一題多變 培養初中生深度探究的習慣

?江蘇省南通市通州灣三余初級中學 姜海平

1 引言

以一題多變切入教學，是對傳統教學方式的一次變革.教師改變了原先的就題論題的教學方式，而是指導學生抓數學題目的本質，在“變”與“不變”中體會知識的發生、發展過程，進而培養他們深度探究的習慣.

2 改變條件，提升探究的廣闊度

一題多變能讓學生集中思維，思考類似的問題，進而提升他們解決問題的能力.教師可先讓學生試著改變問題的條件，讓他們思考會出現什么樣的情況.改變條件能讓學生體會到由什么樣的條件能得出什么樣的結論，進而提升探究的廣闊度.

以下面這題為例，如圖1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，點D為垂足，AE平分∠BAC交BC于點E.求證：CE∶EB=CD∶CB.

圖1

圖2

學生先由結論想到，這可能需要證線段所在的三角形相似.當學生發現這一思路有困難時，他們就想是不是可以找一個中間的條件過渡一下.于是他們過點E作EH⊥AB于點H，進而求得△BEH∽△BCD，得出HE∶DC=EB∶CB，進而推斷CE∶EB=CD∶CB.教師讓學生想一想如果加一個條件會怎么樣，教師問：假如FG∥AB交BC于點G，如圖2所示，能否證明CE=BG？這其實就是讓學生利用原先的題目情境，將思維往深處漫溯，讓他們在多一個條件的情況下，思考更多的可能.學生會想原先的題目中有哪些條件可用，原先的思路要不要發生改變，探究的范圍進一步拓展.學生先從原先的AE平分∠BAC，EH⊥AB，EC⊥AC等條件中得出EC=EH，∠CAE=∠BAE，∠CEA+∠CAE=∠AFD+∠BAE=90°，進而進一步推斷出∠CEA=∠CFE，再推斷出FC=EC，FC=EH.對于新增加的條件，他們想到了∠CGF=∠CBD，∠CFG=∠CDB，進而推斷出△CFG≌△EHB，最終得出CG-EG=EB-EG，即CE=BG.條件改變了，學生探究的方式也發生了變化，他們在原先的基礎上創新了解決問題的方式.

3 改變結論，提升探究的階梯度

學生在做完教師設置的問題后，不管對不對，都會繼續下一題.其實，教師可以讓學生對原先的題目進行充分的思考.如果這道題不會做，就想一想會不會有別的結論自己能夠證明或者解讀；如果題目會做，就想一想是不是還能推出其他結論.這樣的思考方式能讓學生進行階梯性的探究，也就是當學生不會做題時，就思考一些稍微簡單的結論；如果會做，就進行進一步的拓展.因此在教學的過程中，教師要讓學生養成一題多變的習慣，要讓他們在改變結論的過程中，促進思維朝著適切的方向發展.

還以圖1涉及的題目為例，一學生沒辦法證明教師給出的結論，但是他在畫圖的過程中，發現CE可能等于CF(CD⊥AB，CD與AE交于點F)，證明這樣的結論簡單一點.教師允許學生更改結論，只要他們能基于問題不斷思考.學生從AE平分∠BAC這一條件出發，得出∠CAE=∠BAE，再從∠ACB=90°，CD⊥AB，得出∠CEA+∠CAE=∠AFD+∠BAE=90°，則∠CEA=∠AFD.最后，學生由∠CFE=∠AFD這一條件得出∠CEA=∠CFE，CE=CF.教師設置的問題不一定適合學生，允許學生就題目的結論做出一定的修改.一方面，能讓基礎差的學生也獲得成功的喜悅；另一方面，能讓基礎好的學生獲得進一步拓展的空間.學生在探究的過程中，最容易出現的現象就是教師設置的問題，學生不是嫌難，就是嫌簡單.因此不斷地變換結論，就能滿足不同層次學生的需求，也能培養他們循序漸進探究的習慣.

