基于分數階PID及內模原理的長行程直線電機控制系統設計

陳興林，陳震宇

（哈爾濱工業大學控制科學與工程系，哈爾濱　150001）

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基于分數階PID及內模原理的長行程直線電機控制系統設計

陳興林，陳震宇

（哈爾濱工業大學控制科學與工程系，哈爾濱150001）

摘要：為了對長行程直線電機進行精確伺服控制，提出了一種結合分數階PID及內?？刂圃淼目刂葡到y.以內模控制器作為電流環控制器、分數階PID作為位置環控制器，在簡化了控制器設計、降低調試難度的同時，保證了跟蹤精度.最后，對長行程直線電機驅動的光刻機掩模臺宏動臺進行了仿真驗證，驗證了所提出的控制策略的有效性.

關鍵詞：分數階PID控制；內?？刂疲豢刂葡到y設計；直線電機；光刻機

長行程直線電機由于其驅動能力強、工作行程大的特點而被廣泛應用于許多領域當中，其控制策略的研究也成為了一個研究熱點[1-3].作為生產制造集成電路的最主要設備，光刻機是光、機、電一體化的尖端精密運動平臺的代表，其中光刻機掩模臺宏動部分在直線電機的驅動下實現承載硅片大行程運動，其精度要求需要達到微米級.為了達到要求精度，通常使用三環控制策略以在保證穩定性的同時能夠提高系統的響應速度.但傳統三環PID控制方法的控制精度無法達到要求，并且當電流環引入PID控制器后會提高電流環閉環等效模型階次，從而造成速度環與位置環控制器參數設計困難的問題.

為了在降低控制系統設計難度的同時提高控制精度，本文提出了一種以內?？刂破髯鳛殡娏鳝h控制器、分數階PID控制器作為位置環控制器的控制策略，從而降低電流環閉環等效模型階次、簡化各環控制器設計；同時分數階PID控制器的引入能夠大幅度提高系統精度、提高控制系統性能.

1　控制方法

1.1分數階PID

分數階PID控制最早在1999年由Podlubny教授提出，他在著作《Fractional Differential Equations》中提出分數階PIλDμ控制的基本結構[4].較普通PID控制而言，該控制器多了2個可調節參數，即積分階次以及微分階次滋.也因此，該系統可通過擴大參數整定范圍獲得更好的性能.另外，Podlubny教授還在著作中證明了其較傳統PID而言的強魯棒性[5-6].自此，分數階PIλDμ得到廣泛發展[7]，大量研究表明該理論比傳統PID控制更能實現理想控制效果.

分數階PIλDμ控制器傳遞函數為：

式中：KP、KI、KD分別為比例、積分、微分系數；姿>0、滋> 0分別為積分、微分階次.

由于積分微分存在分數階次，在仿真和實際運用中都不能直接使用固有模塊，因此需要對分數階因子進行近似公式推導計算，即用整數階算子近似代替分數階.本文選用最經典的Oustaloup算法逼近分數階算子，在頻率段內，可高精度實現分數階微積分[8].

設工作頻段為（ωb，ωh），在該頻段內對分數階算子進行近似計算.則Oustaloup遞推濾波器傳函為：

設r為分數階算子的階次，其中r<0時為積分階次，r>0時為微分階次.由上式，2N+1為濾波器階次.則可表述成：

根據文獻[8]中提出的改進Oustaloup算法，分數階算子可以用式（5）近似：

b、d分別為大于零的常數.將上式左側變形得到：

對上式右側第二項進行二項式展開得到：

省略上式中展開式的二次項及更高項，得到：

將s指數項化簡式代入上式，得到分數階算子逼近公式為：

對于上式中，s的指數項可以近似化簡為：

根據經驗公式，取b=10，d=9，ω′k和ωk分別取如下值：

1.2內?？刂?/p>

內?？刂芠9]作為一種新的控制策略，它是基于過程數學模型進行設計的，其原理類似于Smith預估器[10].相比于傳統的控制器，如PID控制器，內?？刂凭哂性O計簡單[11]、能夠抑制系統中擾動及不確定性[12-13]、設計后系統閉環模型階次較低等特點.在直線電機工作中，其所受到的外部擾動應該在電流環中進行抑制，以避免其作用到外環當中；同時在直線電機系統建模過程中，通常將其簡化為一個二階系統以便于設計控制器，但這同時不可避免地引入了模型不確定性.基于上述原因，在直線電機驅動系統中，電流環控制器將采用內?？刂七M行設計.

圖1為典型的內?？刂葡碌南到y結構圖.圖1中：C（s）為內?？刂破鳎籊（s）為實際被控對象；M（s）為被控對象的內部模型；r、y、yf、u和d分別為系統的輸入信號、輸出信號、反饋信號、控制量和外部擾動信號.

