計數原理“門診部”

余永波●

云南省綏江縣第一中學(657700)

計數原理“門診部”

余永波●

云南省綏江縣第一中學(657700)

數學老師開辦了一個“病”題診所,專門收治學習中的患病題,下面就分類加法計數原理和分步乘法計數原理中的常見疾病開出如下處方單,望同學們小心預防.

癥狀一、混淆概念

例1 一個包內有7本不同的小說書，另一個包內有5本不同的小說書，從這兩個包內任取一本書的取法有( ).

A.7 種 B.5種 C.12種 D.35種

錯解 共有7×5=35種不同取法，故選D.

分析:病因在于審題時，誤認為所求的是從兩個包內各取一本書的不同取法，從而錯誤選用分步乘法計數原理進行求解.

正解 事件是從兩個包內任取一本書，完成這件事有兩類辦法，第一類有7種不同取法，第二類有5種不同取法，則共有7+5=12種不同取法，故選C.

例2 學校閱覽室有多種不同的《考試指南報》若干張，其中必修1的5張，必修3的8張，必修5的10張，李老師想每個模塊借閱1張報紙，則有____種不同借閱方法.

錯解 共有5+8+10=23種不同借閱方法.

分析 病因在于審題時，誤認為所求的是李老師想借閱1張報紙的不同方法，從而錯誤選用分類加法計數原理進行求解.

正解 事件是借閱3張報紙，且每個模塊各借1張，完成這件事需要分3步，每一步的方法種數分別是5,8,10，故共有5×8×10=400種不同借閱方法.

注:若完成一件事情是有幾類不同的方法，且每一種方法都能獨立的完成這件事情，則用分類加法計數原理；若完成一件事情需要分成幾個步驟，且每一個步驟都依次完成才能完成這件事情，則用分步乘法計數原理.

癥狀二、標準不一，分類重復

例3 某學校高三理科實驗班周二上午安排語文、數學、英語、物理四門不同的學科，考慮到多種因素，第一節排數學或第四節排物理，那么一共有多少種不同的排法？

錯解 由于第一節排數學或第四節排物理，所以需要分類處理.(1)第一類：數學排第一節，分三步完成，先排第二節，從語文、英語、物理中任選1科有3種不同方法，再排第三節，從剩余的兩科中任選1科有兩種不同方法，第四節只能排剩下的1科有1種方法，所以第一類共有3×2×1=6種不同排法；(2)第二類：物理排第四節，同理有3×2×1=6種不同排法.故根據分類加法計數原理，共有6+6=12種不同的排法.

分析 病因在于當數學排第一節時，可能物理排在第四節，此時有2種不同方法，同樣當物理排第四節時，可能數學排在第一節，此時也有2種不同方法，但是它們是相同的.所以本題的解法中沒有注意到這樣分類出現的重復排法，故應減去2種方法.

正解 方法1 由診斷可知共有6+6-2=10種不同的排法.

方法2 由于第一節排數學或第四節排物理，所以需要分類處理.(1)第一類：數學排第一節、物理排第四節,分兩步完成，先排第二節，從語文、英語中任選1科有2種不同方法，第三節只能排剩下的1科有1種方法，所以第一類共有2×1=2種不同排法；(2)第二類：數學排第一節、物理不排第四節,分三步完成，先排第四節，從語文、英語中任選1科有2種不同方法，再排第二節，從剩下的2科中任選1科有2種不同方法，第三節只能排剩下的1科有1種方法，所以第二類共有2×2×1=4種不同排法；(3)第三類：數學不排第一節、物理排第四節,同(2)類似，共有2×2×1=4種不同排法.故根據分類加法計數原理，共有2+4+4=10種不同的排法.

注:使用分類加法計數原理解題時，要注意檢驗分類標準，要做到分類正確，且不重不漏，即每一類的交集是空集，所有類的并集是全集.

癥狀三、選錯元素，混淆分步

例4 4名同學報名參加數學、物理、化學學科競賽，若要求每科競賽必須有1人且只能有1人參加，問有多少種不同的報名方法？

錯解 第1名同學可以從數學、物理、化學中任選1科報名，共有3種不同的方法.同理第2、第3、第4名同學的報名方法各有3種不同的方法，所以由分步乘法計數原理共有3×3×3×3=34種不同的報名方法.

分析 病因在于對于完成報名這件事選錯了元素，分步錯誤，因為假如4名同學都選數學學科報名，4步都做完，但是不滿足條件每科競賽必須有1人參加.

正解 完成事件“數學、物理、化學競賽必須有一人且只能有1人參加”，故元素“學科”必須用完，元素“同學”可以重復，則應以元素“學科”為主分步完成，數學、物理、化學分別有4種選擇，由分步乘法計數原理知共有4×4×4=43種不同的報名方法.

注:對于一類元素可以重復選取的計數問題，需認真理解題意，弄清事件，弄清哪類元素必須用完，弄清哪類元素可以重復使用，就以必須用完的元素為主進行分步完成事件，再用分步乘法計數原理來求解.

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