“容積和容積單位”教學研究報告

湘潭市小學數學名師工作室　瀟湘數學教育工作室

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“容積和容積單位”教學研究報告

湘潭市小學數學名師工作室瀟湘數學教育工作室

一、問題

“容積和容積單位”是人教版小學數學五年級下冊“長方體和正方體的體積”的教學內容，屬于第二學段“圖形與幾何”板塊的知識。它是在學生了解了長方體和正方體的特征，掌握了長方體和正方體表面積、體積的含義和計算，并且對體積單位及單位間的進率有了明確認識的基礎上進行教學的。正因為有了體積和體積單位作基礎，有老師認為容積和容積單位的教學完全可以照搬，只要稍許介紹兩個特殊的計量單位升和毫升就行了。而且因為1升＝1立方分米，1毫升＝1立方厘米，立方分米與立方厘米的進率學生早已知道，升與毫升的進率可以直接推導出來，整節課的教學毫無難度可言。事實果真如此嗎？我們經過廣泛調查、訪談，發現了容積和容積單位教學中的不少問題，對這些問題進行了深入的思考和討論，并作了一些探索與實踐。

1.教學實踐中的問題

（1）教材中容積概念是用體積來刻畫、描述的——箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。因為有體積概念作基礎，教師們認為一句話可以講清容積的概念，對其中的“所能容納”等字眼一帶而過，往往導致學生理解不充分，表達不到位，最終無法領會容積概念的本質。

（2）教材在揭示容積概念時沒有出現容器一詞，但在介紹容積的計算方法“但要從容器里面量長、寬、高”時卻出現了容器兩字。其實容器與容積聯系十分緊密。學生學過體積知識后，只要理解了容器的含義，對容積概念的理解就可以做到觸類旁通。在課堂教學中，教師需不需要使用容器一詞幫助學生理解容積的概念？對于各種容器，我們既可以計算其體積，也可以計算其容積。如何幫助學生既理解容積和體積的緊密聯系，又能清楚地道出兩者之間的根本區別呢？

（3）量感的培養歷來就是小學數學教學中的一大難題，尤其是容積單位升和毫升，原本就屬于孩子們在生活中接觸不多的計量單位，如何讓學生建立起對升和毫升的感性認識呢？

（1）對于容積和容積單位而言，體積和體積單位的教學是一把雙刃劍，既能讓學生借助已有的體積知識和經驗促進容積相關知識的學習，又容易對容積的學習造成干擾，導致學生將兩者混為一談，難以把握容積和體積的區別。

（2）對容積概念中“所能容納”這樣的詞語，學生覺得抽象、難以理解，常常出現一些誤解。比如，認為只有裝了物體的容器才會有容積，容器如果沒有裝物體則沒有容積；認為容積的大小完全取決于當時所裝物體的多少。就像載重卡車運貨，貨物堆放時明顯地超過了車廂的高度，可學生還是認為卡車上所運貨物的全部體積就是卡車車廂的容積，等等。

（3）學生由于空間觀念較弱，特別是受液體容易變形、形狀不穩定等物理特性的影響，不能理解容積單位的實際意義，對容積單位的大小難以把握。

2.對問題的分析

容積的概念建立在體積概念的基礎之上。了解容積的意義，厘清容積和體積概念的聯系與區別是本節教學的重點和難點。

我們翻閱了香港的小學數學教材，發現香港教材中體積概念的描述與內地是一樣的，而容積概念卻不同。香港教材稱容積為容量，指出，“容量，是指一個容器能容納多少物體”。我們認為，課堂中教師突出容積的測量特征——容納，對學生來說，將會更直觀、更容易接受。于是我們決定先介紹容器，然后借助容器理解容積，這樣對區分容積和體積大有幫助。