4 改變思路，提升探究的靈活度

一題多變，還要體現解題思路的多變，即學生要能從不同的角度思考問題，靈活地運用所學認知.因此教師要以設置開放式問題為主，讓學生從多元的角度展開思考.教師對學生的評價也要體現出“變”，即要肯定學生多樣的解題方式.換言之，教學中，教師要創設更多的一題多解的題目，促使學生在解決問題的過程中實現思維的多樣化.例如，如圖3所示，已知AB=AC，E是AC延長線上的一點，且有BF=CE，連接FE交BC于點D.求證：FD=DE.

圖3

圖4

圖5

學生先從結論出發進行思考，他們的慣性思維認為要證明兩條線段相等，就是要證明線段所在的三角形是全等三角形，但是單從直觀沒發現有全等的三角形，他們想到了作輔助線，創設全等三角形，進而證得兩條線段相等.如圖4所示，學生先過點E作EM∥AB交DC的延長線于點M，從∠M=∠B出發，結合∠ACB=∠B，∠ACB=∠ECM，得出∠ECM=∠M，進而推出CE=EM.再由EC=BF推出EM=BF.又∠BFD=∠DEM，最后得出△DBF≌△DME，進而有FD=DE.

在學生得出第一種方法之后，教師讓他們思考有沒有第二種方法也能解決相同的問題.學生思考第二種方法會不會就是作輔助線的方式不同.受第一種方法的影響，如圖5所示，他們想到從另外一個點出發，也作一條平行線.他們想到過點F作FM∥AE，交BD于點M.學生有了新的想法，教師就要給他們充分思考的時間，讓他們體驗這一想法.他們從∠1=∠2=∠B中得出BF=FM；又根據∠4=∠3，∠5=∠E得到△DMF≌△DCE，進而推斷出FD=DE.可見教師指導學生變換解法，能培養他們靈活解決問題的能力，也讓思維愈發敏捷.

5 改變講法，豐富探究的深度

對于一題多變，教師最主要的目的就是讓學生多方位地展示他們的思維能力，讓他們就一個題目，不斷發散思維，不斷促進素養的生長.一題多變的關鍵在于“變”，教師可以采取不同的教學方式，不斷地展示教學的“變”，進而促進學生的“變”.在教學中，教師可以改變原先由教師講題的方式，進而轉為讓學生自己講.這個“變”能讓學生更直接地參與題目的探究，能讓他們在互為師徒的過程中，能力得到再提升.學生講解的過程中，會遇到更多的問題，他們能在討論的基礎上找到新的方法，探究也就由表面不斷抵達內核.

圖6

教師先展示這樣一題：如圖6所示，點C為線段AB上一點，△ACM，△CBN是等邊三角形.求證：AN=BM.

先是小組的一個學生自告奮勇地講解解題思路：因為△ACM，△CBN是等邊三角形，所以MC=AC，CN=CB，∠ACN=∠MCB，進而得出△ACN與△MCB全等，最終得出AN等于BM.最后，講解者總結思路：證明線段相等，可以從全等開始.

接著小組長問能不能再發現一些結論.有組員想到連接DE，看能不能求得△DCE是等邊三角形.一學生說，只要證明△ADC≌△MEC，就能得出DC=EC；又因為∠DCE=60°，所以△DCE是等邊三角形.進而又有學生提出能不能證明DE∥AB.大多數學生都想到了只要證明∠EDC=∠ACM=60°，就能得出DE∥AB.一題多變在這個環節變成了以學生為主的提出問題與解決問題，教師只需做適當的引領.在學生想不到別的問題時，教師問：連接CF，可以看出什么？學生先猜想，CF可能平分∠AFB.接著一個學生站起來說，過點C作CG⊥AN于點G，CH⊥BM于點H，再由△ACN≌△MCB，就能得出CG=CH，進而就有CF平分∠AFB.改變講法，就能激發學生更多的主觀能動性，讓數學課堂豐富而多變.

6 結束語

教師讓學生關注一題多變，其實就是進一步拓展學生的思維能力，就是培養他們以階梯方式進行分析和判斷的能力，在求“變”的過程中，學生自身的數學學習素養也得到提升.因此，教師要積極引導學生參與一題多變的實踐，從而提升他們的探究能力.