兒童建模學習，走向思維的深處

王翠 帥莉

一、 兒童建模學習的提出

在力學小學國家級十二五規劃課題“基于學科特質的研究性課堂的深化研究”的中期匯報中，成尚榮先生曾提出：我們的教育應該指向兒童的深度學習。“深度學習”寓意頗深，其最終目的是讓兒童擁有深刻的思維品質，持久的學習力。數學從本質而言，是研究數量關系和空間形式的，是在不斷的抽象、概括模式化的過程中發展和豐富的，《義務教育數學課程標準》中提出“強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解。”數學學習只有深入到“建模”的意義上，才真正走進了數學學習的“腹地”。基于此，我們提出了力學的數學課堂教學主張“兒童建模學習”。

二、 兒童建模學習的內涵

提起數學建模，很多人第一反應是初高中的數學競賽，也常常會有人疑問：小學能建模嗎？其實我們力學小學研究的兒童建模學習，并不是指狹義的建模競賽，而是廣義的數學建模，是基于兒童視角，聚集數學本質，不斷讓學生經歷從具體事例或現實原型出發，逐步抽象、概括建立起某種模型并進行解釋和運用，從而加深對數學的理解和感受，提升數學學習的能力。

三、 兒童建模學習的定位

第一，研究的對象是兒童。兒童在不同的發展階段有不同的思維特點，所以兒童建模學習是基于兒童的認知特點，基于兒童的生活經驗，基于兒童的思維方式的。我們研究的兒童建模學習，需要從兒童的“最近發展區”出發，通過適切的問題展示，引領兒童進入數學的深度思維，從而到達兒童的“最優發展區”。

第二，目標指向兒童的深度學習。力學小學提出的兒童建模學習的目標指向兒童的深度學習，指向兒童數學能力、數學思維等素養的提升，指向發展兒童的學力。我們以“兒童建模學習”為突破口，讓兒童理解并形成數學的思維，逐步經歷發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，培養兒童建模的意識，讓兒童經歷建模的過程，形成建模的思想。在此過程中，兒童個體通過不斷自我構建，學會猜想、抽象、運用數學模型解決生活問題，舉一反三等，這樣在小學階段就能積淀豐厚的數學活動經驗，為初高中的數學學習甚至是終生學習都奠定思維的基礎。

四、 兒童建模學習的操作途徑

1.利用已有經驗，讓兒童建模學習

《義務教育數學課程標準》指出，數學教學活動必須建立在學生認知發展和已有的知識經驗基礎之上。美國教育心理學家奧蘇伯爾也說過，影響學習最重要的因素是學生已經知道了什么，我們應當根據學生原有的知識狀態去進行兒童建模學習。所以，有效的教學活動必須是基于學生認知起點展開的自主探究的過程。

進行《認識面積》教學時，在學生通過摸一摸、比一比、找一找、說一說等活動認識面積的含義后，我設計了讓學生比較平面圖形面積大小的教學環節。

（1）認識基本的比較方法

a.觀察法

師：圖形王國里有四個圖形寶寶，你知道幾號圖形的面積最大？幾號圖形的面積最小嗎？

生： ④號圖形面積最大，最小的是①號圖形。

師：一眼就看出來了。有時我們可以直接用觀察的方法進行圖形的大小比較。板書：觀察。

b.重疊法

②號、③號圖形，也請你們來觀察一下，它們誰的面積比較大？（不能一眼就看出）有什么好辦法？

生：重疊一下后發現③號的面積比②號的面積大。

小結：當圖形的大小比較接近時，我們可以用重疊的方法進行比較。板書：重疊。

（2）自主探索面積的比較方法

師：這兒還有兩個圖形寶寶，你還能比較出他們的大小嗎？

同桌兩人合作，看哪一對同桌能想出好辦法。為了給同學們一些提示和幫助，老師給大家提供了一些工具：剪刀、小圓片、透明方格紙。如果你覺得有用的話，你可以用它們，使用剪刀要注意安全，你也可以用你自己身邊的材料。

生1：重疊后，剪拼。

生2：數圓片。

生3：數方格。

“學習”不是簡單的信息積累，而是新舊知識、經驗的相互作用引發的認識結構的重組。有效的學習是學生的經驗體系在一定環境中由內而外的“生長”，是以學習者原有的知識經驗為基礎來實現知識的建構。

在認識面積概念時，學生通過手掌與數學書封面重疊大小時已經積累了面積比較的初步經驗，已經接受了“全等形等積”和“面積的可加性”的思想滲透，而在學習了“觀察法”和“重疊法”以后，學生又已經建構了面積比較的初步方法。教師在準確把握了學生的認知起點后，組織學生比較正方形和長方形的面積大小，此時學生發現原有的觀察法、測量法都不能解決問題，產生了認知沖突，此時教師適時提供豐富的材料（直尺、剪刀、透明方格紙、小圓片等），這是引導學生深入研究的無聲語言。教師沒有直接告知面積方法的比較，而是給學生充足的空間去獨立思考、展開探索、形成自己的想法。學生在所提供材料的幫助下，動手操作、自主探究，展現出有模有樣的科學研究過程。

