層狀介質中瑞利波頻散方程的解法綜述

呂政權

（鄭州新鄭綜合保稅區（鄭州航空港區）興港投資發展有限公司 鄭州 450019）

層狀介質中瑞利波頻散方程的解法綜述

呂政權

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近來，求解層狀介質中瑞利波的頻散方程得到了一定的進展。據此，簡要地總結了求解瑞利波頻散方程的發展及其存在的問題，并對各算法進行了評價。

0 引言

瑞利波法是一種新興的地球物理勘探方法，其涉及的問題大致歸結為三個方面：數據的采集和處理、正演理論、數據的解釋及反演。對于層狀介質，其相應的問題是：頻散曲線的提取、頻散曲線的正演理論和頻散曲線的解釋及反演。其中，頻散曲線的正演理論的關鍵在于求解層狀介質中瑞利波的頻散方程。所謂頻散，是指在均質、各向同性彈性定半空間中，瑞利波波速和頻率無關，而在層狀介質中，瑞利波波速將隨頻率的不同而產生多個不同的波速。求解頻散方程，將涉及到數值穩定和計算速度問題。近幾十年來，數值計算方法得到了極大的發展，并在各個領域得到了廣泛的應用。面對經典的頻散方程的解法中存在的高頻數值溢出和精度損失問題，國內外學者做出了卓有成效的研究。

目前，求解瑞利波頻散方程的解法主要有：(1) 傳遞矩陣法及其改進的解析法；(2) 有限元法。

1 傳遞矩陣法及其改進的解析法

瑞利波頻散方程的經典解法是Thomson-Haskell傳遞矩陣法。Thomson (1950)[1]首次利用傳遞矩陣法建立了瑞利波的頻散方程，由于在推導過程中引入了介質層之間位移不連續的假設，他得到結果是不正確的。Haskell(1953) [2]修正了Thomson的結果，得到了正確的瑞利波頻散方程。由于在直接求解Thomson Haskell頻散方程時，存在嚴重的高頻有效數字損失，得到的結果將嚴重失真。為了解決這個問題，國內外學者運用數值計算方法，提出了相應的改進算法。

Knopoff(1964)[3]的方法屬一種類型。Knopoff不從Thomson Haskell的方程出發，而直接用行列式構造頻散方程，然后將這些行列式分解為子行列式的乘積，從而達到了避免高頻有效數字損失的目的。此后，Schwab & Knopoff (1970)[4]建立了完整的求解算法，稱為Schwab-Knopoff法，但此方法過于復雜，不利于廣泛應用。

Dunkin(1965)[5]和Watson(1970)[6]的方法屬δ矩陣法。Dunkin(1965)首次用δ矩陣代替Thomson-Haskell傳遞矩陣的算法，從而消除了方程中的指數函數平方項，克服了高頻有效數字損失。Watson(1970)在求解頻散方程時，將δ矩陣進行了簡化，減少了一定的計算量。凡友華(2001)[7]提出了無量綱實數傳遞矩陣算法，解決了高頻數值溢出及精度損失問題。

Abo-Zena(1979)[8]通過一系列4階反對稱矩陣的循環計算得到了頻散方程，該法除避免了高頻有效數字損失外，還比以前的算法計算效率高。陳云敏(1989)[9]重新組織了Abo-Zena算法，將該法和δ矩陣法結合起來，提出了一種既能克服高頻有效數字損失，又具有快速運算功能的改進的解析法。但陳云敏(1992)[10]指出：對于軟夾層和硬夾層等特殊土層，改進的解析法依然效果不好。呂政權(2013)[11]運用陳云敏(1989)的算法，在頻率-波數域(f-k域)內應用Bisection算法搜索頻散方程的根，修正了改進的解析法不能有效計算軟夾層或硬夾層介質的說法。

2 有限元法

Kausel & Roesset(1981)[12]提出的動力剛度矩陣法屬有限元法。夏唐代(1992)[13]在研究了解析法和有限元法的基礎上，將半無限層采用解析法，成層介質采用有限元法，兩者結合推導了有限元-解析法，但存在效率的問題，且只能得到有限階模態的頻散曲線。呂政權(2014)[14]運用夏唐代(1992)的算法，在頻率-波數域(f-k域)內運用Bisection算法搜索瑞利波頻散方程的根，該方法能快速、有效地求解層狀介質中的瑞利波頻散方程。

3 結語

為了驗證上述解法的準確性、正確性和穩定性，我們分別編制了三類算法的計算機程序：凡友華(2001)的快速矢量算法、呂政權(2013)的改進的解析法、呂政權(2014)的有限元-解析法，并分別作了考題計算。結果表明：以上三種算法均能有效求解層狀介質中瑞利波的頻散方程。快速矢量算法和改進的解析法在計算速度上明顯優于有限元-解析法，是目前較為快速的算法。但有限元-解析法能夠解決更為復雜的層狀介質中的瑞利波頻散特性。

[1] Thomson W T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium[J]. Journal of Applied Physics, 1950, 21(2): 89-93.

[2] Haskell N A. The dispersion of surface wave on multilayered media[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1953, 43(1): 17-34.

[3] Knopoff L. A matrix method for elastic wave problems[J]. Bulletin of the Seismological society of America, 1964, 54(1): 431-438.

[4] Schwab F, Knopoff L. Surface-wave dispersion computations[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1970, 60(2): 321-344.

[5] Dunkin J W. Computation of modal solution in layered elastic media at high frequencies[J]. Bulletin of the Seismological society of America, 1965, 55(2): 335-358.

[6] Waston H T. A note on fast computation of Rayleigh wave dispersion in the multilayered elastic half-space[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1970, 60(1): 161-166.

[7] 凡友華. 層狀介質中瑞利面波頻散曲線的正反演研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業大學, 2001.

[8] Abo-Zena. Dispersion function computations for unlimited of frequency values[J]. Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 1979, 58(1): 91-105.

[9] 陳云敏. 成層土中的瑞利波及其譜分析測試技術[D]. 杭州: 浙江大學, 1989.

[10] 陳云敏, 吳世明. 成層地基的Rayleigh波特征方程的解法[J]. 浙江大學學報(自然科學版), 1991, 25(1): 40-52.

[11] 呂政權, 任青, 鄒宇等. 層狀地基中Rayleigh波頻散方程的改進的解析法[J]. 水資源與水工程學報, 2013, 25(6): 47-50.

[12] Kausel E, Roesset J M. Stiffness matrices for Layered Soils[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1981, 71(6): 1743-1761.

[13] 夏唐代. 地基中表面波特性及其應用[D]. 杭州: 浙江大學, 1992.

[14] 呂政權, 任青, 鄒宇等. 層狀地基中Rayleigh波頻散方程的改進的解析法[J]. 水資源與水工程學報, 2013, 25(6): 47-50.

呂政權(1983-)，男，河南南陽人，工學碩士，主要從事土-結構共同作用、建設項目管理研究。

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1007-6344（2016）03-0264-01

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