從四個方面體驗數學簡約美

余寶霞

【摘 要】本文結合古今中外名人名家的故事、歷史名題，引導學生體驗數學的簡約美，讓學生在領略數學豐富的文化底蘊的同時，感受數學的魅力。

【關鍵詞】簡約 簡潔 數學美

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）02B-0082-03

簡潔明快是美的表現，簡潔體現在數學中就是簡約。簡約的美，是一種藝術的美，能使人的心靈深處得到放松的美。數學的諸多美中，簡約美是首要推崇的，有一句古老的拉丁格言這樣說：“簡約是真理的標志。”數學中每一步進展，都與更簡單方法的運用密切相關。龐大、復雜的數學體系通過公理體系處理后變得相當簡潔，這個過程本身充滿了神奇的魅力。數學的簡潔有著非常豐富的內涵。追溯數學的歷史文化長河，從中我們可以體驗到，數學家運用數學符號來表示使得數學簡約而易于推廣。提出簡潔數學問題引發研究的浪潮，致力尋求最簡潔證明來促進數學的發展;提出簡約的數學理論使數學成為科學之典范。這一系列行為所表現出來的簡約美，給我們以簡潔美的切身體驗，讓我們深深陶醉于數學的魅力中。

一、精巧符號，數學之巧妙

現代數學的特征是廣泛運用符號。在研究現實世界的數量關系和空間形式時，數學符號提供了比自然語言更加簡明、準確的思維與表達工具。如圓⊙，菱形◇，正方形□，三角形△，平行∥，垂直⊥，角∠等，這些既簡單，又惟妙惟肖直觀形象的圖形符號示意了幾何概念、命題、推理之間的數學關系。

數學，由于它的語言、記法以及看上去很奇特的符號，使一些人把數學設想成受冷酷無情的定義、法則、定理、公式和符號統治著的專制王國，里面充滿著機械和單調。其實不然，就簡約的數學符號而然，它的思想奇特而妙不可言，其外形又不缺乏圖畫般的動人之美妙。一個簡單的式子，能將毫無關聯的符號巧妙地聯系在一起，蘊藏著豐富的思想;一個簡單的符號，卻在數學乃至科學上起著舉足輕重的作用。我們看到，歐拉把數學上幾個重要的常數 0，1，i，e，π通過公式 eiπ+1=0 巧妙地、簡約地聯系在起來，無窮不循環的小數與簡單的數1和0以及虛數單位 i 構成一恒等式，打破了無理數、虛數間的隔絕。我們不由地贊嘆，數學符號體現了我們人類智慧的精華，并凝煉成光芒四射的美麗結晶。還有歐拉公式“V+F-E=2”，宇宙間無窮無盡的多面體的面數、棱數、頂點數都符合這個極其簡單的公式。式子極其簡潔，思想卻又極其豐富，堪稱簡潔美典范。不只歐拉致力數學符號的創造，使得數學簡約而更容易表述、推廣，德國大哲學家和數學家萊布尼茲也是歷史上偉大的符號學者之一，他創立了積分符號。萊布尼茲用“∫”這一簡捷的符號傳達了定積分和原函數之間的微妙關系。許多數學愛好者和數學家都把積分符號堪比“美女”，是數學中漂亮的符號，它充分體現了女性的曲線美。正因為具有一套優越的符號體系，微積分理論得到迅速發展和廣泛應用。曾曉新（1990）提到：“萊布尼茲提出的微分符號、導數符號、積分符號等，使用起來極為方便，進行微積分運算簡直就像是在自動進行似的。”微積分中一套成熟漂亮的符號體系：dx，∞，∑，lim 等，有效地促進數學學科的發展。18世紀，數學分析的進步就是在萊布尼茲微積分學的基礎上發展所取得的。

利用了符號，數學上的每一個論斷和它所描述的東西就可以更快地被人所了解。對數學符號的認識、理解和靈活地運用，有助于我們深刻領悟數學的奧秘，體驗數學之巧妙。蘇聯數學家魯金在談到歐拉時說：歐拉的洞察力是那樣的深邃，不論多么復雜深奧的公式，在他強有力的手里，都變得服服貼貼，如柔軟的蜂蠟一樣;在他的威力面前，都規規矩矩地獻出一切……他可以本能地直接感受到公式里的真理與虛假。歐拉創設的許多數學符號，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f（x）等，至今沿用。歐拉曾運用簡約的數學符號完美解答了著名的“哥尼斯堡七橋問題”，并開創了“圖論”。

我們來看一看哥尼斯堡七橋問題。18世紀，歐洲有一個風景秀麗的小城叫哥尼斯堡，普萊格爾河橫貫城區。河中央有兩座美麗的小島，七座橋把兩個島和河岸連結。城中的居民經常沿河過橋散步，久而久之形成一個問題：如何不重復又不遺漏地一次相繼走遍這七座橋？每一個到此游玩或散步的人都想試一試，卻無一人成功（如圖1）。