容積單位升和毫升屬于量的范疇。量最大的特點就是抽象，但有時教師在幫助學生建立量感時往往將其簡單化了，用三言兩語的解說或者演示操作代替學生的親身體驗，導致學生缺乏相關的直接經驗支撐。因此，教學中我們應設計一些孩子們樂于參與的操作體驗活動，讓他們在做中學，在做中感悟，并且借助這些直接經驗，引導學生判斷和推測較大物體的容積，在不斷實踐中形成量感。

二、實踐

針對教學中教師存在的困惑與學生遇到的困難，我們設計了教學并進行了實踐。以下是主要的教學片段實錄。

（一）初步感受容積概念

師：（出示一白一黃兩個體積明顯不同的長方體盒子）老師帶來了兩個盒子，大家看看，這兩個盒子的體積一樣嗎？

生1：白色盒子體積大，黃色盒子體積小。

師：設想一下，如果我用這個體積較小的黃色盒子盛滿米，然后將米倒入體積較大的白色盒子里，結果會怎樣？

生2：白色盒子里肯定還差一大截，還可以繼續盛米。

師：他的猜想究竟對不對呢？我們來試一試！

生3上臺將米裝滿黃色盒子，再將黃色盒子里的米倒入白色盒子。孩子們驚訝地發現白色盒子裝不下，米粒都要溢出來了，而黃色盒子里居然還有剩余。

生4：啊！這個大盒子里能裝的東西還少一些！

師：是啊，很奇怪呀！白色盒子明明體積大一些，為什么它能裝的東西反而少一些呢？

生5：白色盒子雖然體積大，但是盒子的壁跟黃色盒子相比要厚一些，里面的空間自然就小一些，所以能裝的東西就少了。

師：（倒掉米后將盒身側轉過來，果然兩個盒子的內壁厚度明顯不同）你們的猜想完全正確！白色盒子里能裝東西的空間小一些，能容納的物體體積小一些，我們就可以說白色盒子的“容積”小一些。（板書：容積）黃色盒子里能裝東西的空間大一些，能容納的物體體積大一些，我們就可以說黃色盒子的“容積”大一些。

設計意圖：課伊始，利用兩個體積明顯不同的長方體盒子，體積大的盒子里能裝東西的空間反而小這樣的操作活動，激發學生探究容積概念的興趣，順利地引出容積這一概念。

（二）了解容器的意義

師：像黃色盒子、白色盒子這樣的物體，它里面還能裝進其他的物體，也就是還能容納其他的物體，我們把它們稱為容器。（課件出示集裝箱、油罐、純凈水水桶圖片）這里有三個容器。（指集裝箱）大家想象一下集裝箱里面的空間，應該很大吧。它里面的空間有多大，就可以裝多大體積的貨物。當它裝得滿滿的，這時所裝貨物的體積就是集裝箱的容積。（指油罐）用這個油罐裝油，裝得滿滿的，這時它所裝油的體積就是這個油罐的容積。（指純凈水水桶）誰來說一說這個純凈水水桶的容積？

生1：用這個水桶裝滿純凈水，它所裝純凈水的體積就是它的容積。

師：你說得真好！裝滿就是能裝多少就裝多少。我跟大家講一個故事。老和尚讓小和尚用水桶去裝滿石頭。小和尚飛快地從周圍撿了許多大石頭，三下兩下便將木桶裝滿了。老和尚問：“已經裝滿了？”小和尚回答：“是的，桶子再也裝不下任何一顆石頭了。”老和尚笑著從地上抓起一把小石子往水桶里撒下去，只見小石子很快地從大石頭的縫隙間穿過，落到了桶底。小和尚明白了，趕緊往水桶里裝小石子。待水桶內裝滿小石子后，小和尚說：“裝滿了！”老和尚笑了笑，順手抓起一把沙子往水桶里放，沙子從小石頭的縫隙間流向桶底。小和尚明白了，又趕緊往水桶里裝沙子。等到水桶中裝滿了大、小石頭以及沙子，小和尚這回信心滿滿地說：“師父，現在真的裝滿了，再也裝不下任何東西了。”老和尚搖頭不語，伸手舀了一瓢水，從水桶頂端淋了下去，小和尚看到沙子迅速將那一瓢水吸收了，一滴也沒有流出桶外。孩子們，現在你知道了什么叫做裝滿嗎？

