從n=k到n=k+1的技巧

羅邯

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從n=k到n=k+1的技巧

羅邯

不等式的證明有多種方法，涉及到與正整數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法。證明過(guò)程中除了要嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟外，最關(guān)鍵之處是如何從n=k推出n=k+1時(shí)，不等式也成立。本文介紹幾種從n=k到n=k+1的技巧，教師們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，可以適時(shí)地教給學(xué)生，提高他們的解題能力。

解析從左邊式子觀察可知，由n=k到n=k+1后，起始項(xiàng)變?yōu)椋瑒t減少了一項(xiàng)，末項(xiàng)應(yīng)為，又中間項(xiàng)的分母為連續(xù)正整數(shù)，因此應(yīng)增加

兩項(xiàng)，故選B。

點(diǎn)評(píng)一定要仔細(xì)觀察不等式的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)從n=k到n=k+1時(shí)增加了多少項(xiàng)，減少了多少項(xiàng)，一般用（fk+1）-（fk）來(lái)研究，才能準(zhǔn)確無(wú)誤。

a2，a3，…，an也成立的不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。

解析由已知，歸納猜想得（a1+a2+a3+…+an）·

點(diǎn)評(píng)：證明n=k+1時(shí)結(jié)論成立，可以采用分析法，找到解決的辦法。如本題就沒(méi)有放大或縮小不等式，是采用分析的思路、作差的方法解決的。

在數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，綜合性較強(qiáng)，要會(huì)觀察，善思考。由假設(shè)n=k成立，推證n= k+1時(shí)也成立時(shí)，證明用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、比較法、放縮法，基本不等式法等證明。因此，用好了數(shù)學(xué)歸納法，就可證好不等式。

（作者單位：瀏陽(yáng)市第一中學(xué)）

《湖南教育》“瀟湘數(shù)學(xué)組”欄目策劃

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