基于球面保角映射理論的表面特征標記點匹配法

湯春明，牛百鈴，李光旭

（天津工業大學電子與信息工程學院，天津　300387）

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基于球面保角映射理論的表面特征標記點匹配法

湯春明，牛百鈴，李光旭

（天津工業大學電子與信息工程學院，天津300387）

摘要：提出一種基于曲面參數化理論的半自動匹配方法.首先，選擇任一樣本數據作為參照模型，根據其表面幾何特征手動標定特征標記點；其次，利用保角映射方法將全部樣本數據映射到同一球形域，根據球面坐標對應關系實現在其他樣本表面上特征標記點的自動標定；最后，利用迭代逼近點方法歸一化特征標記點在空間的位置.實驗考察了統計形狀模型的通用性原則和專一性原則，并且比較了球面保角映射中不同約束條件對獲得模型質量的影響.實驗結果表明：利用球面保角映射3個基準點約束所得模型的專一性指標明顯好于零質心約束方法，并且實驗所需時間減少近50%.

關鍵詞：球面保角映射理論；特征標記點匹配；統計形狀模型構建；活動形狀模型；圖像分割

model；image segmentation

由于將對象形狀信息作為先驗知識，統計形狀模型（statistical shape model，SSM）已廣泛應用于計算機醫學輔助診斷（computer aided diagnosis，CAD）領域.常見的統計形狀模型包括點分布模型（point distribution module，PDM）[1]和概率地圖集PA[2].其中，點分布模型由于表達簡潔、魯棒性強、豐富的顯示算法支持而常被用于醫學圖像分割、結構分析、形狀再現等.

點分布模型是一種用來描述目標輪廓的可變形數學模型.首先在樣本圖像的目標輪廓上選取特征標記點構成訓練集，然后利用主成份分析法對其進行統計分析，得到點分布統計模型.該模型主要包括2部分：第1部分是特征點組成的平均值，即平均輪廓；第2部分是特征點的形變方式，即特征點相對于平均輪廓的整體變化趨勢.形變范圍通過模型參數的變化范圍加以限制，避免任意變形的可能性.

在不同的樣本圖像的目標輪廓之間選擇對應的，具有相同局部幾何特征的特征標記點是關系點分布模型質量的關鍵要素之一[3].這種對應點的匹配，最簡單的方法是在每個例子中選擇一個起點，以同等的距離放置并且使每個邊界或表面的點數目相等.該方法在文獻[4]中提出，然而，這種等距離的放置方法并不能給出一個合理的分組對應，在訓練集中等效點的相對位置可能有很大的不同.用這些點訓練得到的統計形狀模型質量較差.另一種方法是提取表面的某些幾何特性，如曲率或脊線形狀[5-6].這些功能之間的對應關系可以用一個通用的數值優化算法建立[7].但是這些參考局部特征方法不能達到全局最優.另一類是考慮全局優化策略，如球面諧波（SPHARM）映射[8]，重參數化方法[5，9].本文以臟器圖像作為研究對象，使用重參數化方法，引入球面保角映射作為零虧格表面模型的映射域，并比較了在球面保角映射中的2個約束條件對獲得模型質量的影響.

1　訓練樣本匹配

1.1匹配過程

本文方法為半自動方法.首先選擇一個表面樣本作為參照模型，在其表面手動標定特征標記點.然后將所有表面樣本映射到同一球面域中，根據球面坐標位置關系，自動在其他表面上找出特征標記點位置，如圖1所示.“映射（mapping）”是指三維肺部表面特征標記點映射到球形參數域，“放置（placing）”表示圖1中特征標記點放置的步驟順序.首先計算球面形映射，把三維肺部表面特征標記點映射到單位球形結構域中.假設形狀的旋轉變換可以獨立完成.因此，根據曲面曲率的參數域分布，可以匹配設置參考模型的所有訓練集.同時，參考映射到球形參數域特征標記點的模型，完成三維肺部訓練集的對應關系.

圖1　特征標志點匹配過程Fig.1 Outline of landmarks matching

1.2球面保角映射

許多臟器的形狀是屬零拓撲結構，即封閉無孔的表面或自相交.由于具有相同的拓撲結構，可以把一個封閉的零虧格表面調和映射到單位球面[10].如圖2所示的三角網格曲面，假設K為簡單復合體，u、v為頂點，euv為跨越u、v的邊緣線.在三維空間表面的位置矢量r（u，v）通常被表示為

使用f來表示K上定義的分段線性函數.能量函數被定義為

圖2　三角網表面中相鄰2個單元Fig.2 Triangular mesh surface adjacent two units

字符串常量kuv描述了表面和參數域之間的變化因素.改變它可以定義不同段的能量.如果kuv= 1，該段能量稱為Tuette能量.字符串常量定義的諧波能量計算為

式中：αij和βij分別為相對于原三角曲面邊緣的2個相對角度.

