精密單點定位收斂時間的確定方法研究

周承松，彭　月，張小紅，劉文祥，王飛雪

(1.國防科技大學 電子科學與工程學院，長沙　410073；2.武漢大學 測繪學院，武漢　430079；

3.四川省測繪地理信息局，成都　610100)

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精密單點定位收斂時間的確定方法研究

周承松1，彭月2，3，張小紅2，劉文祥1，王飛雪1

(1.國防科技大學 電子科學與工程學院，長沙410073；2.武漢大學 測繪學院，武漢430079；

3.四川省測繪地理信息局，成都610100)

摘要：針對精密單點定位作業效率問題，本文基于精密單點定位結果時間序列的均值變化和方差變化提出了兩種確定精密單點定位收斂時間的方法，并分別闡述了方法的原理。精密單點定位是將觀測數據與相對應的衛星軌道、衛星鐘差一并進行定位解算，得到定位結果時間序列。這種時間序列具有由非平穩逐漸收斂到平穩的特點，由非平穩到平穩所需的時間為精密單點定位收斂時間。工程應用中，由于缺少收斂時間的確定方法，精密單點定位的觀測時間往往長于收斂時間，達到數個小時甚至更久，存在的冗余觀測使得作業效率較低。本文根據大量實測數據對兩種方法關于及時準確判斷收斂時間方面的性能進行分析，結果表明兩種方法均能判斷收斂，均值變化法的收斂時間稍長于均值變化法；但兩種方法確定的收斂時間大都在30 min級，不超過60 min。均值變化法能收斂到dm級和cm級；方差變化法能收斂到dm級，但會出現m級的定位偏差。

關鍵詞：精密單點定位；時間序列；收斂時間；性能分析

0引言

自1997年美國噴氣推進實驗室的Zumbeger提出精密單點定位技術(precise point positioning，PPP)以來，PPP技術一直備受關注。相比于相對定位方式，PPP不需要基準站的支持，僅用單臺接收機就可以獲得高精度定位，流動性強，工作方式靈活[1]。隨著高精度衛星軌道和鐘差產品的發展，PPP在低軌衛星定軌、航空動態測量、海洋測繪、高精度坐標框架維持、精確授時等領域應用廣泛[2-4]。

PPP是主要利用高精度的載波相位觀測值以及高精度的衛星軌道和衛星鐘差產品獲取高精度定位結果，其中固定載波相位觀測值的模糊度是PPP收斂的前提。模糊度固定需要分離模糊度的小數部分，再進行整數模糊度的搜索固定，單站模糊度的固定大都采用LAMBDA算法，其算法有兩個過程：模糊度降相關處理和整數模糊度的搜索[5]。固定模糊度后，靜態PPP可收斂到mm至cm級，動態PPP可收斂到cm至dm級；實時PPP可收斂到dm級至亞dm級，事后PPP可收斂到cm級至亞cm級[6]。由于固定模糊度需要一定時間，因此PPP定位結果呈現先浮動后收斂的特點，其收斂時間為定位結果序列由非平穩到平穩所需的時間[7]，然而隨著用戶對定位精度的要求不同，平穩的定義也不同，因此收斂時間是隨定位精度而變化的[8]。在相同的定位精度要求下，PPP收斂時間受測站緯度、位置精度衰減因子(position dilution of precision,PDOP)值、衛星軌道、衛星鐘差、信號傳播誤差、接收機有關誤差和相對論效應等的影響[9]。由于模糊度不易固定，PPP收斂時間一般較長，一般需要0.5 h以上才能收斂到cm級[10]。在實際工程應用中，尤其是測繪領域，由于PPP收斂時間的確定技術尚不成熟，通常是約定俗成地延長觀測時間來保證收斂，要達到cm級定位精度至少需要觀測2 h，而一般情況下觀測時間至少四個小時甚至更長，這對于作業效率是極不利的。例如，在靜態PPP中，業界一般以最后一個觀測歷元的定位結果為PPP結果，如果該結果尚未收斂到相應的定位精度，除了返工重測別無他法；如果在最后一個歷元之前就已收斂，則浪費了觀測時間，可見研究收斂時間的確定方法是有必要的。

