坐標測量機孔徑測量的不確定度評定模型研究

徐　磊，陳曉懷，程銀寶，姜　瑞，王漢斌，程真英

（合肥工業大學儀器科學與光電工程學院，安徽合肥230009）

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坐標測量機孔徑測量的不確定度評定模型研究

徐磊，陳曉懷，程銀寶，姜瑞，王漢斌，程真英

（合肥工業大學儀器科學與光電工程學院，安徽合肥230009）

摘要：以坐標測量機測量孔徑為例，闡述測量過程中影響測量結果的不確定度來源，根據測量模型建立孔徑測量的GUM法不確定度評定模型；利用對坐標測量機的測量系統量值特性指標分析的方法，給出基于量值特性分析法的各標準不確定度分量的評定模型。通過對汽車空調壓縮機后缸體的孔徑測量，比較兩種方法評定的擴展不確定度。實例分析可以看出：對于坐標測量機復雜的非線性測量模型，GUM法在計算靈敏系數時，運算量較大且獲得的是近似結果，因此其可操作性不強；量值特性分析法通過對測量系統整體的分析，基于大量的實驗數據對測量結果進行測量不確定度評定，其流程和操作性更為便捷、有效。

關鍵詞：計量學；不確定度評定；孔徑測量；坐標測量機

0　引言

測量不確定度是表征賦予被測量值分散性的非負參數。一個完整的，有意義的測量結果應包含被測量值的估計與分散性參數兩個部分[1]。測量結果的可用性很大程度上取決于其測量不確定度的大小。隨著科技的快速發展，為了滿足更高的工業要求，測量數據的準確性與可靠性也就愈加重要，而提高精密測量的準確度，則需多角度分析影響測量結果的因素，采用正確的評定方法對測量不確定度進行評價[2]，從而量化各因素對測量結果的影響，為提高精密測量的準確度提供方向。

三坐標測量機（coordinate measuring machine，CMM）是一種高效、萬能的精密測量儀器，主要用于工件尺寸、形狀和位置等幾何量參數的測量，在現代制造工業領域和科學研究中的應用極為廣泛。由于CMM是極其復雜的幾何量測量儀器，與單一測量對象的比較型測量儀相比，針對CMM進行面向任務的測量不確定度評定異常困難。不僅因為CMM測量策略的多樣性使得其不同測量任務的不確定度評定過程和結果大相徑庭，且影響CMM測量不確定度的誤差源因素很多，諸誤差源與測量結果的傳遞關系難以確定。因此現有的三坐標測量機的測量結果通常只有被測參數的估計值，不能給出相應的測量不確定度[3]。本文以孔徑測量為例，在測量系統量值特性分析的基礎上，對CMM面向任務的測量不確定度評定模型進行研究。

1　測量模型

CMM通過間接測量得到圓的直徑，即由采樣點在最小二乘法的約束下，得到最佳擬合圓。

在X-Y平面內的直角坐標系下，圓的方程為

令a=2x0，b=2y0，c=r2-x02-y02，l=x2+y2，則式（1）展開并線性化有：

l=ax+by+c

對應擬合圓時所采的測量點Pi，則有正規方程組：

求解方程組（2）即可得到a、b、c，從而得出直徑測量的數學模型：

在圓的實際測量和評定過程中，一般會對采樣點附加約束條件，即測量采樣點數量為偶數，且在被測圓周上等間距分布[4]。在此約束條件下最小二乘圓的圓心坐標為

則式（3）可簡化為

2　GUM解析法評定測量不確定度模型

CMM測量孔徑時，影響測量結果的主要誤差源包括儀器自身的21項機構誤差、測量重復性誤差、熱變形誤差、力變形誤差、探測系統誤差、動態測量誤差等等。因此，CMM孔徑D測量的一般數學表達式為

