計數(shù)原理“門診部”

余永波●

云南省綏江縣第一中學(657700)

計數(shù)原理“門診部”

余永波●

云南省綏江縣第一中學(657700)

數(shù)學老師開辦了一個“病”題診所,專門收治學習中的患病題,下面就分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理中的常見疾病開出如下處方單,望同學們小心預防.

癥狀一、混淆概念

例1 一個包內(nèi)有7本不同的小說書，另一個包內(nèi)有5本不同的小說書，從這兩個包內(nèi)任取一本書的取法有( ).

A.7 種 B.5種 C.12種 D.35種

錯解 共有7×5=35種不同取法，故選D.

分析:病因在于審題時，誤認為所求的是從兩個包內(nèi)各取一本書的不同取法，從而錯誤選用分步乘法計數(shù)原理進行求解.

正解 事件是從兩個包內(nèi)任取一本書，完成這件事有兩類辦法，第一類有7種不同取法，第二類有5種不同取法，則共有7+5=12種不同取法，故選C.

例2 學校閱覽室有多種不同的《考試指南報》若干張，其中必修1的5張，必修3的8張，必修5的10張，李老師想每個模塊借閱1張報紙，則有____種不同借閱方法.

錯解 共有5+8+10=23種不同借閱方法.

分析 病因在于審題時，誤認為所求的是李老師想借閱1張報紙的不同方法，從而錯誤選用分類加法計數(shù)原理進行求解.

正解 事件是借閱3張報紙，且每個模塊各借1張，完成這件事需要分3步，每一步的方法種數(shù)分別是5,8,10，故共有5×8×10=400種不同借閱方法.

注:若完成一件事情是有幾類不同的方法，且每一種方法都能獨立的完成這件事情，則用分類加法計數(shù)原理；若完成一件事情需要分成幾個步驟，且每一個步驟都依次完成才能完成這件事情，則用分步乘法計數(shù)原理.

癥狀二、標準不一，分類重復

例3 某學校高三理科實驗班周二上午安排語文、數(shù)學、英語、物理四門不同的學科，考慮到多種因素，第一節(jié)排數(shù)學或第四節(jié)排物理，那么一共有多少種不同的排法？

錯解 由于第一節(jié)排數(shù)學或第四節(jié)排物理，所以需要分類處理.(1)第一類：數(shù)學排第一節(jié)，分三步完成，先排第二節(jié)，從語文、英語、物理中任選1科有3種不同方法，再排第三節(jié)，從剩余的兩科中任選1科有兩種不同方法，第四節(jié)只能排剩下的1科有1種方法，所以第一類共有3×2×1=6種不同排法；(2)第二類：物理排第四節(jié)，同理有3×2×1=6種不同排法.故根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有6+6=12種不同的排法.

分析 病因在于當數(shù)學排第一節(jié)時，可能物理排在第四節(jié)，此時有2種不同方法，同樣當物理排第四節(jié)時，可能數(shù)學排在第一節(jié)，此時也有2種不同方法，但是它們是相同的.所以本題的解法中沒有注意到這樣分類出現(xiàn)的重復排法，故應減去2種方法.

正解 方法1 由診斷可知共有6+6-2=10種不同的排法.

方法2 由于第一節(jié)排數(shù)學或第四節(jié)排物理，所以需要分類處理.(1)第一類：數(shù)學排第一節(jié)、物理排第四節(jié),分兩步完成，先排第二節(jié)，從語文、英語中任選1科有2種不同方法，第三節(jié)只能排剩下的1科有1種方法，所以第一類共有2×1=2種不同排法；(2)第二類：數(shù)學排第一節(jié)、物理不排第四節(jié),分三步完成，先排第四節(jié)，從語文、英語中任選1科有2種不同方法，再排第二節(jié)，從剩下的2科中任選1科有2種不同方法，第三節(jié)只能排剩下的1科有1種方法，所以第二類共有2×2×1=4種不同排法；(3)第三類：數(shù)學不排第一節(jié)、物理排第四節(jié),同(2)類似，共有2×2×1=4種不同排法.故根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有2+4+4=10種不同的排法.

注:使用分類加法計數(shù)原理解題時，要注意檢驗分類標準，要做到分類正確，且不重不漏，即每一類的交集是空集，所有類的并集是全集.

癥狀三、選錯元素，混淆分步

例4 4名同學報名參加數(shù)學、物理、化學學科競賽，若要求每科競賽必須有1人且只能有1人參加，問有多少種不同的報名方法？

錯解 第1名同學可以從數(shù)學、物理、化學中任選1科報名，共有3種不同的方法.同理第2、第3、第4名同學的報名方法各有3種不同的方法，所以由分步乘法計數(shù)原理共有3×3×3×3=34種不同的報名方法.

分析 病因在于對于完成報名這件事選錯了元素，分步錯誤，因為假如4名同學都選數(shù)學學科報名，4步都做完，但是不滿足條件每科競賽必須有1人參加.

正解 完成事件“數(shù)學、物理、化學競賽必須有一人且只能有1人參加”，故元素“學科”必須用完，元素“同學”可以重復，則應以元素“學科”為主分步完成，數(shù)學、物理、化學分別有4種選擇，由分步乘法計數(shù)原理知共有4×4×4=43種不同的報名方法.

注:對于一類元素可以重復選取的計數(shù)問題，需認真理解題意，弄清事件，弄清哪類元素必須用完，弄清哪類元素可以重復使用，就以必須用完的元素為主進行分步完成事件，再用分步乘法計數(shù)原理來求解.

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