PPP收斂時間的確定方法的應用背景按時效性可分為實時PPP和事后PPP。實時PPP要求能獲取實時精密星歷和精密衛星鐘差，那么收斂時間的及時確定可以大大減少觀測時間；事后PPP需要獲取事后精密星歷和精密衛星鐘差，另外由于事后PPP往往存在大量的冗余觀測數據，那么收斂時間的及時確定能判定收斂，還能夠避免計算機對冗余觀測數據的解算，從而在一定程度上提高了作業效率。

目前，關于PPP收斂時間的確定方法的研究并不多見，尚未形成一套完整的理論系統。但判定時間序列平穩的文獻較多，比較常見的判斷方法有相鄰數據差值、數據擬合等方法。但這兩種方法都存在一定的局限性。相鄰數據差值法，對于非平穩但變化緩慢的數據，這種方法會將其誤判為平穩數據[11]；數據擬合法有多項式擬合或指數擬合，它們需要大量的定位結果數據進行擬合，所以只能應用于事后PPP，并且為了達到高精度擬合，多項式擬合需要進行高階次擬合，易產生震蕩現象[12]，而指數擬合往往會出現擬合發散的狀況。利用均值和方差的變化情況來判定序列平穩不存在類似相鄰數據差值、數據擬合等方法的缺陷，鑒于此，均值和方差的變化被廣泛應用于時間序列變點估計領域[13]，本文利用均值和方差的變化情況，根據PPP定位結果時間序列中非平穩序列與平穩序列在均值和方差上的差異推導了兩種收斂時間確定方法，并結合跟蹤站參考坐標值對兩種方法的性能進行實驗分析與比較。

1PPP定位模型

1.1PPP觀測方程

美國的全球定位系統(global positioning system，GPS)作為全球衛星導航系統(global navigation satellite system，GNSS)最先建成的導航定位系統，已經在各行各業中獲得了廣泛的應用。PPP的核心是對GPS單點定位中的衛星誤差、傳播過程誤差、接收機誤差進行分類處理：

1)利用精密衛星軌道和鐘差校正衛星軌道誤差和衛星鐘差；

2)利用消電離層組合偽距和相位觀測值進行定位解算，消除電離層延遲誤差；

3)考慮GPS衛星天線相位中心改正、接收機天線相位中心改正、天線相位纏繞、測站固體潮、地球潮汐等改正；

4)將對流層延遲和接收機鐘差與測站位置坐標一起作為未知參數進行定位解算。

目前PPP通常采用消電離層偽距和相位觀測值(PIF和IIF)進行定位解算，其觀測方程為

(1)

式(1)中，f1、 f2為以距離表示的相位觀測值L1和L2的頻率；P1、 P2為以距離表示的偽距觀測值；ρ為衛星到接收機的幾何距離；c為光速；λ1： 為相位觀測值L1的波長；dT、 dt為接收機鐘差和衛星鐘差；Trop為對流層延遲；εP為包含多路徑效應、衛星軌道誤差等多種誤差的消電離層偽距觀測值噪聲；εL為PPP包含多路徑效應、衛星軌道誤差等多種誤差的消電離層相位觀測值噪聲；NIF為消電離層組合模糊度。

式(1)中的ρ和NIF記為

(2)

(3)

式(2)中，(XS,YS,ZS)為衛星坐標，(x,y,z)為接收機坐標。

1.2PPP參數估計

Xk=Φk,k-1Xk-1+ωk,ωk～N(0,Qk)

(4)

Zk=HkXk+Vk,Vk～N(0,Rk)

(5)

式(4)及式(5)中，Xk-1為k-1歷元狀態向量；Xk為k歷元狀態向量；Φk,k-1為 狀態轉移矩陣；ωk為 系統噪聲向量；Zk為k歷元觀測值；Hk為 設計矩陣；Vk為 觀測噪聲向量；Qk為 系統噪聲方差陣；Rk為 觀測噪聲方差陣。

Kalman濾波由預測和更新組成，具體步驟為

預測為

(6)

更新為

(7)

2確定 收斂時間的方法

上已敘及，PPP定位結果時間序列具有由非平穩逐漸收斂到平穩的特點[7]。確定PPP收斂時間，只需要判斷該時間序列中非平穩部分和平穩部分的過渡點，定義該過渡點為時間序列收斂點。若判斷出時間序列收斂點，根據該收斂點的觀測歷元就可得到PPP收斂時間。