式中：d——測量模型的輸出直徑值；

αW——工件的熱膨脹系數；

αM——CMM光柵尺的熱膨脹系數；

δθ——實際測量溫度與標準溫度（20℃）的差值；

δres——示值誤差對測量結果的影響；

δv——測量力對測量結果的影響；

δt——動態誤差對測量結果的影響。

待測孔徑D是關于輸入量d、δθ、δres、δv、δt的函數，即：

輸入量之間互不相關，根據測量不確定度表示指南（GUM）可得各傳遞系數為

于是，CMM測量孔徑D的合成標準不確定度為

同理，u（d）也可分析得到。由式（4）知：

d=g（xi，yi，x0，y0）

則各傳遞系數為

于是

將式（7）求得u（d）代入式（6）即得到被測孔徑D的測量不確定度。

3　量值特性分析法評定不確定度

測量系統是指用來對被測量進行賦值時的操作程序、人員、標準件、設備、環境及軟件等要素的綜合，涵蓋獲取測量結果的整個過程。完整的測量過程難免存在很多的誤差源，包括被測量定義的不準確、被測量的采樣樣本不全面、環境條件不穩定以及對環境影響的認識不充分、人員操作、測量儀器的分辨率或鑒別閾的限制、測量標準標定值的不準確、測量策略、測量程序和數據處理不準確、系統誤差修正不完善以及各隨機誤差的影響等。雖然測量系統組成要素不同，上述誤差源對不確定度的貢獻度有所差異，但對整個測量系統的綜合因素存在共性。因此，美國三大汽車公司（Ford、GM、Chrysler）聯合編寫的QS9000配套手冊《測量系統分析》提出了用測量系統分析法對測量系統進行不確定度評價。本文基于測量系統分析提出用6個量值特性來全面評價CMM面向任務的測量不確定度，即分辨力、偏移、線性、穩定性、重復性和復現性。使用統計分析或圖表法分析測量系統的誤差，上述量值特性指標基本反映了測量過程的不確定性，即涵蓋了引起測量系統不確定度的主要來源[5-8]。

3.1標準不確定度分量

1）偏移和線性所引起的不確定度分量uE

三坐標測量機的線性和偏移在尺寸測量中以示值誤差E來表征，安全起見一般以最大允許示值誤差MPEE考慮，取均勻分布，則該標準不確定度分量的數學模型為

式中，MPEE=A+B·L一般由儀器說明書給出[9]。

2）重復性所引起的不確定度分量uRT

重復性測量指在相同的條件下對同一被測量進行多次測量的一組操作，即相同的測量策略、人員、儀器、環境、被測件。重復性是測量儀器重要的誤差來源，反映的是隨機誤差對測量結果的影響[10]，以n次重復測量的測量值的實驗標準偏差s（xk）來表征。

若最終的測量結果采用N次測量值的平均值表示，則有：

顯然，若最終的測量結果采用單次測量值表示，則uRT=s（xk）。

3）復現性所引起的不確定度分量uRD

復現性指在測量條件、人員、儀器、測量方法和原理等發生變化的情況下，對同一或類似被測對象進行多組測量的精密度[11]，可以用多組測量平均值之間的實驗標準偏差定量表示。

其中：

4）穩定性所引起的不確定度分量uS

測量穩定性是同一測量人員在同一環境下，使用同一測量儀器對同一工件的相同被測參數在不同時間下測量值的偏移，偏移越小則穩定性越好。對于不同的CMM穩定性所引起的不確定度分量的大小也不盡相同。如對于納米三坐標機，穩定性所引起的不確定度分量是一個不可忽略的重要來源。而對于普通CMM，穩定性所引起的不確定度分量通常可忽略不計。同理，也是通過多組測量計算測量列平均值的標準偏差來表征，標準不確定度分量的數學模型與復現性相同，只是各組測量列是在測量條件不變的情況下獲得。

5）分辨率所引起的不確定度分量uR

讀數時末尾的舍入將引起不確定度，且屬于均勻分布。對于CMM而言，分辨率較高且為數顯，所以分辨率所引起的不確定度分量常忽略不計。若分辨率為a則不確定度分量按B類評定為

6）溫度補償引入的不確定度分量utemp

CMM作為一種精密的儀器，溫度變化對其影響不可忽略。溫度改變時，由于熱脹冷縮原理，被測工件尺寸以及光柵尺尺寸都將發生改變。雖然CMM通過溫度補償技術減小溫度誤差的影響，但補償后的誤差仍不可忽略。誤差模型如下：

ΔL=L（T-20）（αW-αM）

式中：L——被測工件尺寸；

T——測量時的實際溫度；

αW——工件的熱膨脹系數；

αM——光柵尺的熱膨脹系數。

根據誤差模型可知溫度補償引入的不確定度分量含有以下3個部分：

①被測工件熱膨脹系數所引起的不確定度分量uT1，設工件熱膨脹系數在±ΔαW范圍內按正態分布（k=2）變化，則：

于是工件熱膨脹系數所引起的不確定度分量為

②同理，光柵尺熱膨脹系數所引起的不確定度分量uT2為

③假設實際測量時的溫度T在±ΔT范圍內按均勻分布變化，則：

于是，溫度變化所引起的不確定度分量uT3為

所以，溫度補償引入的標準不確定度分量為

3.2不確定度合成

綜上分析可知，各標準不確定分量相互獨立，則量值特性分析法的合成標準不確定度為

4　實例分析

如圖1所示，采用海克斯康MH3D-DCC型CMM測量某汽車空調壓縮機后缸體的孔徑，被測孔徑標稱尺寸為32mm。實驗坐標測量機空間長度測量準確度MPEE≤（3+4L/1000）μm，光柵分辨率0.1 μm。被測工件和機器光柵尺的熱膨脹系數以及變化范圍分別為