歐拉將它轉化為“一筆畫”問題。把河的兩岸、兩個小島看成四個點，把七座橋看成是七條線，轉化成幾何圖形后得到圖2。于是問題變為：如何將此圖一筆畫出？運用簡約的數學符號表示后，該問題迎刃而解。

懷特認為，復雜的東西是用簡單的東西表示出來的。在某種觀點下，數學可以定義為相繼用簡單概念來代替復雜概念的科學（曾曉新，1900）。如果體驗不了符號在數學研究、數學理論中的簡約作用，那我們也不可能深刻地體會到數學的美。

二、簡潔問題，研究之動力

數學問題為我們進行研究提供了源泉和動力，當代美國著名數學家哈爾斯曾形象地指出，問題是“數學的心臟”。在歷史的長河中，存在許多經久不衰的、令人廢寢忘食的數學問題，如費爾馬猜想、黎曼猜想、哥尼斯堡七橋問題、哥德巴赫猜想等，這些歷史問題以極其簡明而深刻的表述方式吸引著人們的注意，引發研究的浪潮。一個好的數學問題必然突出主題，體現主要的和本質的東西，也必定是簡潔、通俗易懂的。簡潔、清晰的數學問題，極易引起人們思考的興趣。所以，如希爾伯特一樣，簡潔與否必將成為衡量一個數學問題是否有價值的重要標準。難怪希爾伯特說：“問題的完美提法意味著已經解決了一半。”

在整個數學史上很難找出像幾何的三大尺規作圖問題那樣具有歷久不衰的魅力。三等分角問題、化圓為方的問題、倍立方問題等，要求的條件簡單，只要圓規和直尺，表述簡潔，通俗明白，誰都能容易理解其所提出的問題。幾千年來，它激發了無數數學家和數學愛好者研究的興趣，如古希臘的希波克拉底、門奈克木斯、阿基米德、達·芬奇、高斯、拿破侖等大數學家、大畫家都投身于尺規作圖三大問題。對于數學愛好者而言，問題極富誘惑力，難以抗拒，甚至會改變一個人的人生軌跡。最典型的就是，因解決了正十七邊形（n 為奇數）尺規作圖的難題，當時才17歲的高斯興奮不已，并在研究中深受鼓舞，于是立即放棄了從事語言學的念頭，決心投身于數學。最后，他成為歷史上四個最偉大的數學家之一，并被譽為“數學王子”。

簡約的數學問題深刻影響笛卡爾。1618年，荷蘭的布萊達街頭公開征求數學問題的解，那是一個極富挑戰的問題。笛卡爾被這個數學問題深深地吸引，并很快地給出了正確解答。這個難題的解決，使他對自己的數學能力獲得了巨大信心。于是，笛卡爾開始了數學的思考與研究。笛卡爾對現代數學的發展做出了重要的貢獻，他創立了解析幾何。解析幾何簡潔地用點、坐標刻劃出位置和數量關系，使形與數統一起來，實現了幾何方法與代數方法的結合，讓許多復雜的數學問題變得簡約。解析幾何的產生是數學發展史上的一次重大突破，作為變量數學發展的第一個決定性步驟，解析幾何的建立對微積分的誕生功不可沒。這些簡潔的數學問題的解決，不僅極大地激發了數學愛好者的神經，讓他們陶醉于問題解決之中，讓他們體驗奮斗的愉快，享受著勝利的喜悅，還極大地推動數學的發展。

三、證明的簡潔美，數學之發展

概念是數學的“磚瓦”，是數學的基本要素。數學證明是“粘合劑”，用邏輯把數學概念、定理有機地結合起來，構建起輝煌的數學宮殿。發現的數學命題要得到承認，就不得不依賴數學證明。每一項數學的發現要想獲得大家的接受，就必須通過數學證明。不斷尋求越來越簡明扼單的方法證明定理和解答問題是數學的真諦（馬丁·加德納）。數學家總是致力尋求最簡潔的證明。簡約的證明，思路巧妙，條理清晰，顯示出數學證明不容辯解的邏輯力量。簡潔證明，寓意豐富，表達明快，讓人品玩稱奇、愜意開懷，極易被人們接受。高斯證明代數基本定理時，為尋求一種最美和最簡潔的證明，嘗試了不下10種證明方法，其中許多證明方法追求的就是使證明本身簡潔。高斯說：“吸引我研究的主要動力是去尋求一種最美和最簡潔的證明。”我國著名的數學家陳景潤，1966年剛完成關于哥德巴赫猜想1+2的證明時，由于證明冗長不夠簡潔而沒有全文發表，經過7年的努力后，200多頁的證明最終簡化成只有18頁，1973年在《中國科學》一發表，立即在國際數學界引起了轟動。陳景潤的證明至今仍被認為是該猜想的最好結果，被國際數學界譽為“陳氏定理”。