文獻中有許多不同的方法來處理封閉零虧格表面，如諧波能量最小化、球面參數化和拉普拉斯等[11-12].球形映射是從一個封閉的零規格表面映射到單位球面的調和映射. Gu等[13]提出了一個快速下降算法使得到的諧波能量最小化和采用零質量中心約束指定映射結果.然而，通過使用快速下降法的共形映射的結構不是唯一的，會形成莫比烏斯帶群.莫比烏斯帶變換不同的約束將導致不同的映射結果.本文比較分別采用零質心約束和3個基準點約束的配準結果.

1.3球面保角映射到約束條件

本文將把三維肺部表面特征標記點映射到二維球面域.由于映射不是唯一的，球形映射有6個自由度并且所有球形的映射形式構成了莫比烏斯變換，稱為莫比烏斯映射.它在復平面C中定義為

莫比烏斯變換是保形變換.確保共形映射是唯一的及算法的收斂性，需要添加額外的約束.在文獻[13]中，Gu等使球形映射圖的質心為原點：

式中：M2為網格M1的圖；δM1為M1的區域元素.此約束確定訓練樣本是唯一的旋轉，稱此為零質心約束.

同時，另一種約束形狀變化的方法是在表面固定3個基準點.給出3個不同的點Z1，Z2，Z3∈C，則莫比烏斯變換分別映射到（0，1，∞）

為了保證圖形的對稱性，選擇P0、Pinit作為中心軸和表面的交叉點，Z1、Z3分別為它們的映射點. Z2是P1的復數坐標點，P1被選擇為x軸和表面的交點，顯示在圖3（a）中.點P0，P1，Pinit分別映射到南極，CIO是北極.該算法如下：

輸入：網格M1，能量誤差閾值δE，在頂點上的3個基準點P0，P1，Pinit；輸出：3個點P0，P1，Pinit分別被映射到南極，CIO和北極的球面共性圖M2.

（a）計算高斯圖.

（b）最小化Tuette能量得到Tuette映射.

（c）最小化共性能量得到球面共性映射.

（d）由公式（16）計算球面共形圖的立體投影.

（e）Z1，Z2，Z3分別是P0，P1，Pinit的投影，計算全部頂點的高斯變換.

比較這2種約束下的匹配結果.當繪制球面上的經度線和緯度線時，可以在原始表面上進一步匹配，如圖3（a）和（c）采用零質量中心約束的肺部，圖3（b）和（d）是采用3個基準點約束的肺部.

圖3　莫比烏斯變換下不同的約束條件相同的肺部樣本映射圖Fig.3 Mobius transformation under same constraints of different lung sample map

1.4特征標記點的配準

圖像配準實際就是通過分析待配準圖像中存在的幾何物體的形狀，選擇其中一種最合適的空間變換，使2幅圖像中相對應部位可以一一對應起來[14].所以說，圖像配準最基本的問題就是如何找到一種圖像變換方法，這是一個尋找最優解的問題.

在前面的小節中，保角映射保證了原有的表面點的相對位置.找到坐標點的參考模型，首先，用參考模型映射的相同方式將訓練樣本映射到球形域，然后比較參考，根據球面坐標（θ，準）獲得每一個點集相應的位置.然而，相應的位置通常不位于頂點，所以必須在物體表面周圍的參考標記的位置找到近似的頂點.一種有序的頂點智能搜索方法是近鄰搜索（NNS），這個搜索可以用樹的特性迅速消除大部分的搜索空間，從而有效地進行.

1.5訓練模型一致化

獲得每個樣本的特征標記點后，需要將這些樣本的位置、大小在三維空間上進行統一.本文采用迭代逼近點法（Iterative Closest Point，ICP）實現.假設用表示空間第1個點集，第2個點集的對齊匹配轉換為使下式的目標函數最小.

ICP算法本質上是基于最佳匹配方法的最小二乘法，通過重復點的集合，以計算出最佳的剛性變換過程，直到最后達到最優收斂準則. ICP算法主要是找到目標點集與參考點之間的旋轉R和平移Τ變換，使得兩匹配數據滿足某種程度上的最優匹配.假設目標點集P的坐標及參考點集Q的坐標為，在第k次迭代中計算與點集P相對應的坐標為{QkQk∈R，i = 1，2，…，N}，計算P與Qk之間的變換矩陣并對原變換進行更新，直到數據間平均距離小于給定閾值子，即滿足式（7）最小.步驟如下：

（1）在目標點集P中取點集Pki∈Pk；

（2）在參考點集Q中取對應點集Qki∈Qk，并計算使

（3）求得旋轉矩陣Rk與平移向量Tk，使得

（4）計算

（5）如果dk+1大于或等于給定的子則返回到（2），直到dk + 1<子或迭代次數大于預設的最大迭代次數為止.

對于ICP每一次的迭代，最小化對應點的均方差均使得點集Pki離Qki更近，而Qki則是Pki在Qi的最近點.因此，每次的迭代會使得Pi離Qi更近.

