同化與順應：認知的一體兩翼

朱東亮

摘 要

“倍”是比較兩個數量大小的一種基本方法，是學生后續學習“分數”“比”等其他“比率”概念的重要支撐。然而，學生在建構“倍”及其他“比率”概念時，不同程度地出現了一些困難。通過對學生、教師、教材的調查，分析了“倍的認識”這一單元的教學問題與其他比率概念與“倍”的聯系問題，并根據建構主義理論，從“同化”和“順應”這兩個維度，提出了若干建議。

[關鍵詞]

建構；同化；順應；倍；比率

一、問題提出

建構主義認為，“同化”和“順應”是認知結構發展的主要過程。“同化”是把客觀環境因素納入主體已有的認知結構中。“順應”是主體的認知結構不能同化客體，必須建立新的或調整原有認知結構。在學習“倍”等“比率”概念時，學生需要通過同化和順應這兩個過程來發展認知結構。

人教版修訂后的教材將原來分散在二年級的關于“整數倍”的內容集中在三年級“倍的認識”這一單元中，降低了學生的學習難度，有利于學生建構認知結構。“倍”的本質就是“比率”，關于比率這一重要概念在修訂版的人教版教材中編排如下。

人教版中“比率”相關概念的安排表

可見“倍”的概念是學生建構“比率”這一“乘法結構”的伊始。原來已經建立的“加法結構”的平衡被打破，需要通過“順應”來達到新的平衡。而小數倍、分數（表示率）、百分數、比等內容，都可以看成是在“整數倍”基礎上的“同化”。那么，學生在建構“倍”及其他“比率”概念時還存在困難嗎？教師在教學中又有哪些困惑？研究這些問題，有助于學生更好地實現“順應”和“同化”，從而幫助學生自主發展認知結構。

二、調查分析

（一）對學生的調查

為了解學生對“倍”“分數”“比”“百分數”這四個關于比率的子概念的認知情況，設計了如下調查內容，各個項目的正確率見下表。

三年級學生對“倍”的認識調查情況表

數據反映出學生對“倍”的認識還存在一定問題，主要有以下幾方面。

1.對“倍”與“幾個幾”的聯系還不夠明了

在問題1中，部分學生把“6是2的3倍”這一表征錯誤地表達成了“2個3”。可以看出，這類學生對“倍”與“幾個幾”聯系還未完全建立，沒有實現新舊兩個認知結構的溝通。

2.對應用“圖形”這一工具還不夠自覺

在問題3中，部分學生認為條件不充足，沒有發現隱含的倍數關系，缺少尋找“倍數”的方法，缺乏利用倍的本質含義去解決具體的問題。

3.對“倍”這一乘法結構關系還不夠清晰

在問題4中，典型錯誤就是“20×4=80”，他們看到“倍”就用乘法來解決，仿佛“倍”就是“乘法”的代名詞。說明學生對求“倍”這一乘法結構沒有形成完整的認識，對求其中的“標準量”這一數量關系不清晰。

4.對“非整數倍”的認識還缺少基礎

在問題5和6中，選擇無法解答的學生比例較高，其中對大于1倍的非整數倍的認可程度要高于對小于1倍的非整數倍認可度。顯示出學生的認知結構已然是在整數范疇，要向“非整數倍”發展，仍然存在較大的屏障。

5.對“比率”子概念之間的聯系還不夠明了

數據反映出六年級學生對“倍”“分數”“比”“百分數”這四個關于“比率”的核心子概念之間的聯系沒有很好的溝通，阻礙了“比率”這一乘法結構中的重要概念的建構。

（二）對教師的調查

為了解教師對“倍”及其他相關概念的了解，進行了如下調查。

教師對“倍”的了解情況調查表

從調查情況看，部分教師還存在如下問題。

1.對“倍”的理解不到位

什么是“倍”？《新華字典》對應的解釋是“跟原數的相等數”，那么幾倍就表示與幾個原數相等的數，應該說這個解釋是不全面的，從數學角度看“倍”，倍實質是一個數除以另一個數所得的商，即“比率”。而很多老師對此不完全清晰。還有部分老師對“非整數倍”持有懷疑態度。

2.對相關概念之間的聯系認識不到位

“倍”是“比率”的一個子概念，與“分數”“比”“百分數”有密切的聯系，這四個子概念之間是可以互相轉化的，但教師對“倍”與其他子概念的聯系認識是模糊的，進而可能在教學中也無法將這些概念聯系起來進行教學，從而影響學生建構起完整“比率”結構。