非平穩序列的均值和方差波動較大，平穩序列的均值和方差波動相對較小[13]。因此，本文從均值和方差的角度判斷出序列收斂點。將PPP定位結果時間序列按坐標軸x、 y、 z三個方向拆分成三個時間序列，分別進行收斂討論。以x方向為例，對PPP收斂時間的確定方法進行簡介。

2.1均值變化法

(8)

(9)

收斂點：x(j-1)k+1

收斂時間：T=[(j-1)k+1]·t

(10)

(11)

圖1　均值變化法流程圖

2.2方差變化法

方差變化法和均值變化法類似，只不過是從方差變化情況來判斷時間序列平穩。現將與均值變化法不同的地方予以說明：

2.3閾值和搜索窗口的確定

均值變化法、方差變化法均需要確定合適的閾值d和搜索窗口k，才能準確判斷PPP收斂。搜索窗口和閾值是根據PPP定位精度需求和收斂時間要求而確定的。在同一定位過程中，定位精度需求越高，則閾值應越小，搜索窗口應越長；相反，收斂時間越短，則閾值應越大，搜索窗口應越短。在實際應用中，是需要同時考慮定位精度和收斂時間的，一般根據經驗值來確定閾值和搜索窗口，以滿足用戶需求。

本文實驗中，為了獲取閾值和搜索窗口的經驗值，均值變化法在亞mm級、mm級、cm級和dm級均設有閾值，同時為了比較，方差變化法的閾值設為相應均值變化法閾值的平方，例如均值變化法閾值d=0.1 mm(即10-4m)，則相應的方差變化法閾值d′=10-8m2。另外，兩種方法的搜索窗口長度均設為5歷元、10歷元、12歷元、14歷元、16歷元、18歷元、20歷元和30歷元。

3實驗與分析

實驗利用國際GNSS服務(international GNSS service，IGS)事后精密衛星星歷和鐘差對全球10個IGS跟蹤站2015-08-20的觀測數據進行定位解算，并根據均值變化法和方差變化法實時地確定定位結果時間序列的收斂時間，通過改變搜索窗口k和閾值d，得到各跟蹤站在不同k和d下的收斂坐標，分別與IGS周解snx文件中各跟蹤站坐標精確值進行對比，分析k和d對收斂結果的影響，并根據實驗結果確定k、d的最優組合，進而用5個全球跟蹤站2014-01-02～2015-01-02的一年觀測數據對最優組合進行驗證。與此同時，根據實驗結果對兩種方法關于收斂時間判斷的準確性進行比較。需要說明的是，實時PPP的收斂時間確定方法和本實驗中事后PPP收斂時間確定方法類似，只是其精密星歷和精密鐘差是實時的，故本實驗只分析事后PPP收斂時間的確定方法。

3.1實驗結果

實驗數據為10個全球跟蹤站2015-08-20的全天觀測數據和相應的精密星歷、精密鐘差，每個跟蹤站全天共2 880個觀測歷元(采樣間隔為 30 s)。

采用擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filter,EKF)濾波方法對實驗數據進行消電離層組合定位解算，在不同搜索窗口和閾值下，利用兩種方法確定10個跟蹤站定位結果時間序列的收斂時間。根據2.3中閾值和搜索窗口的確定方法，在均值變化法中，閾值d=(0.1 mm，0.2 mm，1 mm，2 mm，1cm，2 cm，1 dm，2 dm)，搜索窗口在采樣間隔為30 s情況下，設k=(2.5 min，5 min，6 min，7 min，8 min，9 min，10 min，15 min)；對應地，在方差變化法中，閾值d=(10-8m2，4×10-8m2，10-6m2，4×10-6m2，10-4m2，4×10-4m2，10-2m2，4×10-2m2)，搜索窗口與均值變化法相同。以adis跟蹤站為例，在d=2 mm、k=5 min的情況下，其定位結果時間序列的收斂判斷圖如圖2-3，圖中“o”代表序列收斂點。

圖2　收斂判斷圖(均值變化法)

圖3　收斂判斷圖(方差變化法)

在不同閾值d的情況下，兩種方法的搜索窗口與收斂時間(收斂歷元)的關系如圖4、圖5：

圖4　不同閾值d下搜索窗口與收斂時間關系圖(均值變化法)

