“類比”一種思維方式的探討

劉春江

【摘 要】遇到問題該如何考慮，本文給出一種發現問題、思考問題的方法，稱作“類比”。他是一種思維方式，能提供思考問題的方法，使面對復雜的問題，通過簡化的思想，能從簡單問題，得到復雜問題的的思路、想法，進而得到解決問題的方法。但“類比”不是證明、推理，他可得到解決問題的思路、想法，提供思考問題的方向，但類似的問題可能沒有必然的聯系。

【關鍵詞】類比；思路；思維方式

在實際中，有時遇到問題不知該如何考慮；例在數學學習中，一些基本的概念題基本能做，且有一定的思路，但在綜合題時，面對一道題，不知道如何考慮，也就不知道該如何做題。為此我通過大量的數學題的學習與總結。發現一個新的方法，不妨叫做“類比”；這種新思路是據兩個（或兩類）對象之間在某些方面存在相似或相同的特點，從而推出它們在其它方面也可能存在相似或相同的特點一種推理方法，這就在解決一些復雜的問題時，先簡化與之類似的一些簡單問題，從而得到某些啟發，給出復雜問題的思路與想法，這對我們解決復雜問題提供了一套思考問題的方法與思路，我們把這種方法稱作“類比”。這種“類比”的推理方法，是一種“合情推理”的思考問題的方法，但它不是證明，它無法保證已知相同的屬性與推出的屬性之間有必然的聯系。但是它是獲得新思路、發現新問題的一種觀點、一種手段。它給我們許多啟示，幫助我們解決問題。為此我們把這種研究問題的思路、想法稱作“類比”法。

1 問題的提出

例：“韓信點兵”的故事，這故事是說，韓信閱兵時，讓一隊士兵5人一行排隊從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數于（1人）；再讓這隊士兵6人一行排隊從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數（5人）；再讓這隊士兵7人一行排隊從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數（4人），再讓這隊士兵11人一行排隊從他面前走過，他記下最后一行士兵的人數（10人）。然后韓信就憑這些數，可求得這隊士兵的總人數。這里面有什么秘密呢？

類似的我國古代數學名著《孫子算經》中，有“有物不知數”的題目：今有物不知其數，三三數之剩2，五五數之剩3，七七數之剩2，問物幾何？

在“有物不知數”的題目中，這個數是多少呢？ 答案是23，那么，這個23 是如何求得的呢？

為此我們從另一個問題入手，以便從中尋找規律，這個問題是：今有物不知其數，二二數之剩1，三三數之剩2，四四數之剩3，五五數之剩4，六六數之剩5，七七數之剩6，八八數之剩7，九九數之剩8，問物幾何？

2 問題的分析及解決的方法

為了解決這個問題，我們給出解決問題的思路和方法。

首先我們先簡化題目，只提“前兩個”要求：用2 除余1，用3 除余2，求這樣的數？因為這樣問題變得簡單，便于思考。問題簡單了就有可能得到問題的答案。一種最普通的辦法就是；先把“用2除余1”的數全列出來：1，3，5，7，9，11，…；再從中篩選，挑出其中“用3 除余2”的數來：5，11，17，23，…，這就求出了滿足要求的數了。我們再看原題，這就啟發我們想到，要解決原問題，只要從上邊篩選下的數中，繼續挑出“用4 除余3”的數：11，23，……；再挑“用5 除余4”的數，…；一直篩選下去，只要舍得下功夫，就一定可得結果，并且看起來，這個數，還不是唯一的，可能有無窮多個滿足條件的數。

這就是化繁為簡的思想，一個復雜的問題，如果在簡化時仍然保留了原來問題的特點和本質，那么簡化就“不失一般性”。學會“簡化問題”與學會“推廣問題”一樣，是一種重要的數學能力。這方法簡稱“篩選法”，好像問題解決了，但當我們這樣一直篩選下去時，發現越來越復雜，而且特別麻煩，那么有沒有一般的方法能很好的解決這樣的問題呢？為此我們給出另一個方法“公倍數法”。

我們還是先看只有前兩個條件的簡化題目。上述篩選過程的第一步，得到1，3，5，7，9，11，…；其實是列出了“用2 除余1”的數組成的數列。這個數列實際上是用帶余除法的式子得到的。所謂“帶余除法”，是指整數的如下“除法”：對所有被除數a，除數b ≠0，必唯一存在商數q 和余數r，使a=bq+r，0≤r