3.對學生的認知水平掌握不到位

在一堂“求一個數是另一個數的幾倍”教研課中，筆者發現執教老師意圖將“大于1的非整數倍”和“小于1的非整數倍”進行滲透，出現了學生由于缺少小數除法、分數等基礎知識的支撐而感到茫然的情況。顯然，教師對學生的認知水平估計過高，沒有找準學生認知的最近發展區。

（三）對教材的調查

為進一步了解教材對“倍”等比率概念的編排特點，筆者對人教版教材進行了調查。總體上看教材的編排符合學生的認知特點，同時也存在進一步改善的空間。

1.“1倍”的結構性材料尚需補充

在教材中，例題1的任務是幫助學生建立“倍”的概念，出現的是“紅蘿卜是胡蘿卜的3倍”和“白蘿卜是胡蘿卜的5倍”，而后面的所有材料都有出現“1倍”這個基本關系。而1倍是一個重要的概念，甚至是“倍”的核心。因為在比較兩個數量大小時，“同樣多”和“1倍”的意義完全相同，是溝通“作差法”和“倍比法”的連接點。

2.“倍”的數量關系結構尚需完善

在三年級上冊“倍的認識”單元中，例題2是求一個數是另一個數的幾倍，即求“倍數”。例題3是求一個數的幾倍是多少，即求“比較量”。顯然數量關系結構是不完整的，缺少了“已知一個數的幾倍是多少，求這個數”這一類型，即求“標準量”。雖然在三年級下冊的教材中出現了這一類型（安排在練習中），但這種編排割裂了學生的認知時間，是值得商榷的。

3.“比率”子概念之間的聯系尚需明晰

本套人教版數學教材（修訂版）在五年級下冊安排了分數、六年級上冊安排了“比”和“百分數”的內容，從教材提供的材料來看，對“倍”只字不提，沒有給予師生很好的溝通概念之間聯系的引導，喪失了“同化”的機會。

（四）調查小結

綜合上述調查，筆者發現學生對“倍”這一概念的建構還存在一定問題，體現出多元表征之間轉換的自覺性不高，數量關系結構不全等“順應”問題，對“倍”與其他比率子概念之間的溝通還不明晰等“同化”情況。部分教師對“倍”這一概念的前后聯系不清晰，也影響了學生對“倍”及其他“比率”概念的意義建構。

三、建議策略

（一）增強材料結構，降低順應難度

“倍”對于學生來說是一個全新的認知結構，無法同化到原有的加法結構中，因此需要建立新的結構（即乘法結構）。因此，在教學中，需要提供結構性強的材料，以幫助學生降低順應的難度。

1.讓“幾個幾”成為“倍”的生長點

在“倍”的引入環節中，建議補充關于“幾個幾”的學習材料。把抽象的“倍”的概念與學生已經掌握的“幾個幾”建立聯系，同時要提供逆向思考的材料，讓學生能從把“幾倍“轉化為“幾個幾”，如“藍花有4朵，紅花的朵數是藍花的3倍，那么紅花里有3個4朵”，通過正反兩方面的轉化，以幫助學生尋找到新知的生長點，初步建立“倍”的概念。

2.讓“1倍”成為“倍”的發展點

在“倍”概念理解階段，建議補充“1倍”這一節點。在人教版的例題及習題中，關于“1倍”的關系難覓蹤影，而“1倍”是今后學生認知結構從“大于1倍”向“小于1倍”發展的關鍵點，具有承前啟后的作用。因此，可以先設定標準量不變，比較量變化，直至變成兩個量相等，此時就產生了1倍關系。在后續教學中，比較量繼續縮小，當連1倍都不到時，用分數來表征就順理成章了。

3.讓“數量關系”成為“倍”的完善點

在用“倍”的概念解決實際問題環節，建議將關系結構補充完整。可以在“求一個數是另一個數的幾倍”和“求一個數的幾倍是多少”這兩類問題后，補充“已知一個數的幾倍是多少，求這個數”這一結構的問題，以幫助學生完善認知結構。同時加強“求一個數的幾倍是多少”和“已知一個數的幾倍是多少，求這個數”這兩個類型的比較，更好地幫助學生加深對“倍”的理解。