數學家對冗長、煩瑣的證明不會無動于衷的，坐視不理的。總會有不少的數學家耿耿于懷，一心致力于冗長數學證明的簡化。而每次簡化必將伴隨理論上或方法上的突破，出現重大的改進，從而加速數學的發展。對于有關數學證明的簡約與嚴格之間的關系，希爾伯特這樣認為：“把證明的嚴格化與簡單化絕對對立起來是完全錯誤的。嚴格的方法同時也是比較簡單、比較容易理解的方法。”簡約的證明，體現人類思維的精巧。煩瑣、冗長的證明，凸現的是人類思維的蠻力，往往由于晦澀難懂，難以獲得大家的認同。曾經，美國數學家德貝蘭花了30年的功夫，好不容易證明了連最優秀的數學家也感到為難的比勃巴赫猜想，卻由于證明長達300多頁，過程冗長得超乎想象，令人望而卻步，無人愿意審核論文，在美國數學界受到了冷遇。后在蘇聯數學家的幫助下，將300多頁的論證濃縮成十余頁簡潔的證明過程，因此德貝蘭的成果獲得了數學界的認同。簡化的過程，巧妙的證明，又徹底解決了一個歷史難題。

四、數學理論的簡約，科學的典范

數學是一種表述簡潔、清晰、歧義較少的理論體系。數學的0，1，2，…，9這十個數字非常絕妙，區區十個數字加上十進位制竟然能表達任何數。記法是如此簡潔，運算上又是如此方便，“簡易得難以估量”。數學的運算表示又是極其簡單明了的，如在乘法運算上，n·a 簡潔地表示了 n 個數 a 相加;而 an 簡潔地表示了 n 個數 a 相乘。數學的概念如函數、指數、對數、微分、積分等，還有加、減、乘、除、等于、大于、小于，都是涵意明確，簡潔、約定的。將數學的公式、定理統一起來，形式是極其簡潔的。如圓的切線定理、割線定理、切割線定理統一為圓冪定理;（下轉第97頁）（上接第83頁）雙曲線、拋物線、橢圓統一為二次曲線，在極坐標系中圓錐曲線方程統一為，e 的大小決定二次曲線的形狀。圓（棱）錐、臺、柱體的體積公式可以統一為，h 為立體的高，s1，s2 為上、下底面的面積。這些簡單明了的數學表達式，何其和諧統一。數學的理論體系是簡約的，歐氏幾何用清晰、直觀的圖形，表達復雜的邏輯關系。皮亞諾用了三個原始概念、五個公理的簡單的邏輯結構，建立現代科學大廈，簡單的算術公理體系與龐大復雜的數學領域形成鮮明的對比，我們不能不為皮亞諾的算術公理體系的簡潔而折服。解析幾何簡潔地用點、坐標刻劃出位置和數量關系，建立數形結合的深刻理論，讓許多復雜的問題變得簡約而迎刃而解。數學的內容，數學的表達式和理論體系，無一不以它所特有的精巧的字母符號、精煉的數學語言、簡潔的表達方式、嚴密的邏輯體系向我們展示出數學簡潔美的魅力。

數學之所以成為科學的典范，離不開數學理論的高度簡約性。歐幾里得利用幾個原始概念和5組公理、公設去演繹出歐氏幾何體系，去統一了公元前7世紀以來希臘豐富又紛紜龐雜的整個幾何系統。瑰寶《幾何原本》的問世，在數學史上樹立起演繹幾何的豐碑，演繹的數學理論成為大多數科學所追溯的典范。牛頓所創立的經典力學，利用力學三大定律和萬有引力定律將天體力學和地球上物體力學統一起來，就是一個仿照歐氏《幾何原本》，并可與其媲美的邏輯演繹體系。著名物理學家海森堡認為 ，科學家為了使研究的問題更精確，往往引入數學方法將對象及其環境作簡化與純化，在很多場合下，科學家只須找到某些最簡單的數學概念或數學關系，就能建構起某種科學理論體系。比如，麥克斯韋方程組問世，簡單明了地表達了電與磁的關系，將人類二千多年來積累的許多雜亂無章而不成體系的有關電、磁、光的知識，統一起來，建立起統一而完美的經典電磁學理論。

數學上愈簡單的規律便愈接近自然，愈美。簡潔的東西易于為人類所把握，簡潔有助于提高思維的效率，也只有簡潔才更容易讓人類長期積累的知識世代相傳下去。

【參考文獻】

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（責編 盧建龍）