2　實驗部分

2.1實驗數據

本研究采用人體肺部的CT圖像作為研究對象.除生理器官本身的差異以外，受呼吸作用影響肺部的形變量較大.本研究采用的86例肺部圖像數據由The Lung Image Database Consortium（LIDC）提供.實驗比較了在物體表面均勻分布特征標記點方法和提案方法在模型質量上的差異.實驗過程及結果如圖4所示.

圖4　實驗過程及結果Fig.4 Experimental procedure and results

2.2評價指標

模型的通用性能力用來檢測所生成的形狀模型對合理的新形狀實例表達的能力，即模型能夠描述任一對象目標實例，不僅限于那些在訓練集中出現的.它通常用leave-one-out算法執行.首先在N例訓練中選出N-1例用于訓練統計形狀模型.然后用所得到的統計模型去和剩余一例進行匹配.此過程重復執行，其匹配誤差的平均值作為此統計形狀模型形狀表達能力的評價指標.通用性能力被定義為一個關于形狀特征矢量M的方程.例如，用2種方法獲得的統計形狀模型A和B，對于大多數的形狀變量M有GA（M）≤GB（M），則表示A模型優于B模型.

模型的專一性能力是用來估計產生形狀有效性的能力，即利用模型描述的形狀皆為對象物體的合法實例.首先，利用統計形狀模型產生一系列形狀實例.然后，將產生的形狀實例與訓練集中的訓練樣本進行比較.則模型的專一性定義為

式中：xj代表訓練樣本產生的形狀實例.同樣，若SA（M）≤SB（M）則說明模型A更具專一性.關于模型通用性能力和專一性能力的實現方法參見文獻[15].

2.3實驗結果與分析

本文首先對86個肺部模型的通用性能力和專一性能力進行評價，結果如圖5所示.由圖5可知，通用性模型能夠描述任意的目標實例，而不僅僅是那些訓練集中出現的.專一性模型僅僅能夠描繪有效的目標實例，有簡潔性.

圖5　模型質量的評價Fig.5 Quality evaluation model

再對20個肺部模型的通用性能力和專一性能力進行衡量，結果如圖6所示.

圖6的比較結果表明：雖然在模型通用性上，利用球面保角映射零質心約束得到的模型并沒有明顯的優越性，但是，利用球面保角映射3個基準點約束所得模型的專一性指標明顯好于零質心約束方法，并且實驗所需時間減少近50%.一般來說，特征標記點的匹配程度越高，特征點分布越“集中”，所獲得的統計形狀模型有效變化范圍越小，即產生的樣本實例越“緊湊”.因此，由于采用3個基準點約束方法獲得的特征點匹配程度高于零質心約束方法，“模型專一性能力”也隨之得到增強.

在計算效率上3個基準點約束方法也具有很好的可推廣性.實踐中，利用通用計算機（CPU：Xeon E5-1607 v2，內存：8 G）完成一例表面數據配準的執行時間通常少于30 min.

圖6　模型質量的比較結果Fig.6 Comparison of results of model quality

3　結語

自動進行表面模型的特征標記點匹配是建立統計形狀模型的第一步.本文提出了利用表面變量化方式和球面保角映射來實現三維三角網表面的特征標記點匹配問題.本研究利用表面數據的局部平均曲率和形狀模型的緊致性特性作為對應特征的選取原則.由于3個基準點約束方法綜合考慮了形狀的局部特性和整體特性，優化過程具有一定的穩定性來抑制優化算法的局部極小問題.

此外，標記點的數目會影響模型表達能力，本文用1 069個標記點來表示一個肺部圖形，如果采樣點數目進一步增加，模型會有表達能力上的提高，后續工作是增加標記點個數，提高模型的表達能力.

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Signature point matching method based on spherical conformal mapping theory

TANG Chun-ming，NIU Bai-ling，LI Guang-xu
（School of Electronics and Information Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

Abstract：A semi-automatic matching method based on surface parameterization theory is presented. Firstly，one of surface sample data as a reference model is selected. According to the geometric characteristics of surface，some landmark points are choosed manually. Then，all the sample data are mapped to the same sphere by the conformal mapping method. The landmark points on the other surface samples are completed automatically according to the positions corresponding to their spherical coordinates. Finally，to normalize the positions of landmarks in threedimensional space，the Iterative Closed Points method is utilized. The experiments measure the general principle and specificity principle of the model. Moreover，the influence on the point distribution model due to the different constraints of spherical conformal mapping method is compared. The results show that the specificity of the model based on spherical confomcal mapping theory is much letter than that of zero centroid constraint method，the time for the experiment is decreased by 50%.

Key words：spherical conformal mapping theory；signature point matching；statistical shape model building；active shape

通信作者：湯春明（1971—），女，教授，主要研究方向為圖像處理與模式識別. E-mail：tangchunminga@hotmail.com

收稿日期：2015-09-01基金項目：天津市應用基礎與前沿技術研究計劃項目（14JCYBJC42300）

DOI：10.3969/j.issn.1671-024x.2016.01.011

中圖分類號：TP311

文獻標志碼：A

文章編號：1671－024X（2016）01－0054－05