（二）利用多元表征，建構“倍”的模型

“表征”是指用某種形式表達數學概念的行為，學生借助各種表征來表達數學概念，在不同數學表征之間建立聯系，有助于模型的建立。

1.用圖形表征讓“倍”更加直觀

在初步認識倍的階段，建議用實物圖形幫助建立“倍”的模型。為幫助學生進一步抽象和概括，可以確定不同的標準，去表示相同倍數的材料，如“小明買了8個蘋果，4個桔子，蘋果的數量是桔子的2倍，小紅家買了6個桔子，3個蘋果，桔子的個數是蘋果的2倍”，并抽象成“標準結構”的模型（如圖一）。同時還要注意提供“變式結構”（如圖二）和“錯誤結構”（如圖三），讓學生在辨析中進一步理解“倍”，并向線段圖進一步抽象（如圖四）。

2.用語言表征抽象“倍”的概念

語言是思維的重要載體。在經歷豐富的圖形表征后，要讓學生逐步用語言來描述兩個數量之間的關系。重點要讓學生描述“一個量里包含幾個另一個量，所以一個量是另一個量的幾倍”，用語言不斷強化對“倍”的本質認識。

3.用算式表征加深“倍”的理解

在應用“倍”概念解決問題環節，建議從“求倍數、求標準量、求比較量”三個維度出發，安排統一情境的對比材料，如“小明有科技書8本，故事4本，科技書是故事書的幾倍”，“小明有科技書8本，故事書是科技書的2倍，故事書有幾本？”，“小明有科技書8本，是故事書的2倍，故事書有幾本？”。通過類似的對比，讓學生加深對倍的理解。

4.溝通各表征之間的聯系

在教學中，建議將語言表征、圖形表征、算式表征進行轉化和溝通。在概念的初步理解階段，可以先從圖形開始，幫助學生對“倍”先有一個直觀的認識，從而向語言表征轉化。對“倍”有了初步認識后，可以讓學生將語言表征向圖形表征轉化，用圈一圈的方法表征倍數關系，引導學生在頭腦中建立起“一個量中包含幾個另一個量”的圖形，加深對“倍”的本質理解。在解決問題階段，建議溝通好圖示表征和算式表征，發現這兩種方法在解決問題中的聯系后，要讓學生體會這兩種方法各自的優點。“圖形”能更直觀地表達語言表征，“算式”則在解決問題時更具有一般性。尤其要關注“圖形”這一幾何直觀的思想方法，是幫助學生理解題意，準確分析數量關系的重要方法，對解決較復雜的“和倍”“差倍”“幾倍多幾”“幾倍少幾”等問題中有特有的優勢，要讓學生充分感受到這一方法的優越性。

（三）同化相關概念，完善“比率”結構

1.同化“倍”中的各子概念

首先，要在后續教學中完善“倍”自身的結構。在學習了分數除法、小數除法后，要讓學生意識到“倍數“不僅可以有“正整數倍”，還可以有“分數倍”“小數倍”。如利用“山羊有5只，綿羊有10只，山羊的只數是綿羊的幾倍？”這樣的問題打開學生的認知邊界，消除倍數只能是整數倍的誤區，從而將這些子概念都同化到“倍”的認知結構中，在頭腦中完善認知結構。

2.同化“比率”中的子概念

其次，在教學比率的其他子概念時，教師可適當溝通“倍”與他們的關系。如在教學分數時，可以讓學生認識到“甲是乙的3倍”與“乙是甲的[13]”所表示的關系是一樣的；在教學百分數可以讓學生認識到“甲是乙的3倍”與“甲是乙的300%”所表示的關系是一樣。在教學比時，讓學生的認識到“甲是乙的3倍”也可以表示成甲∶乙=3∶1。并在總復習階段，再次溝通“倍、分數、百分數、比”這幾個比率概念之間的關系，幫助學生從一定程度上同化相關概念，完善“比率”結構，讓學生融會貫通。

四、結語

“同化”和“順應”是學生實現認知發展“兩翼”。作為教師要找準“倍”的“順應”起點，把握“倍”與其他比率子概念之間的“同化”關系，遵循學生的認知規律，才能為新知識融入已有的認知結構創造條件，健全學生頭腦中的數學知識的內容、觀念和組織，完善和發展學生的數學認知結構，從而促進學生思維的發展。

[參 考 文 獻]

[1]孫昌識，姚平子.兒童數學認知結構的發展與教育[M].北京：人民教育出版社，2005.

[2]吳正憲，周偉紅，陳鳳偉.吳正憲課堂教學策略[M].上海：華東師范大學出版社，2013.

（責任編輯：李雪虹）