生2：裝滿就是指里面塞得滿滿的，一絲縫隙也沒有留下。

師：說得非常好！一絲縫隙也沒有留下才是裝滿！在生活中，我們還會看到很多容器。誰來舉例說說某個容器的容積？

生3：用剛才那個黃盒子裝滿米，裝得滿滿的，一絲縫隙也沒有，它里面裝的米的體積就是這個盒子的容積。

師：非常好！要是這個黃色盒子里裝滿酒呢？

生4：它里面裝的酒的體積就是這個盒子的容積。

師：要是黃色盒子里裝滿空氣呢？

生5：它里面裝的空氣的體積就是這個盒子的容積。

師：對，不管裝的是什么東西，不管裝的東西是固體的、液體的還是氣體的，只要裝得滿滿的，一絲縫隙也沒有，這個盒子的容積就是它里面所裝東西的體積。誰能用一句話總結什么叫容積？

生6：用一個容器裝滿東西，裝得滿滿的，一絲縫隙也沒有，所裝東西的體積就是它的容積。

師：總結得很到位！（板書）“所能容納”是什么意思？

生7：能裝多少就裝多少，也就是裝滿的意思。

師：如果用一個餅干盒裝爆米花，裝得滿滿的，還膨出來了，這時候爆米花的體積是不是這個餅干盒的容積呢？

生8：不是，不能膨出來，只能剛好將餅干盒塞滿，多出來的部分不能算。

師：同意嗎？

生（齊）：同意！

設計意圖：學生利用生活經驗理解容積概念，用語言描述容器的容積，并在此基礎上進行歸納概括，從而真正把握容積概念的本質。

(三）明確容積與體積的區別和聯系

師：我們知道了白色盒子的體積大，黃色盒子的容積大。如果我們把黃色盒子的內壁加厚、再加厚，請你想象一下，這只盒子的內壁如果一直這樣加厚下去，盒子的什么在變？什么沒變？為什么？生1：盒子的容積不斷變小，體積沒有變。因為盒子里面可容納物體的空間越來越小，也就是盒子的容積越來越小。盒子的外面沒有加厚，整個盒子所占的空間還是原來那么大，所以它的體積沒有變。師：說得很對。如果我們不是增厚盒子的內壁，而是不斷增加這個盒子外面的厚度，盒子的什么在變？什么沒變？為什么？

生2：盒子的體積不斷變大，容積沒有變。因為盒子里面空間的大小一直沒變。但盒子外面的厚度不斷增加，盒子所占的空間越來越大，也就是盒子的體積越來越大。

師：說得太好了。那體積和容積是一回事嗎？

生3：不是一回事，體積是指這個物體本身所占空間的大小，而容積是指這個物體里面空間的大小。

生4：體積大的物體不一定容積就大，就像那個白色盒子，明明體積比黃色盒子大，容積反而小一些。

生5：一個物體體積的大小，看外表就可以了，容積的大小光從外表是看不出來的。

師（對生5）：你的話很有哲理啊，一個人高矮胖瘦我們看一眼就知道，可是這個人的學識水平光看外表是看不出來的，所謂人不可貌相就是這個意思。看來同學們對容積都理解得非常到位了。如果我想要知道這個黃色長方體盒子的體積，怎么算？

生6：長×寬×高。

師：要從哪里量長、寬、高的數據呢？

生6：從外面量。

師：今天我們學了容積，這個盒子的容積又該怎么算呢？

生7：也是長×寬×高，不過要從里面量。

師（驚訝地）：怎么要從里面量？

生7：這個盒子的容積是指這個盒子里面能容納物體的體積，必須從里面量才準確。比如這個盒子里裝滿了水，水就隨著盒子里面的形狀變成了長方體的水。這個長方體水的體積就是盒子的容積。長方體水的長、寬、高就是盒子里面的長、寬、高。