在充分尊重兒童、倡導個性發展的環境下，學生充分交流展示自己的想法，而這幾種方法又展現了學生不同的思維水平：剪拼后重疊的方法是學生基于觀察、重疊方法的學習基礎上選擇的比較策略；數圓片的方法和數方格的方法是用統一的標準去測量面積大小，這是基于學生認識厘米所積累的用統一標準去度量的思維經驗；而最后一種用面積公式的孩子的思維方式相對固化，可能由父母告知或提前預習得到面積公式，但是對于面積概念的理解并不透徹。在這一系列活動中，學生逐步建構起比較面積大小的思考過程，通過系統體驗和學習，形成了良好的認知結構。

2.利用幾何直觀，讓兒童建模學習

幾何直觀憑借圖形的直觀性特點將抽象的數學語言與直觀的圖形語言有機地結合起來，使抽象思維同形象思維結合起來，充分展現問題的本質，突破數學理解上的難點。其實，幾何直觀是數形結合思想的更好體現。通過圖形的直觀性質來闡明數與數之間的聯系，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，實現代數問題與圖形之間的互相轉化、相互滲透，為兒童數學建模學習開辟了一條重要的途徑。

【案例】四年級《乘法分配律》

（1）出示老大的菜地圖。

①提問：兩塊地的面積和是多少？

②列綜合算式計算兩塊地的總面積。

③交流列分開算和合起來算兩種不同思路的算式。

④比較得數，建立等式：（6+2）×9=6×9+2×9

（2）研究老二菜地的總面積。

①會列綜合算式計算嗎？寫在作業紙上。

②學生匯報算式。（相機板書）

③追問：都是像這樣分開算的？為什么不合起來算了？

（3）研究老三菜地的總面積。

學生獨立列式。

問：這次為什么又能合起來算呢？建立等式：（8+3）×6=8×6+3×6

追問：孩子們，回憶一下剛才我們解題的過程，想一想，老大、老三菜地的總面積既可以分開算又可以合起來算，根本原因是什么？

師：哦，原來是有相同的邊，那在乘法算式中就是有相同的？（數）乘數

（4）類比展開，體驗感悟

①舉例驗證

②師：孩子們，觀察這兩道等式，你有什么發現？那像這樣的等式，你還能舉出一些嗎？請你在作業紙上寫一寫。

用乘法的意義解釋規律

師：剛才我們的小朋友是用計算的方法證明了兩邊的式子是相等的，想想我們前面學習的乘法知識，你能試著解釋一下嗎？

（5）揭示規律，理解意義

①談話：你能把這樣的規律用自己的方式表示出來嗎？

②學生嘗試表達，然后交流展示。（學生有的用文字表示，有的用圖形表示，有的用字母表示）

③小結：數學上我們一般用小寫字母表示（a+b）×c=a×c+b×c，這里的c可以表示算式中的哪些數？

像這樣，用兩個數的和乘第三個數，就等于這兩個數分別乘第三個數，再把它們的積相加。這就是我們今天研究的——乘法分配律。

運用乘法分配律進行簡便計算，歷來都是教學上一塊難啃的硬骨頭。我們課前進行了前測，發現了一些問題：第一，學生大多數能感知乘法分配律是什么，但為什么總是難以運用相對規范的數學語言進行表達和概括？第二，多數學生能夠根據乘法分配律的外形結構特征完成一定的填空、連線，并形成初步的認識，但真正運用時怎么就漏洞百出呢？其實，乘法分配律的學習和學生已經學過的運算律相比，表達形式復雜，有2種運算符號、3個數參與；原有知識不容易同化，學生已有的混合運算的經驗無法與新知建立聯系，不容易找準新知學習的切入點。

鑒于這樣的認識，我們進行了多次的磨課，從“數學建模”的視角對這一傳統的教學內容進行新的詮釋與表達：本課以“有一條邊相等的兩個長方形面積之和”的素材為載體，讓學生經歷從具體問題到類比推理，再到建立模型、解釋模型的過程，充分感受模型思想。在其后的豐富拓展中不斷賦予模型“生長”的力量，讓乘法分配律的模型既根植于圖形，又不拘泥于圖形，使得用字母表達的乘法分配律有了“豐腴”之美。