再回到求“用2 除余1”的數的問題上來，設這樣的數為x，則x=2n+1（0≤1<2），這就是“帶余除法”的式子。當取 n = 0，1，2，…時，用上式求得的x 正好組成上述數列：1，3，5，…。現在，接著從中篩選出“用3 除余2”的數，x=3m+2（0≤2<3）的數，這里m可取0，1，2，…。如我們不分上述兩步，而是一上來就綜合考慮兩者，就是要解聯立方程組x=2n+1x=3m+2的解x。我們考察上邊方程的特點，發現兩個“帶余除法”的式子，都是“余數比除數少1”。于是想到，如果把被除數再加1，不是余數就為0 了嗎？換句話說，不就是出現整除的情況了嗎？于是上邊每個方程兩邊都加上1，成為x+1=2（n+1）x+1=3（m+1），這說明，x+1既是2的倍數，又是3的倍數，因此，它是2與3的公倍數。如果用[2，3]表示2和3的最小公倍數，那么，就有：x+1=k[2，3]=6k k=1，2，…；即：x=6k-1 k=1，2，…，即 x=5，11，…，與前一解法結果相同。

再看原問題：設原問題中，需要求的數是x，則x 被2，3，4，5，6， 7，8，9去除，所得的余數都是比除數少1，于是我們把被除數x 再加1，則x+1 就可被2，3，4，5，6，7，8，9 均整除。也就是說，x+1 是2，3， 4，5，6，7，8，9 的公倍數，從而是其最小公倍數[2，3，4，5，6，7，8，9]的倍數。x+1=k[2，3，4，5，6，7，8，9] k=1，2，…，即 x=2520k-1，k =1，2，3，…，這就是原問題的全部解，有無窮多個解，其中第一個解是2519；我們只取正數解，因為“物體的個數”總是正整數。

我們有了上面的考慮，再看《孫子算經》中“有物不知其數”問題的解答，在“有物不知數”的題目：今有物不知其數，三三數之剩2，五五數之剩3，七七數之剩2，問物幾何？我們同樣采用“篩選法”和“公倍數法”。

首先寫出“用3 除余2”的數為：2，5，8，…； 其中，“用5 除余3”的數為：8，23，…；“用7 除余2”的數：23，… ；得到，23 是最小的一個解。至于下一個解是什么，要把“…”寫出來才知，實踐以后發現，是要費點功夫。而當問題復雜時，求解會越來越難，為此我們看另一個方法“公倍數法”。仿照上邊用過的“公倍數法”，設要求的數為x，則依題意，得聯立方程組x=3m+2x=5n+3x=7p+2，按上一問題中“公倍數法”解決問題的思路：給x 加上或減去一個什么樣的數，就能使三個等式的右邊分別是3，5，7 的倍數，從而等式左邊就是3，5，7 的公倍數了。這要反復的試算。我們介紹一種試算的方法。從第三個等式入手，兩邊加5（或減2）則得x+5=7（p +1）（或x-2=7p）；則右邊是7 的倍數了，但兩邊加5（或減2）并不能使前兩式的右邊分別是3 的倍數和5 的倍數，所以兩邊加5（或減2）并不能成為3，5，7 的公倍數。再繼續從第三個等式入手，為使第三個等式右邊自然保持是7 的倍數，可再加7k（或再減7h），則得3x+5 +7k=7（n+1+k）（或3x-2-7h=7（n-h））將k=1，2，3，…（或h=1，2，3…）代入試算、分析，最后發現：為達到目的（三個等式的右邊分別是3，5，7 的倍數），最小的加數是82（k=11時5+7k=82）（或最小的減數是23，即h =3時2+7h=23）用等式兩邊加82 來求解，但是這82 和23 來之不易，并且如果題目中的余數變了，就得重新計算，所以這方法缺少一般性，為使它具有一般性，要做根本的修改。華羅庚由此聯想到如何解決具有類似結構的各種問題。正是他把上述解決問題的基本思想稱為“單因子構件湊成法”，并概括成如下的“合成原則”：要做出具有平行的、類似的幾個性質A，B，C的一個數學結構，而A，B，C分別以某種α，β，γ量刻劃，這時，可用“單因子構件湊成法”：先作B，C不發生作用，而A取單位量的構件，再作C，A不發生作用，B取單位量的構件；再作A、B不發生作用，C取單位量的構件。然后用這些構件湊出所求的結構。這個原則在有的書里稱為“孫子—華原則”。體現了“化繁為簡”的思想。

因此我們用“單因子構件湊成法”來解上述問題的一般方法。

我們一方面是把余數都簡化為最簡單的；另一方面是每次只考慮“一個除式”有余數的情況，（即另兩個除式都是整除的情況）這樣我們得到三組方程

（1）x=3m+1x=5nx=7p （2）y=3my=5n+1y=7p （3）z=3mz=5nz=7p+1

（1）式意味著，在5 和7 的公倍數中（35，70，105，…）尋找用3 除余1 的數；這個數可以取70；

（2）式意味著，在3 和7 的公倍數中（21，42，63，…）尋找用5 除余1 的數；這個數可以取21；

（3）式意味著，在3 和5 的公倍數中（15，30，45，…）尋找用7 除余1 的數；這個數可以取15

對（1）式而言，這個數可以取70；對（2）式而言，這個數可以取21；對（3）式而言，這個數可以取15；

于是（1）式兩邊同減70 變為這樣：第二式右邊仍是5 的倍數，第三式右邊仍是7 的倍數，而第一式右邊由減的70 是“用3 除余1”的數，正好原來也多一個1，減沒了。

