高師數學對新課標數學教材中“平面向量”的聯系與輔助

王正偉++王杏++曾慶雨

摘 要： 平面向量是中學數學和高等數學中必要的內容，具有“數”與“形”的特點，在幾何與代數上都有廣泛的應用，也是高考必考內容之一。同時，高等師范院校學習的平面向量是中學學習平面向量的拓展和延伸。本文對平面向量在中學、高考和高校數學學習中的有關內容作探討。

關鍵詞： 高師數學 平面向量 輔助

1.高考中的向量

在高考中主要是考查平面向量的基礎方面的知識或者向量與其他知識的聯系[1]。向量具有“數”與“形”的雙重特點，是中學數學和高師數學中不可缺少的內容，歷年高考已經體現出對相關的知識的要求與掌握。主要體現為考查平面向量的基本運算技能、性質、運算法則，以及考查它和其他知識的聯系，如：數列、曲線、函數等。

平面向量在近年高考中常出現兩道不同的題目。主要是選擇題或填空題和解答題，選擇題或填空題考查向量的運算法則、數乘、性質、共線問題、數量積與軌跡問題，解答題考查三角、函數、曲線、數列等問題，主要以平面向量的基本形式為條件，求解其他方面知識。

如已知■，■是兩個非零的向量，若■+3■與7■-5■垂直，■-4■與7■-2■垂直，求：■與■的夾角。本例中主要考查向量的數量積滿足交換律■·■=■·■，但不滿足■·■=|■||■|，這就與平時的數量乘積運算不同，同時要更注意如果■·■=■·■，但不能得出■=■。

再如，在一個平面直角坐標系xOy中，已知點A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1）。（1）求平行四邊形的兩條對角線的長，（2）求t的值，其中假設實數t滿足（■-t■）·■=0。此題主要考查學生對平面向量的理解和對運算的求解能力，涉及的知識點有平面向量的幾何意義（數形結合）、向量的線性運算和數量積。

2.中學新課標對向量的安排概要

新課標在課程的設計中考慮得比較周全，對單元的脈絡安排合理。如：新課標《平面向量》是這樣安排的，首先學習向量的實際背景及基本概念，再學習向量的線性運算，平面向量基本定理及坐標表示，最后學習向量的數量積和向量的應用舉例，體現了對知識的安排具有整體性和科學性。平面向量作為必學內容，使得這一節內容在這一章中的位置得到提升，更體現了新課標的科學性、創新性，同時重視了知識的應用，貼近生活。

3.如何運用高師數學所學向量知識輔助中學教學

一方面，在《解析幾何》中，幾何問題求解時就可以把幾何條件轉化成代數方程利用代數工具進行研究。如：《解析幾何》中向量的外積、混合積、向量的共線、共面等問題實際上都是用線性運算來描畫的，都可用行列式表示出來。由此可知，高等師范院校學習的內容有很大程度上是中學課程的延伸?！督馕鰩缀巍贩从吵霈F實世界的“數”與“形”的緊密聯系，而《高等代數》則把《解析幾何》所揭示的“空間”概念通過“向量”推廣到十分抽象的“維空間”，而“代數”這一領域，很多地方都是因為有了“向量”為基礎，才能夠發揮下去。

向量作為“數”與“形”聯系的橋梁，本身就很重要。在高中階段屬于簡單學習，而在高校里不僅要研究向量的基礎知識，而且要研究向量的各種特性及它的各種運算。許多幾何問題都可以用向量的知識快捷解答出來。

另一方面，在高等師范院校里，數學專業以向量代數方法研究為主，它在立體幾何中的應用很廣泛，如果取定了原點和坐標系后，多元的數組就可以被看成以原點為始點的向量，復數就可被看成是平面向量。許多抽象的代數概念就會獲得了具體的幾何背景，個數的數組就可以看成虛構的高維空間中的向量。許多高維數組構成的“空間”實則是現實空間中向量各種運算的推廣，也就是高等師范院校所學習的維向量就可以用來輔助學習中學的二維和三維向量。

總之，高等師范學院數學專業的師范生只有掌握好數學方面的專業基礎知識，才有可能把大學所學知識用幫助學生學習中學相關知識，如平面向量等。

4.結語

通過以上對中學向量和大學向量的論述可以看出，中學所學習的平面向量內容雖然不是很深入，但是對中學學習中解決幾何運算、代數運算、坐標運算是一種很好的工具，也是為大學學習打好一定的基礎，而大學所學的內容則可以從高觀點輔助和駕馭中學內容。師范院校學生必須認識到中學數學內容和高師院校數學專業所學內容之間的區別與聯系，從自己實際所學內容開始思考、分析這些問題，打好堅實的基礎，成功利用高師數學輔助中學數學。

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