用圖解法確定膠結拉桿的許可載荷

王 利 藺海曉河南理工大學土木工程學院 河南焦作 454000

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用圖解法確定膠結拉桿的許可載荷

王 利 藺海曉
河南理工大學土木工程學院 河南焦作 454000

摘 要：針對學生在理解通過拉壓桿膠結面強度確定桿件許可載荷存在的困惑，提出了一種確定許可載荷的圖解法，方法簡單易懂，有助于全面認識斜截面的應力變化規律和許可載荷確定，是課后答案的重要補充。

關鍵詞：拉壓桿；斜截面；許可載荷；圖解法

材料力學課程是高等院校工科類專業的一門專業基礎課，只有學好材料力學課程，后續課程的學習才能得心應手[1,2]，該課程具有知識點多、邏輯性強、與工程和生活聯系緊密等特點。力學問題的求解方法一般可分為解析法和圖解法，解析法具有邏輯性強的特點，但是圖解法往往更加直觀，更容易理解，采用圖解法進行求解往往可以起到事半功倍的效果[3,4]。

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問題的提出

學生在求解《材料力學》(劉鴻文主編，第五版)習題2.14時，普遍感到不甚理解[5]。原題是：圖1中拉桿沿斜截面m-m，由兩部分膠合而成。膠合面的許用拉應力[σ] =100MPa，許用切應力[τ] =50MPa。設膠合面的強度決定桿件拉力。試問：為使桿件承受最大拉力F，α角應取何值？若桿件橫截面面積為400mm2，并規定α≤60°0，試確定許可載荷F。

圖1

這是通過膠合面強度確定桿件載荷的問題，不同于一般的強度校核，本題的復雜性：一是膠結面上同時存在兩種應力作用，拉應力為：

切應力為：

它們隨α變化規律不同(如圖2所示)；二是它們都可以使膠結面發生強度失效；三是膠結面許用拉應力[σ]和許用切應力[τ]不同。這道題的常規解法是，當膠結面上的拉應力和切應力同時達到許用應力時，桿端載荷最大，聯立(1)(2)二式，解得膠結面角度α=arctan (1/2) =26.561°0。但是，由于兩種應力在膠結面上有很多種組合形式，且許用應力又不同，所以，對桿件是否達到最大載荷仍然存在疑惑。本題的疑惑是為什么必須是兩種應力同時達到許用應力，桿件承受的荷載才達到最大？雖然我們可以理解為，正應力和且應力的共同作用使桿件維持一個最大強度，但是，從圖2(a)可知，兩種應力具有不同的變化規律，桿件在達到最大載荷時，膠結面為什么不能只發生正應力拉破壞或是沿截面的切應力破壞中一種？如果簡單地認為兩種應力同時達到許用應力，桿件即可承受最大載荷，僅僅是一種數學推測，不利于學生對兩種強度失效方式的理解，也不利于對斜截面應力狀態變化規律的理解。基于上述考慮，我們決定采用圖解法對膠結面的應力狀態和失效應力組合方式進行全面的分析，以使學生對此問題達到全面的認識。相比的公式解析法的理性分析，圖解法更加通俗易懂、全面直觀，非常本問題的全面討論。

為此，本文提出求解最大荷載及其斜面角度的圖解法，然后對比分析不同角度斜面上的應力狀態，以及達到最大值時桿件的最大載荷。經過對比當α=26.561o，桿件承受拉力最大，與課本理論解一致。最后對膠結面的破壞機理進行了圖解分析。

圖2

2 圖解法解題步驟

2.1 確定桿端許可載荷

將(1)和(2)式視為以F 為變量的函數，每一個α膠結面的應力用兩條直線σα與τα表示，它們與[σ] 與[τ]直線交點的較小值就是桿端許可荷載[F]，如圖2(a)所示。

2.2 確定膠結面上控制許可載荷的應力

分別確定α=20°0(0°<α<2266.561°0)， α=26.561°，α=40°(26.251°<α<45°)，α=45°以及α=60°0(45°<α<90°)膠結面的許可載荷，如圖2所示。其中當α=26.561°時，由拉應力確定的許可載荷與切應力確定的許可載荷相同。

從圖中可見，當膠結面0°≤α≤26.561°，如圖2(b)所示，許可載荷由拉應力控制，當σα=[σ]時，由(1)式得最大許可載荷為：

當膠結面26.561°≤α<90°(如圖2d，e，f所示)，許可載荷由切應力控制，當τα=[τ]時，由(2)式得最大許可載荷為：

2.3 確定最大許可載荷

根據(3)和(4)式，做出許可載荷的變化曲線，如

圖3所示。由圖3可知，當α≤60°時，最大許可載荷[F]max= 50kN，其對應的膠結面α=26.561°。這是課本給出的答案。但是由圖3可知，同樣的最大許可載荷，當α=90°?26.561°=63.439°時，也可以產生。且當α>63.439°時，許可載荷將急劇增大，直至α=90，[F]=∞，說明斜面將永遠不會產生膠結面破壞問題，此時桿件許用荷載完全由桿件材質強度控制。同時由圖3可知，膠結面最不利承載角度是α=0°和α=45°，相應于桿端最小許可載荷[F]min=40kN。

圖3

2.4 膠結面破壞機理解釋

當0°≤α <26.561°，膠結面在拉應力作用下發生拉伸斷裂。

當α=26.561°，膠結面同時發生拉伸和剪切斷裂。

當26.251°<α<90°，膠結面發生剪切破壞。

當α=90°，膠結面不破壞。使膠結面發生破壞的應力狀態如圖4所示。

圖4

3 結束語

通過圖解法分析，學生對斜截面上的應力變化規律、決定桿件許可載荷的應力、許可載荷變化規律以及膠結面破壞機理有了全面的認識，因此，本文方法可以作為課本習題答案的一個補充說明，有利于提高教學效果。

參考文獻

[1] 陳建偉,王興國,楊梅.材料力學中彎曲內力概念及計算的圖例法教學設計[J].河北聯合大學學報:社會科學版,2013,13(1):93-95,118.

[2] 饒黃云.一道力學題的圖解法[J].江西科學,2005,23(4):430-431.

[3] 張昌莘.矢量圖解法在力學中的應用[ J ] .物理通報,1996,(11):11-12.

[4] 沈韶華,李航.二向應力狀態圖解法的教學設計[C].力學教學與教學改革交流會學術論文集,2006:42-43.

[5] 劉鴻文.材料力學[M].第5版.北京:高等教育出版社,2011.

The Maximum Allowable Load Determination Using Graphical Method

Wang Li, Lin Haixiao
School of Civil Engineering, Henan Polytechnic University, Jiaozuo, 454000, China

Abstract:How to determine the maximum allowable load by the strength conditions on inclined plane? It puzzles the students. In the paper, a graphical method is proposed. It is so simple that could be understand easily, and is an important supplement to the text answers.

Key words:tensile and compression bar; inclined plane; allowable load; graphical method

基金項目：河南省高等教育教學改革研究項目(編號：2009SJGLX132)；河南省高校深部礦井建設重點學科開放實驗室項目(編號：2012KF-07)；河南省教育廳科學技術研究重點項目(編號：13A440320)。

作者簡介：王利，博士，副教授。

收稿日期：2015-07-27