同理對于（2）式兩邊同減21變為這樣：第一式右邊仍是3 的倍數，第三式右邊仍是5 的倍數，而第二式右邊由減的21是“用5 除余1”的數，正好原來也多一個1，減沒了。所以第二式右邊也成為了5的倍數。

同理對于（3）式兩邊同減15變為這樣：第一式右邊仍是3 的倍數，第二式右邊仍是7 的倍數，而第三式右邊由減的15 是“用7 除余1”的數，正好原來也多一個1，減沒了。所以第三式右邊也成為了7的倍數。那么，湊出s=2x+3y+2z不就是我們要求的數嗎？

因為用3去除s 時，除y 及除z 余數均為0，所以除3y及除2z 余數均為0；用3去除x 余數為1， 除2x 余數為2； 所以用3除s時余數為2。

因為用5 去除s 時，除x 及除z 余數均為0 ，所以 除2x及除2z余數均為0，去除y 余數為1，所以除3 y 余數為3， 所以用5 除s 時余3。

因為用7去除s 時，除x及除y余數均為0，所以除2x 及除3y使余數均為0，用7 去除z余1，所以用7去除2z余數為2， 所以用7 除s 時余數為2。

于是我們要求的數是：s=2x+3y+2z，這就是《孫子算經》中“物不知其數”一題的解，有無窮多個，最小的正數是23（k=-2時）。這里，（1），（2），（3）三式分別叫三個“單子因構件”，分別解得x=105k+70，y=105k+21，z=105k+15；每個單因子構件，都是用某一個數去除余1，用另兩個數去除均余0 的情況。再據題目要求余數分別是2，3，2 的情況，湊成s=2x+3y+2z；所以，上述方法叫“單因子構件湊成法”。

這種方法的最大優點是，可以任意改變余數，加以推廣：例如：有物不知其數，三三數之剩a，五五數之剩b，七七數之剩c，問物幾何？

答：解為s=70a+21b+15c+105k，（k∈Z，k的選取應使s>0）。

我們把這樣思考問題的方法稱作“類比”，他給我們提供了許多啟示，使我們在學習中對一些復雜的問題，通過“類比”的方法得到某些啟示，考慮一個復雜的問題，先從簡單的問題出發，得到一些解決問題的思路和想法，從而解決一個復雜的問題。

3 結論

什么是一般問題？其實對于上述問題的一般情況，就是中國剩余定理。

1247 年南宋的數學家秦九韶把《孫子算經》中“物不知其數”一題的方法推廣到一般的情況，得到稱之為“大衍求一術”的方法，在《數書九章》中發表。這個結論在歐洲要到十八世紀才由數學家高斯和歐拉發現。所以世界公認這個定理是中國人最早發現的，特別稱之為“中國剩余定理”（Chinese remainder theorem）。

該定理用現在的語言表達如下：

設數d1，d2，d3，……，dn兩兩互素，某整數x分別被d1，d2，d3，……，dn整除，所得余數分別為r1，r2，r3，……，rn則x可表示為如下式x=kD+k1r1+k2r2+…θ…knrn；其中D 是d1，d2，d3，……，dn的最小公倍數，ki是 d1，d2，……di-1，di+1……，dn，的最小公倍數，而且被di整除所得余數為1；k 是任意整數。

通過上面的討論，對一般問題，即“中國剩余定理”我們不再給出證明推到。有了這個一般情況，我們遇到類似的問題就可以得到問題類似的求解方法。

4 有趣的應用

例如1：某單位有100 把鎖，分別編號為1，2，3，…，100。現在要對鑰匙編號，使外單位的人看不懂，而本單位的人一看見鎖的號碼就知道該用哪一把鑰匙。能采用的方法很多，其中一種就是利用中國剩余定理，把鎖的號碼被3，5，7 去除所得的三個余數來作鑰匙的號碼（首位余數是0 時，也不能省略）。這樣，每把鑰匙都有一個三位數編號。

例如23 號鎖的鑰匙是232 號；52 號鎖的鑰匙是123 號；8號鎖的鑰匙是231；19號鎖的鑰匙是145；45號鎖的鑰匙是003。

如果希望保密性再強一點兒，則可以把剛才所說的鑰匙編號加上一個固定的常數作為新的鑰匙編號系統。這樣，仍不破壞鎖的號與鑰匙的號之間的一一對應，而外人則更難知道了。

通過上面的分析，我們通過這種類比的方法思考問題，能給我們提供思考問題的方向，使得我們面對一個復雜的問題，通過簡化的思想，使得我們能夠解決一些簡單的問題，從解決簡單問題的的思路、想法出發，得到解決一般、復雜問題的思路、想法。

[責任編輯：楊玉潔]