師：看來長方體或正方體容器的容積計算方法跟體積的計算方法是相同的，只不過計算體積要從外面量它的長、寬、高，而計算容積要從里面量它的長寬高。（出示一塊鵝卵石）誰來說一說要計算這塊石頭的容積該怎么測量？

生8：石頭沒有容積！

師（驚訝地）：沒有容積？為什么？

生8：因為石頭里不能裝進其他東西，不是容器。

師：你的意思是每個物體都有體積，但不是所有的物體都有容積。對嗎？一個物體要有容積，首先它必須是一個容器。只有容器才會有容積。那你們有辦法讓這塊石頭變得也有容積嗎？（沉默了一陣，有學生舉手）

生9：在石頭里掏個洞，它就有容積了。

師：好辦法，怎樣才能讓石頭的容積更大呢？

生10：將洞盡可能地挖大，使內壁很薄很薄。

師：這樣一來，石頭的容積豈不是比它的體積還要大了？

生11：絕對不可能！即使石頭的內壁薄得幾乎沒有，它的容積也要略小于體積。

師：那么你們覺得同一個容器，它的體積與容積比較，誰大？誰小？

生12：同一個容器，它的體積總是比容積大，因為體積是指整個物體的大小，而容積僅僅是指物體里面空間的大小。

生13：容器是有內壁的，內壁總是有厚度的，不管厚還是薄，它的容積永遠比體積要小。

師：什么情況下，我們可以將一個容器的體積看作它的容積？

生14：假如將容器的內壁磨得很薄很薄，薄得幾乎沒有，這時我們可以將內壁的厚度忽略不計，這個物體的容積就等于它的體積。

師：除了內壁的厚度忽略不計之外，還有什么情況下也可以？

生15：在計算結果不需要那么精確的時候，我想是可以的。

師：大家同意他的意見嗎？

生（齊）：同意！

設計意圖：從容積與體積的“異”處入手，利用“白色盒子體積大，黃色盒子容積大”的話題，師生之間、生生之間進行深層對話，厘清容積與體積概念的區別，理解兩者雖然計算方法相同，測量方法卻不同。隨后精心設計了鵝卵石的容積該怎么測量這一問題，引導學生明白所有的物體都有體積，有些物體卻只有體積而沒有容積。當然，我們可以想辦法讓沒有容積的物體變為有容積的物體。教師的追問“怎樣才能讓石頭的容積更大？會不會超過它的體積？”引發學生對體積與容積區別的深度思考，從而溝通體積與容積之間的聯系。

（四）認識容積單位升與毫升

師：計量物體的體積要用到體積單位，我們學過哪些體積單位？

生1：立方厘米、立方分米、立方米。（板書：cm3、dm3、m3）

師：我們今天學的容積，表示的是容器所能容納物體的體積。既然是能容納物體的體積，所以計量物體的容積自然就用體積單位。但是也有特殊情況，如果容器里裝的是液體，像飲料、水等，就常常采用容積單位。有哪些常用的容積單位呢？請大家拿出自己收集的空飲料瓶等找找看。

生2：升。

生3：毫升。生4：ml。生5：L。師：有誰知道L、ml分別表示什么意思？

生6：L是升，ml是毫升。

師：你知道的可真多！（板書：L（升）、ml（毫升））那你們知道為什么用這些字母表示升和毫升嗎？

生7：英語單詞首字母吧。

師：差不多！L是英文單詞“升”liter的首字母，ml是“毫升”milliliter的縮寫。看看你們手里的空瓶，上面關于瓶子里裝的液體的體積是怎么寫的？

生6：凈含量555毫升。生7：凈含量20ml。生8：凈含量5升。……

師：咦？為什么是凈含量，而不是說這個容器的容積呢？（生疑惑不解）（出示一瓶飲料）大家看，這是一瓶沒有開封的飲料，里面飲料的凈含量能說成是這個飲料瓶的容積嗎？為什么？

