shù)的窗口終點(diǎn)都集中在2007年9月至2008年1月之間。實(shí)證時(shí)選取的資產(chǎn)組合為兩支市場(chǎng)指數(shù)以及27支細(xì)分的行業(yè)板塊指數(shù)。我們認(rèn)為對(duì)于泡沫中的每一板塊都存在著不同定價(jià)核,因?yàn)槊總€(gè)板塊對(duì)應(yīng)的臨界時(shí)距演化不盡相同。rf選取為當(dāng)時(shí)的一年期活期存款日利率,數(shù)值為0.0081/365≈2.2×10-5。

估計(jì)的結(jié)果在表1中顯示。表中的第5列給出了估計(jì)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)極大似然值(相反數(shù)),第6列給出的是泡沫膨脹的冪指數(shù),其數(shù)值越大表明資產(chǎn)的增值越快,結(jié)果顯示,在此輪泡沫中的房地產(chǎn)、銀行類、煤炭石油、機(jī)械、建材、農(nóng)林牧漁、外貿(mào)及有色金屬板塊泡沫積累速度較高。第10列給出的μτ是τ在真實(shí)概率下的時(shí)間趨勢(shì)，表明泡沫破滅的迫近趨勢(shì)。可以看出,兩市股指、房地產(chǎn)、機(jī)械指數(shù)中的泡沫更快地趨于破滅。表最后兩列分別列出了所還原出的定價(jià)核φ(τ)的冪指數(shù)和市場(chǎng)要求的貼現(xiàn)率,冪指數(shù)的絕對(duì)值越大代表市場(chǎng)對(duì)于臨界時(shí)點(diǎn)逼近越敏感,即單位臨界時(shí)距變化上所要求的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償越大。實(shí)證結(jié)果可見,兩市場(chǎng)指數(shù)對(duì)于泡沫的破滅更為敏感，而行業(yè)板塊中,較敏感的則是房地產(chǎn)、機(jī)械及有色金屬板塊。同時(shí)估計(jì)出的市場(chǎng)貼現(xiàn)率均為大于1。這揭示了泡沫中存在著貨幣幻覺——錯(cuò)置地認(rèn)為未來(lái)的時(shí)間價(jià)值要更高，因?yàn)橹灰菽黄茰纾Y產(chǎn)增值就將遠(yuǎn)超無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，交易者們因此會(huì)忽略潛在的崩盤損失風(fēng)險(xiǎn)，不急于拋售而更愿意騎行在泡沫上期待未來(lái)增值，因此整體上市場(chǎng)更愿意在將來(lái)實(shí)現(xiàn)變現(xiàn),更為看重未來(lái)的價(jià)值。

表1　2005～2007年股市泡沫中兩市場(chǎng)指數(shù)及27個(gè)行業(yè)板塊股指的定價(jià)核還原分析

5結(jié)論

對(duì)于定價(jià)核還原方法和技術(shù)的研究,在國(guó)際上才剛剛起步,本文在梳理和探討Ross與Carr和Yu不同方法內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)上,通過(guò)引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移價(jià)格算符,用算符方程統(tǒng)一了兩種方法的表述形式。同時(shí),我們給出了一個(gè)將統(tǒng)一表述應(yīng)用于泡沫建模的例子,通過(guò)求解算符特征方程,不僅能夠確定資產(chǎn)價(jià)格和定價(jià)核的運(yùn)動(dòng)形式,還可以分析泡沫的膨脹速度并對(duì)市場(chǎng)貼現(xiàn)率進(jìn)行估測(cè)從而確定貨幣幻覺的存在性。

目前,定價(jià)核還原方法僅假設(shè)市場(chǎng)只由一個(gè)狀態(tài)因子所驅(qū)動(dòng),從理論上講,在算符中還可加入其他多個(gè)狀態(tài)因子,此時(shí)需要界定每一個(gè)狀態(tài)因子對(duì)應(yīng)適應(yīng)性條件,由此可得市場(chǎng)的貼現(xiàn)率是各因子對(duì)應(yīng)貼現(xiàn)率的疊加,市場(chǎng)的定價(jià)核大小則可通過(guò)各因子對(duì)應(yīng)定價(jià)核乘積來(lái)還原出。無(wú)論如何,定價(jià)核的還原方法研究還處于相當(dāng)初步的階段,很多問(wèn)題尚待解決。比如,如何將鞅性(無(wú)套利)下的方法推廣到半鞅甚至更一般的情形;中國(guó)市場(chǎng)缺乏充足的衍生工具,如何合理構(gòu)建狀態(tài)轉(zhuǎn)移價(jià)格算符;如何將行為因素加入算符中,等等。這些問(wèn)題給后續(xù)研究留下諸多機(jī)遇與挑戰(zhàn)。

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The Recovery Approach Based on State Transition Pricing Operator Application to the Diagnosing of Bubbles in China Stock Market

LIN Li

(InstituteofFinancialEngineering,BusinessSchool,EastChinaUniversityofScienceandTechnology,Shanghai200237,China)

Abstract:Conventional financial engineering technique only helps one to estimate risk-neutral probability. However, it is impossible to further obtain natural probability without recovering pricing kernel that reflecting the structure of risk aversion preference for the overall market. At present, two kinds of major approaches to recovery pricing kernel are presented, which are respectively matrix-based-method from Ross and differential equation method derived in Carr and Yu. The former relies on finding out the maximum eigenvalue, whereas the later works by searching the minimum eigenvalue. This paper discusses the internal relation-ship between these two kinds of approaches. By introducing the state transition pricing operator, the current two approaches can be uniformed to solve the operator eigenvalue equation, which eigenvalues and eigen-functions respectively indicate the inter-temporal discount rate and the required numeraire risk premium. As an application, the performance of stock bubbles for China between 2005 and 2007 is diagnosed. Except for estimating the risk compensation in different industry, we also confirm the presence of money illusion characterized by distorted discount rate.

Key words:risk-neutral probability; pricing-kernel recovery; stock bubbles; operator eigen-function

中圖分類號(hào)：F830.9

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-5192(2016)01- 0068- 07

doi：10.11847/fj.35.1.68

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金青年資助項(xiàng)目(71301051);中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)-探索研究基金資助項(xiàng)目(WN1323004)

收稿日期：2015- 01-22