思則清辯則明
———《兩位數乘一位數》的備課思考及實踐

劉小華

對于學習“數的運算”領域內容中“運算技能”的預期目標，《課標解讀》中強調“應當重視學生是否理解了運算的道理，是否能準確地得出運算的結果，而不是單純地看運算的速度”。所謂運算的道理，意即算理，是指計算過程中每一個步驟在數學上的依據及道理。下面筆者以《兩位數乘一位數》為例，結合前測所發現的問題，談談備課思考及實踐嘗試。

一、前測所發現的問題

首先分析教材，小學階段的“筆算乘法”循序漸進安排為：表內乘法——兩位數乘一位數（口算、不進位筆算、進位筆算）——兩位數乘兩位數——三位數乘兩位數。在學習本課之前，學生已經學會整十、整百、整千數以及兩位數乘一位數的口算及其應用。本課是筆算乘法的起始課，重在讓學生學會乘法豎式的書寫格式，理解每一步計算的道理。由此筆者思考：在計算教學中我們該如何直指問題本質，讓學生明白道理所在？讓學習真正貼近道理、貼近學生。

我們知道，講道理應有的放矢，不僅要關注抽象的學生和道理的邏輯起點，更要關注具體的學生和道理的現實起點，前測是了解學情的重要方式之一。

基于此，筆者做了大量的前測。

1.前測內容：

2.前測對象：

（1）未學過多位數乘一位數的口算乘法的學生；（2）已經預學過多位數乘一位數的口算乘法的學生。

3.前測數據整理：

（1）未學過多位數乘一位數的口算乘法的學生：

正確（74%）　　錯誤（26% ）錯法一（10%）其它（16%）較多種，不具代表性，有的甚至直接說不會。

（2）已經預學過多位數乘一位數的口算乘法的學生：

正確（ 90%）　錯誤（10%）想法一（56%）想法三（4%）　答案一　答案二13+13=26（2個13）3×2=6 10×2=20 6+20=26想法二（30%）他人所教，但未教道理。較多種，不具代表性。

二、由前測發現的問題引發的幾點思考及對策

前測反饋情況可以看出筆算兩位數乘一位數對大部分學生而言是行易知難，對于豎式書寫的道理學生模糊不清。由此筆者思考：

1.如何對待學生的“正確”答案。學生似乎更多的是知其然不知其所以然。

2.如何定位教材中重點推介的豎式書寫方式。

前測中沒有學生采用這種書寫方式，但它展示的是兩位數乘一位數豎式計算的思路。

3.學生大部分已經理解算式的意義，那么還有沒有必要再按照傳統思路創設問題情境。

深入思考之后，道理的生長處已然凸顯，思路開始漸漸清晰：

錯在哪？為什么錯？——抓住認知節點，從問題的模糊、糾結處切入

【嘗試】1.展示前測具代表性答案以及書中出現的算式：

2.同桌觀察交流，一致認為淤錯誤，盂正確，對于則意見不一。

3.教師引導討論：算式淤錯在哪？為什么錯？

生：先算3伊2=6，十位上的1也要乘2，但是它沒有乘。

師：過去咱們在做加法豎式的時候，比如13+2，不都是先算3+2=5，再把1抄下來。今天乘法咱們先算3伊2，再把1抄下來，怎么就是錯的呢?

生：13伊2是2個13相加，13+13=26。

【思考】學生對這道看似“簡單”的算式存在著明顯的認知模糊，即雖能正確寫出答案26，卻說不出豎式“1為什么也要乘2”的道理。許多學生是基于口算得出的結果，尚無法明了橫式和豎式之間的關系，對于豎式書寫的道理只是知其然，不知其所以然，并沒有抓住問題的本質和知識的核心。

再看豎式②，在前測中沒有學生出現過，而在備課中對于課堂上何時呈現，怎樣呈現，也頗讓人糾結。

教學中教師開門見山，直接以反饋學生課前完成的部分答案的形式出現。學生看到答案首先有共鳴，迫不及待地喊出：①是錯的。而對于②則意見不一，一切都在意料之中，隨之教師一句：“①錯在哪？為什么錯？”猶如驚問，激起思維火花，接著，通過思考、質疑、追問、辨析，學生的思維一下子聚焦到問題的本質上：為什么十位上的“1”也要乘2？

點子圖幫我們講道理！——巧用實物，厘清算理與算法的關系

【嘗試】師：13伊2表示2個13，那么在生活當中咱們還碰到哪些問題需要用13伊2來解決？

師：這個圓片能代表大家剛才所說的1個蘋果嗎？能代表1元錢嗎?誰能用這些圓片擺出2個13？

教師引導將學生所擺的兩個13分成10和3。

師：咱們得先算什么？二三得六在哪？把它圈出來。

師：6在豎式中要寫在什么地方?為什么？

師：算完了嗎？1伊2中的1表示？2表示？1個十、2個十在哪呢？

師：現在我們能知道一共有多少個蘋果嗎？

生：20+6=26。

【思考】通過在實物磁扣（即物化的點子）中擺一擺、圈一圈找出所計算的每一步，感受先算2個3后還要再算2個10，經歷計算過程的同時也深刻理解了豎式計算的道理。

點子圖是理解乘法算理的有效模型，在人教版教材中，點子圖在《兩位數乘兩位數》中才首次出現。筆者將其提前介入，是因為本課是學生首次接觸乘法豎式，有必要在第一時間用物化的點子來溝通生活原型與算式的聯系，以幫助學生理解算理、掌握算法。同時滲透數形結合的意識與方法，為后續進一步學習豎式計算打下良好的基礎。

有道理嗎？誰來講講？——方法未必要馬上優化

【嘗試】師：現在再來看于號豎式，它有沒有道理呢？

師：關于豎式盂，有話說嗎？

生：豎式盂其實道理和豎式于是一樣的。

生：（點頭同意）這樣更簡單！

師：簡單在哪？具體說說？

生：但是第二種道理看著更明白，做起來更不會錯。

師：是的，兩種方法其實一樣，我們用哪一種都可以，關鍵是咱們能夠明白這個道理。

【思考】張奠宙教授曾說：“在計算教學課堂中，我們是否應該更加關注不會算或者算不準的人？”筆者深以為然，應該說，豎式于是筆算的一個原始模型，甚至相比豎式③，它實際上更是給那些“不會算”和“算不對”的人看的，因為它更準確地展現了思考的過程和計算的步驟，也就是本節課的“理”之所在。因此，我們有必要對豎式于濃墨重彩地給予梳理，真正落實好本節起始課的作用。

回看教學過程，學生在通過直觀操作和抽象辨析之后，感受到了豎式于的道理，原來模糊糾結的現在變得清晰，6和20各自表示的意義也透徹了，并通過回顧和比較中結合講理，溝通了點子圖、橫式、豎式之間的聯系。

當比較豎式于和豎式③的異同點之后，筆者也多次思考，是否有必要馬上讓學生感受豎式③的優越性？因為從豎式于到③的思維過程，并不是一蹴而就的，“0”的省略是從繁到簡的一個變化過程，它是對豎式③為什么“2”要寫在十位上的一種解釋，確切地說是給之前不會或者算錯的學生的一種認知的過渡踏板，當這些學生對于道理逐漸內化之后，技能達到一定的熟練程度時，他們會自然而然地優化，因為追尋簡約是人的天性，所以，不必急于立刻就學會簡便方法。