3.利用動手操作，讓兒童建模學習

兒童空間建模學習的形成是經歷“具體——半具體、半抽象——抽象”的階段，而在這三個階段的過渡中，需要教師在教學中提供“梯子”。操作就是學生建模學習中的“梯子”，其對學生積累構建直觀模型的經驗具有不可替代的作用。

【案例】《認識長正方形》

師：長方形對邊相等嗎？四個角都是直角嗎？還需要驗證我們的猜想。

同桌合作驗證后交流：你是用什么方法驗證的？得出了什么結論？

隨機處理以下環節：

a.長方形邊的特征

（1）量：你量出的結果分別是多少？說明什么？（指名多人匯報）

小結：盡管大家手中的長方形大小不同，但是通過測量我們發現每個長方形的對邊都相等。

（2）折：除了用量一量來驗證長方形對邊相等的特征，還有其他的方法嗎？

學生介紹折的方法：

小結：通過量一量，折一折，我們驗證了長方形對邊相等這個特征。

b.角的特征

方法1：用直角一個一個去比一比，發現了長方形有四個角，而且都是直角。

方法2：先把四個角重疊在一起，再用直角直接比一下就可以了！

師：你能想辦法驗證正方形的四條邊都相等嗎？

生1：我折的方法和長方形一樣，先把正方形上下對折，再左右對折，發現它上下邊相等，左右邊也相等。所以，正方形的四條邊相等。

師：這只能說明正方形對邊相等，怎樣折才能驗證這兩條相鄰的邊也相等？

生2：再把它斜著對折，上邊和左邊重合，所以上邊=左邊，下邊和右邊重合，所以下邊=右邊（如下圖）這樣一折，我們就能得出鄰邊也相等了，正方形的四條邊都相等。

生3：我還有更簡單的折法。把這張長方形紙對折兩次，四條邊重合在一起，說明四條邊都相等。

上述教學中學生經歷了動手操作驗證“特征”的全過程，不僅收獲了關于長方形特征的相關知識，建立了一個問題解決的數學模型，操作前通過討論驗證的方法，提高操作的有效性，從而建立了問題解決的數學模型；交流時略有側重，重點探討“邊的特征”，首先是量，學生感悟到要通過大量的例證才能得出長方形對邊相等，這是一次不完全歸納的經歷，構建歸納的模型思想；把一個長方形對折，觀察到對邊重疊在一起，就能推理出長方形的對邊相等，為學生積累了一定的推理經驗。在驗證正方形四條邊相等時，絕大多數同學都會運用驗證長方形邊特征的原有經驗——沿著兩條邊對折，此時教師洞悉了探究中學生的難點，啟發學生思考：怎樣折才能驗證鄰邊相等？進而研究出最為簡便的方法：斜著對折兩次，將四條邊全部重合在一起。在探究的過程中，教師著力幫助學生提升原有的數學活動經驗，將它納入到新的認知結構中，借助幾何直觀，通過“同化”和“順應”，架構了探究經驗與數形結合思想的快速通道。數學模型的建立不是最終目的，而讓學生形成一種模型意識，建立思維方法，反過來再去解決問題，讓學生理解并形成數學的思維、促進數學的理解、促進自我的數學建構，這種數學化的思想才是根本的目的。

4.利用知識結構網絡，讓兒童建模學習

學生所學的數學知識看上去是零散的，但其實知識之間都是由結構脈絡的，是有千絲萬縷的聯系的，所以教師的教學一定不能只立足于學生每個小知識點的掌握，要有大空間意識，要將知識串聯在一起，讓兒童真正形成建模思想。

【案例】五上平面圖形的復習

首先，要求學生回憶和歸納各個平面圖形的面積公式的推導過程及聯系。讓學生通過自己的努力構建知識網絡圖。

通過教師引導，學生形成合理、完善的知識網絡圖：

在知識整理過程中，教師通過數學知識的整理把握，重視對隱形的數學建模的感悟與體驗，使學生能觸類旁通，舉一反三，并學會將知識遷移。在這個環節中，學生明白長方形是最基本的平面圖形，其他平面圖形面積公式都可以通過剪拼、轉化成長方形進行推導，而提醒的面積推導公式更是有很多種。

學生回憶面積公式推導過程，在尋找知識之間聯系的過程中逐漸形成知識網絡，不僅實現了對舊知的重組和構建，同時還滲透了“轉化”的數學思想，從而使學生進一步認識了圖形的變化規律，對平面圖形面積的計算這一模型有了深刻的認識。

作為小學來講，數學建模并非遙不可及，也并非揠苗助長。從數學學科的價值和本質入手，對數學建模進行深度的思考和剖析，引導學生建構數學模型，提高學生發現數學、“創造”數學、運用數學的能力和素養，是一種方法，是一種思想，更是一種觀念，一種意識！

（王翠、帥莉，南京市力學小學，210013）

責任編輯：顏瑩