生9：不能。因為沒有裝滿，瓶子里還空著一大截呢！

師：如果裝滿了呢？

生10：如果裝滿了的話，瓶子中飲料的凈含量就是瓶子的容積。

生11：我知道了，凈含量是指這個容器實際裝了多少毫升或者多少升的液體。凈含量總是小于這個容器的容積。

師：真是一群善于觀察、善于思考的孩子！

設計意圖：利用飲料瓶里面飲料的凈含量能否說成是這個飲料瓶的容積這一問題引發學生思考，使他們明白凈含量與容積的區別，再因勢利導，通過反問溝通兩者之間的聯系。

(五）感受1升

師：每一組桌上都有一瓶正好1升的紅色水，請記住這么一大瓶水的體積就是1升。如果把這1升水倒在一次性塑料杯里，估計一下，能倒滿幾杯？

生1：4杯。

生2：5杯。

師：你們的猜測是否正確呢？請自己動手驗證吧。

學生分組將紅色水一杯一杯倒入一次性塑料杯里。

生（驚喜地）：5杯，正好5杯！

師：現在我們知道了，1升水就是這么一大瓶水的體積，或者說一次性塑料杯5杯水的體積！醫學上有種說法：人每天要喝2升水才有益健康。2升水是幾杯水的體積？怎么算的？

生3：10杯！5杯水的體積是1升，2升就是2個5杯，也就是10杯水的體積。

師：有不同意見嗎？

生4：要看杯子大小吧。如果是一次性塑料杯，2升水就是10杯，我們平時喝水的茶杯有大有小，大一點的杯子只要喝7、8杯吧！

師：能根據實際情況分析問題，真棒！（出示一個體積是1立方分米的正方體）這是我們學習體積單位時使用過的正方體，它的體積是1立方分米。（出示一個正方體塑料盒）現在我把這個正方體放到這個方盒子里（演示），你們看到了什么？說明了什么？

生5：正好裝滿，說明這個方盒子的容積是1立方分米。

師：現在我想把剛才這1升水倒進這個容積是1立方分米的盒子里，你覺得會怎樣？

學生有的認為會裝滿，有的覺得裝不下。教師將1升水倒進去，學生發現不多不少剛好裝滿。

師：從剛才這個實驗，你可以得到什么結論？

生6：1立方分米等于1升，因為都是正好裝滿，我們可以說這個盒子的容積是1立方分米，也可以說它的容積是1升。（板書：1升=1立方分米）

師：（出示大飲料瓶）我們來估一估這個飲料瓶的容積大約是多少。你是怎么估的？

生7：大約1.5升。這個飲料瓶的容積比1升水要多，但又不夠2升，所以我估成1.5升。

師：這種方法很好！我們估的時候，用1升的量作標準，看看要估算的這個容器的容積大約是幾個1升，就是幾升。

設計意圖：本環節中，學生在“做”和“思”的過程中積累數學活動經驗。當學生將1升水倒入一次性塑料杯發現正好可以倒5杯時，教師追問“有不同意見嗎”，使學生推翻原有認知，引發思考，原來杯子的大小不同，1升水可倒的杯數也不相同，加深了對1升水的體驗。在驗證1升=1立方分米時，思路也同樣如此，操作成為了思考的感性支撐。學生主動地去尋找標準量，進行觀察、比較、合理推斷，從而使估測結果更接近事實。

