信號與系統課程中有關離散傅里葉級數問題的研究

諸葛霞　袁紅星　李俊　王敬蕊

摘 要：信號與系統課程是一門專業基礎課，電信、自動化、網絡等專業的本科生在大二的時候都要學習這門課程。本文就其中相關離散傅里葉級數問題進行研究，以圖文結合的形式對離散傅里葉級數的時域信號和頻域信號的對應關系做了詳細分析。

關鍵詞：信號與系統；MATLAB；離散傅里葉級數

一、緒言

信號與系統課程是電子信息類專業的一門專業基礎課，其內容涵蓋了信號處理、系統分析的基本概念和基本方法，在整個專業學習中起著舉足輕重的作用，它為今后進一步學習信號處理、網絡理論、通信理論、控制理論等課程奠定基礎。

鑒于信號與系統課程十分重要，多年來一線的教育工作者對其進行了一系列改革，使該課程從原先的純理論性發展到理論和實踐并重。理論和實踐結合使得信號與系統課程不再那么乏味，尤其是實踐的加入，使學生明確了學習方向和學習目的，開闊了學習思路。為了更靈活地應用信號與系統的理論知識指導實踐，必須指導學生打牢理論知識的基本功。

二、信號與系統課程中有關離散傅里葉級數問題的研究

信號與系統的頻域分析是信號與系統課程的重點部分，它既是一種分析方法，又具有自身的物理意義，在頻域中可以看到信號在時域中看不到的一些特點。信號與系統的很多應用都是基于對頻域的分析，如信號的調制解調、信號的濾波等。信號與系統的頻域分析包括離散信號與離散系統的頻域分析和連續信號與連續系統的頻域分析，其中包括周期信號的傅里葉級數展開和非周期信號的傅里葉變換。下文就離散周期信號即周期序列的傅里葉級數展開進行討論。

周期序列的傅里葉級數展開式及其傅里葉系數定義如下，其中N是序列的周期。

1.如何使用MATALAB正確計算離散傅里葉級數對

要想使用MATLAB正確計算出周期信號的離散傅里葉級數對，必須正確理解離散傅里葉級數對的含義，并且熟記巴塞瓦爾能量恒等定理。例如，要計算和顯示如圖1所示的周期序列的三個周期的傅里葉級數的頻域特性及其逆變換，可以使用兩種方法對其進行操作：第一種方法，先計算序列一個周期中傅里葉級數的幅值和相位及其逆變換，再顯示三個周期的頻域特性及其逆變換（結果見圖2）；第二種方法，直接計算序列三個周期的傅里葉級數的幅值和相位及其逆變換，再顯示（結果見圖3）。

如表1的兩個程序所示，第一種方法比較直觀易懂，計算過程也不容易出錯，只是每次在顯示結果圖的時候都要列寫出三個周期；第二種方法只需要對信號進行一次三周期拓展，代碼簡單，但是計算傅里葉級數的過程不是很直觀，學生在使用這種方法的時候容易出錯。第二種方法是對信號的三個周期同時進行傅里葉級數展開的，求解逆變換的時候也是如此，為了保持能量守恒，在計算它的頻譜和逆變換的時候一定要在原有公式的基礎上除以3。

2.離散周期序列的重復周期對頻譜特性的影響

圖4為周期N=10的序列的不同重復周期對幅頻特性的影響，由圖可以看出當重復周期數越來越多時，頻譜特性越來越集中到某些頻率值上，并趨向于離散化。

如表2中程序所示，為了得到圖4的正確結果，在計算頻譜特性時要保持能量守恒，在原有公式的基礎上必須除以序列的重復周期數。同理，在計算傅里葉級數的逆變換時，必須要乘以重復周期數以保證時域和頻域的能量守恒，此處也是學生比較容易出錯的地方。

三、結論

離散傅里葉級數是信號與系統頻域分析的重要部分，離散傅里葉級數變換對的公式給出的僅僅只是一個周期的對應關系，我們要從本質上對它們進行透徹的理解以及挖掘隱藏在它們背后的能量守恒定理。通過MATLAB的計算和顯示，有利于我們更直觀地觀察離散傅里葉級數變換對之間的關系，更好地掌握離散信號的傅里葉級數，在頻域中更靈活地對離散信號和離散系統進行分析。

參考文獻：

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基金項目：本文受“寧波工程學院重點學科建設”資金資助。