圖1　內?？刂平Y構Fig.1 IMC structure

通過對圖1中的結構進行化簡可以得到系統給的閉環響應及反饋信號分別為：

式中：A（s）= 1 + C（s）[G（s）- M（s）].從式（15）中可以發現，在模型精確、外部無擾動的情況下，反饋信號yf為零，此時系統變為開環形式.而在實際情況下，模型不確定性及外部擾動是一定存在的，這樣反饋信號yf就對模型不確定性及外部擾動做出了反應，從而使系統具有閉環控制結構.

內?？刂圃韺嶋H上就是一種狀態觀測器的思想，根據這一思想，內?？刂葡到y的設計過程可以分為以下兩個部分[14].

步驟1：過程模型分解

式中：M+（s）為模型中包含純滯后和不穩定零點的部分；M-（s）為模型中的最小相位部分.

步驟2：內?？刂破髟O計

內?？刂破魍ㄟ^M-（s）的逆上增加濾波器，來實現系統給的穩定性和魯棒性.給出內?？刂破餍问綖椋?/p>

式（4）中：f（s）是一個低通濾波器，引入f（s）是為了使得控制器時有理的，其通常被設計為：

式中：r為濾波器階數，其應選擇足夠大以保證C（s）是正則的、物理上可實現的；α為濾波器的時間常數，它是整個控制系統中唯一的設計參數，使得控制器設計變得非常簡單易于調試.

2　運動平臺建模

根據直線電機動態特性[15]，若u為電機輸入電壓，R為等效總電阻，L為回路總電感，i為回路電流，e為反電勢，m為負載質量，Ke為反電動勢系數，Kt為推力系數，F為電機出力，則動態方程如下：

由于在實際過程中，電機采用專用驅動器，該驅動器采用SVPWM控制方式，即id≡0的控制策略，故對電機模型簡化處理后對上式進行拉普拉斯變換，得出其簡化模型傳遞函數為：

圖2　直線電機簡化模型Fig.2 Linear motor simplified model

3　控制系統設計

為了驗證所提出控制策略的有效性，本文以光刻機掩模臺宏動臺作為被控對象，對其控制系統進行設計.在設計之前首先給出掩模臺宏動臺所用直線電機的參數，如表1所示.

表1　直線電機參數Tab.1 Parameters of linear motor

同時，宏動系統的總質量mz= 40 kg，由于宏動臺由4個電機共同驅動，故單電機負載質量m = 10 kg.

3.1電流環設計

由于內模控制具有結構直觀、參數整定容易和在線調整方便等優點，本文采用內模原理對系統電流環控制器進行設計.結合第2節建立的直線電機模型與第1節介紹的內?？刂圃O計方法，可以得到系統電流環過程模型和控制器模型分別為：

進一步可得到系統電流環閉環等效模型為Gt=.作為一個慣性環節，電流環模型相比于傳統的PID控制器所構成的電流環模型更加簡單，利于后面對速度環、位置環的設計.

為了保證電流環在快速性、抑擾性方面的性能，根據經驗系統的電流環帶寬通常設計在1 000 Hz左右.由電流環閉環等效模型，可以得到其帶寬近似為1/（2απ），從而可以計算出控制器中時間常數近似為0.000 16.電流環閉環伯德圖如圖3所示.

圖3　電流環伯德圖Fig.3 Bode diagram of current-loop

3.2速度環設計

通過對電流環的設計，可以近似得到速度環的開環被控對象模型為：

這表明了系統速度環被控對象是一個I型系統模型.為了獲得高增益的同時避免帶寬過高，選擇PI控制器作為速度環控制器；并且由于電流環帶寬遠高于速度環，因此1/（αs + 1）部分的轉折頻率點遠大于速度環剪切頻率.因此，速度環開環系統將變為典型的II型系統：

式中：PVC為速度環開環模型；Kp、Ki分別為PI控制器的比例增益系數及積分增益系數.速度環開環系統幅頻特性示意圖如圖4所示.

圖4　速度環幅頻特性示意圖Fig.4 Amplitude-frequency characteristic diagram of velocity-loop

圖4中：ω3為系統轉折頻率；ω5為-40 dB斜率線與零分貝線相交頻率；ω4為系統剪切頻率，其關系如式（24）所示：

在II型系統設計中，為了綜合穩定性以及系統的等效噪聲帶寬，無量綱增益ω4/ω3常被設為2.根據式（24）、（25）可以得到要求：ω3≥573.57 rad/s.這里選定ω3= 600 rad/s，同時通過對（23）式、（24）式求解推導出式（26）：

為了跟蹤所給出的正弦信號0.002 sin（10仔t）并使其跟蹤誤差不超過3滋m，速度環輸入信號可以設計為0.02仔cos（10仔t），其跟蹤誤差不超過（30仔滋m/s）.并且由于速度環開環模型是一個II型系統，其跟蹤誤差可以近似為：

將各項參數代入（26）可以得到Kp= 129.1，Ki= 77 419.4.通過仿真可以得到速度環開環頻率特性，如圖5所示.