（六）感受一毫升

師：1毫升大約是多少滴？我們一起來看看！（視頻播放：人在運動后的汗滴、雨傘上滑落的雨滴、未擰緊的水龍頭滴下的水滴……學生隨著畫面不自覺地跟著數）

師：能說說1毫升液體大約有多少滴嗎？

生1：20滴左右。

生2：看每滴的大小，小的有20滴，大的只有10滴。

師：總結得很到位！1毫升的液體有10多滴。你的小手能兜住1毫升的液體嗎？來，小手伸開，蜷成一個小碗狀。（老師依次在每個小組的1名同學手中倒入1毫升水）兜住嘍，讓組里其他同學看看這1毫升水，然后將這1毫升水分別倒入桌上的小勺里、水瓶里或者空文具盒里，看看1毫升水在這些不同容器中是個什么樣子。看過之后，對于1毫升水，你有什么感受？

生3：1毫升水放在手心里很輕很輕。

生4：1毫升水很少，倒在文具盒里連盒子底都不能蓋滿。

生5：1毫升水躺在小勺里，就那么一丁點，實在是太少了！

生6：我剛才偷偷嘗了這1毫升水，就一小口，根本不解渴。（教室里轟地笑起來）

設計意圖：通過“數一數”“捧一捧”“看一看”“說一說”等活動，學生調動多種感官積極參與到毫升的認識過程中，去觸摸和品味數學。

三、討論

1.幾何概念教學中，如何才能讓學生透徹理解幾何概念？

容積是一個幾何概念。幾何概念是反映現實世界空間形式本質屬性的一種思維形式，是學生建立幾何知識體系的根基。離開了幾何概念，學生的空間觀念、抽象思維能力的培養就成了無源之水、無本之木。學生學習幾何概念的過程，需要從盡可能多的直觀性很強的正面例子中形成正確的感性認識，在此基礎上進行分析、提煉，歸納出感性材料的本質屬性，形成幾何概念。因此，大量舉例，充分感知，是學習幾何概念的關鍵。

容積這一概念對學生來說是一個全新的幾何概念，學生自己不可能探究得出，必須由老師講解。所以老師首先以集裝箱為例，詳細講解了什么是集裝箱的容積，然后引導學生理解容積概念時必須強調“裝滿”，共同總結出“不管裝的什么東西，不管裝的東西是固體的、液體的還是氣體的，只要裝得滿滿的，一絲縫隙也沒有，這個盒子的容積就是它里面所裝東西的體積”。此時孩子們對容積的意義已經有了初步的感性認識。接下來在學生獲得大量的對具體事物的感知之后，教師引導學生抽象概括出容積的本質屬性，以形成新的概念。

2.能否適當調整教學內容，使學生的體驗更深入？

因為篇幅的限制，對毫升與立方厘米、升與毫升的關系教學片段我們沒有一一呈現。在課堂上對1升、1毫升的體驗，我們自認為還是比較充分的。但是對“升”的體驗，除了聯系醫學上“人每天要喝2升水才有益健康”的說法，估算2升水大約多少杯，另外估測了一個大飲料瓶的容積大約1.5升之外，就沒有其他的體驗活動了。對“毫升”的體驗，學生數出1毫升液體大約多少滴之后，也只是象征性地利用十滴水、風油精等物品粗略地估了估10毫升、20毫升。盡管這樣，后面的課堂鞏固練習所剩時間也不多，顯得比較倉促。我們原本設計的30毫升、50毫升、100毫升、幾百毫升的估測活動根本無法在課堂時間內完成。對此，教學時，我們是不是可以將體積與體積單位、容積與容積單位的內容進行整合？第一課時理解體積與容積概念，第二課時專門教學體積單位，第三課時專門教學升與毫升。這樣處理，一是可以厘清體積與容積概念的聯系與區別，借助體積單位學習的經驗促進容積單位的教學；二是學生在升與毫升的學習中就有更充裕的時間進行體驗，從而有利于培養借助合適的參照量進行估測的意識和能力。美中不足只是增加了一個課時。

（執筆：譚念君、謝曲波、劉齡禧）

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