圖5　不同閾值d下搜索窗口與收斂時間關系圖(方差變化法)

根據圖4及圖5，得出結論：

1)收斂時間在數分鐘到100 min范圍內；

2)在相同的搜索窗口下，閾值d越小，收斂時間越長；

3)在相同的閾值d下，隨著搜索窗口的增大，收斂時間變化規律不明顯，但總體呈先增、再減、再增的趨勢；

4)方差變化法的收斂時間對閾值的取值相對敏感，例如在閾值d8=4×10-2時，其收斂時間為3 min左右，且不隨搜索窗口變化，這種情況下將導致無法有效確定收斂時間。

另外，坐標三方向的收斂歷元與定位偏差存在一定關系，根據圖6及圖7，得出結論：

圖6　不同閾值d下收斂歷元與定位偏差關系圖(均值變化法)

圖7　不同閾值d下收斂歷元與定位偏差關系圖(方差變化法)

1)兩種方法的定位偏差在能達到dm級甚至cm級；

2)閾值一定的情況下，收斂歷元數越大，定位偏差越小；

3)在相同搜索窗口的情況下，方差變化法的定位偏差在不同閾值下差異較大，對閾值相對敏感。

3.2實驗分析

為了比較兩種方法的性能，需要獲取跟蹤站坐標三方向時間序列的實際收斂時間，將兩種方法判斷出來的收斂時間與對應的實際收斂時間進行對比，收斂時間更接近實際收斂時間的，其方法的性能更優。為了獲取10個全球跟蹤站各自的實際收斂時間，可根據2015-08-20所屬的IGS周解文件中的坐標精確值，與10個跟蹤站的定位結果時間序列作差，判斷其在不同定位偏差下的實際收斂時間。本文以定位偏差為5 cm、1 dm時，用兩種方法判斷出來的收斂時間與實際收斂時間的接近程度為指標，比較兩種方法的性能。對所有跟蹤站，將兩種方法下的所有閾值和搜索窗口組合確定出來的坐標三方向的收斂時間，與對應的實際收斂時間相比，當只有一方向的收斂時間等于實際值時，歸為“一類”；兩方向等于實際值時歸為“二類”；三方向都等于實際值時歸為“三類”，統計上述三類的數量(同時也考慮不同閾值和搜索窗口的組合可能會確定出相同的收斂時間)，統計結果如圖8。由圖8可明顯看出，總體上，均值變化法確定出的收斂時間更接近于實際值。

圖8　收斂時間接近實際值的數量圖

考慮到收斂的時效性，由圖4至圖7可得，閾值不是越小越好，搜索窗口不是越長越好，它們存在最優組合，在保證收斂的時效性前提下，使得定位偏差最小。為確定閾值與搜索窗口的最優組合，可將圖8中“一類”、“二類”和“三類”類中的元素與其對應的d、k關聯起來：顯然“三類”類中的d、k組合應該最逼近最優組合，其次是“二類”類，最后是“一類”類。綜合考慮，本文采取加權積分的方式，將10分按照比例1∶3∶6分配給“一類”、“二類”和“三類”類中的d、k組合，統計不同d、k組合的積分，最后再將各組合按照積分比例加權，計算得到最優組合。經計算，兩種方法在定位偏差為5 cm和1 dm時，閾值、搜索窗口最優組合如表1。

表1　最優組合

表1給出了兩種方法的最優組合，為了保證最優組合的可靠性，采取實驗驗證的方法。驗證數據為2014-01-02～2015-01-02 adis、aira、algo、bjco和bjfs五個跟蹤站的全年數據，由于實驗所用的精密星歷和精密鐘差是按日存儲，故需對每個跟蹤站進行366次實驗。利用兩種方法的最優組合，對驗證數據定位解算、實時收斂判斷，再確定定位偏差，其結果如表2至表5。

表2　均值變化法最優組合的驗證(5 cm 偏差)

表3　均值變化法最優組合的驗證(1 dm 偏差)

表4　方差變化法最優組合的驗證(5 cm 偏差)

表5　方差變化法最優組合的驗證(1dm 偏差)