由圖5可見，系統剪切頻率約為206 Hz、相角裕度53.4°，滿足設計要求.

跟蹤信號0.02仔cos（10仔t）的穩態跟蹤誤差如圖6所示.

通過仿真結果可以得到，所設計的控制器滿足設計要求，其響應時間為4.2 ms，穩態誤差不超過±86.2 滋m/s的誤差帶.

圖5　速度環開環頻率特性Fig.5 Open-loop frequency characteristic of velocity-loop

圖6　速度環穩態跟蹤誤差Fig.6 Steady-state tracking error of velocity-loop

3.3位置環設計

為了提高系統控制精度、減小跟蹤誤差，在外環控制器上選擇分數階PID作為位置環控制器.分數階PID相比于傳統PID控制器，其增加了2個階次參數使得控制器性能得以進一步提升，同時提高了系統的穩定裕度.

由上一節中所設計的速度環，可以得到位置環被控對象模型為：

通過之前的設計可得，分母上的三階環節的轉折頻率遠高于位置環工作頻率，所以這個環節可以忽略.這里采用分數階PI控制器對位置環進行控制，得到位置環的開環模型為：

式中：P為分數階PI控制器的比例參數；I為分數階PI控制器的積分參數；姿為分數階PI控制器的積分階次參數.通過式（11）的近似以及對其中相應控制參數的調試，得到一組較為合適的參數：r=-0.5，N=4，[ωl，ωh] = [0.000，110 000（Hz），b = 10，d = 9，P = 1 000，I = 15.通過Simulink仿真得到系統跟蹤信號0.002sin（10 πt）的位置跟蹤誤差曲線及穩態誤差曲線分別如圖7和圖8所示.其中所提出的三環控制策略還與一組調試出來的效果較好的傳統三環PID控制策略進行了對比，結果如圖7所示.

圖7　位置環跟蹤誤差Fig.7 Positioning tracking error

圖8　分數階PID方法位置環穩態跟蹤誤差Fig.8 Steady-state positioning tracking error by fractional order PID

由仿真結果可以得到，宏動系統位置跟蹤穩態誤差不超過±2.15滋m、調節時間為15 ms，而傳統三環PID控制策略跟蹤誤差在±20滋m左右，相比于傳統的三環PID控制策略，本文中所提出的控制策略跟蹤精度顯著提高，能夠滿足對于光刻機掩模臺宏動系統的設計要求.

4　結語

本文針對長行程直線電機控制系統提出以內?？刂谱鳛殡娏鳝h控制器、分數階PID作為位置環控制器的控制策略.在實際電機系統調試中，三環PID控制策略是工程人員最為常用的控制算法.但由于在光刻機等超精密系統上安裝了較多極易損壞且價格昂貴的精密光學設備，如：激光干涉儀鏡組等，故使其速度環及電流環參數調試受到諸多限制.而本文所提出

的以內模控制作為電流環控制器的方法，相比于傳統的三環PID控制策略，有效地降低了控制對象的階次，使得控制器設計變得更加簡便，各環參數更易于在工程實踐中進行調節.在長行程直線電機控制系統的最外環——位置環的設計中，本文采用分數階PID作為位置環控制算法，增加了2個可調的階次參數，彌補了電流環內模控制器可調參數少、系統靈活性低的缺點，可以有效提高控制系統的定位精度.在本文的第4節中，以光刻機掩模臺宏動系統為例，應用文中所提出的內模控制作為電流環控制器、分數階PID為位置環控制器的控制策略進行了設計，并且對其進行仿真.通過仿真驗證可以發現，相比于傳統的三環PID控制策略，本文所提出的控制策略其設計方法、調試過程更為簡單，并且跟蹤精度得到了顯著提升.

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Control system design of long-stroke linear motor based on fractional order PID and internal model control

CHEN Xing-lin，CHEN Zhen-yu
（Department of Control Science and Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

Abstract：In order to achieve the precision control of the long-stroke linear motor，a control strategy combining the fractional order PID control and internal model control is proposed. The internal model controller and the fractional order controller are used for current loop and position loop respectively. This strategy can make the control of the longstroke stage system accurately，simplify the design of controller and reduce difficulty of debugging，ensuring the tracking precision at the same time. Finally，a simulation on the long-stroke stage system of lithography machine is made and the proposed method is proved to be effective.

Key words：fractional order PID control；internal model control；control system design；linear motor；lithography machine

通信作者：陳興林（1963—），男，教授，主要研究方向為飛行器控制及仿真精密數字控制. E-mail：chenxl@hit.edu.cn

基金項目：國家科技重大專項基金資助項目（2009ZX02207）

收稿日期：2015-10-21

DOI：10.3969/j.issn.1671-024x.2016.01.012

中圖分類號：TP391

文獻標志碼：A

文章編號：1671－024X（2016）01－0059－06