將工件擺放在工作平面的中央，記錄測量環境，采取自動測量的方法，鎖定Z軸。在同一圓截面上等間距采樣8個點來評價被測圓的直徑。

4.1GUM法實驗結果

重復測量10次獲得各采樣點的坐標值，計算單點坐標的u（xi）、u（yi），安全起見，選取其中的最大值作為最終的評價數據。通過實驗數據得u（xi）≈u（yi）≤2μm，則u（x0）≈u（y0）≤0.71μm。各采樣點的坐標值傳遞系數如表1所示。

圖1　孔徑測量實驗

表1　采樣點的坐標值傳遞系數

則根據式（7）計算得u（d）=1.43 μm。實驗采用自動測量，測速較慢，測量力所引起的誤差和動態誤差可忽略不計。根據被測工件的標稱尺寸計算知u（δres）=1.81 μm。實驗室溫度控制在（20±1）℃，則δθ=1℃，考慮均勻分布，計算得：

根據式（6）計算合成標準不確定度為uC（D）= 2.3μm。按置信概率P=95%取包含因子k=2，則GUM法獲得測量結果的擴展不確定度為U=k·uC（D）=4.6μm。

4.2量值特性分析法實驗結果

CMM 6個量值特性指標中，對于示值誤差、分辨率與溫度補償所引起的不確定度分量，可直接根據CMM使用手冊與實驗環境結合上述不確定度評定模型直接計算。而重復性、復現性、穩定性所引起的不確定度分量則需要通過實驗數據來分析計算。

表2　測量復現性檢測數據mm

復現性檢測數據如表2所示，由不同測量人員在改變測頭型號、工件位置（包含工作平面4個對角線的頂點位置）、采樣點數等條件下得到。在復現性試驗中取等間距采8點的實驗數據作為重復性檢測數據。

穩定性檢測由同一測量人員在相同的測量環境下，每隔1h對被測參數進行一次重復測量。穩定性檢測數據如表3所示。根據上述檢測數據與檢測環境，由式（8）～式（15）計算出各標準不確定度分量，如表4所示。

表3　測量穩定性檢測數據

表4　標準不確定度分量

明顯可見穩定性與分辨率所引起的不確定度分量屬于微小量，可忽略不計，且測量重復性與儀器分辨率存在線性關系，分辨力越高重復性往往越明顯，不確定度評定中只考慮兩者中較大的一項即可。由式（16）得合成標準不確定度uC=2.2 μm。同樣，按置信概率P=95%取包含因子k=2，則量值特性分析法獲得測量結果的擴展不確定度為U=k·uC=4.4μm。

表5　GUM法與量值特性分析法的評定結果

5　結束語

基于GUM法與量值特性分析法評定出的CMM孔徑測量的擴展不確定度如表5所示。

可以看出兩種方法的不確定度評定結果比較接近，從兩種方法的評定過程可以看出，量值特性分析法略過求解測量模型以及傳遞系數的過程，有效簡化了測量不確定度的評定流程。當CMM測量模型為非線性等復雜的數學模型時，量值特性分析法大大降低測量人員評定測量不確定度需要的專業知識和評定經驗方面的限制，給不確定度評定提供了一種準確快捷的方法，具有良好的應用前景和實用價值。

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（編輯：劉楊）

Uncertainty evaluation model for aperture measurement of coordinate measuring machines

XU Lei，CHEN Xiaohuai，CHENG Yinbao，JIANG Rui，WANG Hanbin，CHENG Zhenying
（School of Instrument Science and Opto-electronics Engineering，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

Abstract:The factors which may influence the measurement uncertainty of aperture measurement by coordinate measuring machine（CMM）were analyzed. Two uncertainty models were established based on guide to the expression of uncertainty in measurement（GUM）and measurement system analysis（MSA）. Measurement uncertainty for aperture of workpiece were evaluated by the two methods. Moreover，seen from the evaluation example，the results of uncertainty evaluation obtained from GUM and MSA were compared，the comparison result indicates that GUM method needs large amounts of computation and can only get the approximate results in the calculation of sensitivity coefficient but MSA method analyses the whole measurement system and evaluates uncertainty through a large number of experimental data，which is more convenient and more effective than GUM method.

Keywords:metrology；uncertainty evaluation；aperture measurement；CMM

作者簡介：徐磊（1993-），男，安徽滁州市人，碩士研究生，專業方向為測試計量技術及儀器。

基金項目：國家自然科學基金項目（51275148）合肥工業大學青年教師創新項目（JZ2014HGQC0126）

收稿日期：2015-05-29；收到修改稿日期：2015-07-08

doi：10.11857/j.issn.1674-5124.2016.01.006

文獻標志碼：A

文章編號：1674-5124（2016）01-0026-05