從表2至表5中分析得：

1)利用一年的數據對5個跟蹤站分別進行366次實驗，共1 830次實驗；

2)均值變化法中偏差5 cm對應的最優組合，在所有實驗中有81.4%能收斂到cm級，且有82%的實驗在30～60 min內收斂；偏差1 dm對應的最優組合，98.6%的實驗能收斂到dm級至亞m級內(包括63%能收斂到cm級的實驗)，且有72%的實驗在30 min內收斂；

3)方差變化法中偏差5 cm對應的最優組合，在所有實驗中只有17%能收斂到cm級，且有77.4%的實驗在30 min內收斂；偏差1 dm對應的最優組合，93.2%的實驗能收斂到dm級至亞m級內(包括9.6%能收斂到cm級的實驗)，且有84%的實驗在30 min內收斂；

4)方差變化法中出現m級誤判偏差的概率明顯高于均值變化法；

5)均值變化法確定出的收斂時間要稍長于方差變化法。

4結束語

本文利用15個IGS跟蹤站的實驗數據，分析驗證了基于均值變化和方差變化的兩種PPP收斂時間確定方法的可行性，同時也用大量數據證明了最優組合的可行性。但值得注意的是，實驗中最優組合是基于事后精密星歷產品定位的經驗值，該經驗值只適用于事后PPP，不具有通用性，但基于快速精密星歷產品定位或預報精密星歷產品的實時PPP的最優組合經驗值同樣可以通過本實驗中的方法獲取。

通過大量數據實驗，證明均值變化法和方差變化法都具有確定收斂時間的能力，收斂時間大都在30 min級，不超過60 min，但均值變化法確定的收斂時間要稍長于方差變化法。另外，均值變化法能收斂到cm級至dm級，方差變化法能收斂到dm級，但會出現m級的誤判偏差。分析實驗結果可得，方差變化法中的閾值選取不當會使收斂精度相對較差，導致m級定位偏差，且該方法的閾值是均值變化法閾值的平方量級，跨度較大，易出現選取不當的情況，最終導致方差變化法性能不穩定。因此，根據PPP定位結果時間序列的特點，考慮誤判概率，對比兩種PPP收斂時間的確定方法，均值變化法要優于方差變化法。

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A Study of Methods in Determining The Precise Point Positioning Convergence Time

ZHOUChengsong1，PENGYue2，3，ZHANGXiaohong2，LIUWenxiang1，WANGFeixue1

(1.School of Electronic Science and Engineering, National University of Defense Technology，Changsha 410073，China；2.School of Geodesy and Geomatics，Wuhan University，Wuhan 430079，China；3.Sichuan Bureau of Surveying Mapping and Geoinformation，Chengdu 610100，China)

Abstract：According to the efficiency problem of precise point positioning(PPP)，this article proposes two methods to determine the PPP convergence times based on the mean and variance changes，and expounds the principle of these methods respectively.PPP is a calculation of position with observation data and the relevant satellite orbit and satellite clock error，finally gets the PPP time series of positioning results.This time series has the characteristic that from non-stationary to smooth and steady.In engineering applications，due to the lack of a method in determining the PPP convergence time，so the PPP observation time which often reaches several hours or even more is usually longer than the convergence time，thus the redundant observations make the work inefficient.This article analyzes if the performance of the two methods in determining the convergence time timely or accurately based on large volumes of measured data，the results show that both the two methods can decide the convergence time，the convergence time decided by the mean-change method is slightly longer than the convergence time decided by the variance-change method，but the convergence time decided by the two methods is mainly in 30min，not longer than 60min.The mean-change method can converge from decimeters to centimeters.The variance-change method can converge to decimeters，but there is meters-miscalculation deviation.

Key words：precise point positioning( PPP)；the time series；convergence time；performance analysis

中圖分類號：P228

文獻標識碼：A

文章編號：2095-4999(2016)-01-0080-08

作者簡介：第一周承松(1991—)，男，江西省吉安市人，碩士生，現從事衛星導航定位技術方面研究。

收稿日期：2015-10-21

引文格式：周承松，彭月，張小紅，等.精密單點定位收斂時間的確定方法研究[J].導航定位學報，2016，4(1)：80-87.(ZHOU Chengsong，PENG Yue，ZHANG Xiaohong，et al.A Study of Methods in Determining The Precise Point Positioning Convergence Time[J].Journal of Navigation and Positioning，2016，4(1)：80-87.)DOI：10.16547/j.cnki.10-1096.20160116.