光纖陀螺隨機誤差的重疊分段Allan分析方法

陳永冰，查 峰，劉 勇

（海軍工程大學 導航工程系，武漢 430033）

光纖陀螺隨機誤差的重疊分段Allan分析方法

陳永冰，查 峰，劉 勇

（海軍工程大學 導航工程系，武漢 430033）

針對光纖陀螺隨機誤差的特點，研究一種有效估計其各種噪聲成分系數的Allan方差分析方法。首先，探討了光纖陀螺隨機誤差分析中，Allan方差擬合系數為負的原因及利用經典方差方法分析的前提。而后，分析了連續分段的Allan方差分析方法。該方法針對每種噪聲的不同相關時間對Allan方差曲線進行連續分段擬合，但方法人為分離了相關時間相近的噪聲成分，因此將導致較大擬合誤差。為此，提出基于重疊分段的Allan方差分析方法，方法根據Allan方差雙對數曲線及噪聲特點對相關時間進行混合重疊分段，將相關時間相近的不同噪聲化為同一區段，同時為減小相鄰區段噪聲的方差貢獻帶來的擬合誤差，擬合時將相鄰的冪次項納入擬合模型，提高了擬合精度。光纖陀螺實測數據的分析結果表明，該方法的擬合誤差比連續分段Allan方差分析方法減小2/3。

Allan方差；光纖陀螺；隨機誤差；分段擬合

Allan方差是由美國國家標準局的David Allan為時鐘系統中的特征噪聲和穩定性分析而提出的時域分析方法，其主要特點是能非常容易地對各種類型的誤差源和整個噪聲統計特性進行辨識[1-2]。一般認為，光學陀螺隨機誤差主要包括量化噪聲、角度隨機游走、零偏不穩定性、角速率隨機游走、速率斜坡和正弦分量[3-4]。對于這些隨機誤差，常規的分析方法（如計算樣本均值和方差）并不能揭示出潛在的誤差源。雖然自相關函數和功率譜密度函數能夠分別從時域和頻域描述隨機誤差的統計特性，但很難分離出這些隨機誤差。因此，Allan方差分析方法廣泛應用于光纖陀螺的隨機誤差分析中。此外，總方差、#1理論方差也經常應用于系統長時間頻率穩定性分析問題中[5-6]。但總方差的數據延伸使其不能真實反映被測系統的性能。利用#1理論方差分析對光纖陀螺分析時，除角度隨機游走外，其他噪聲項標準差相對于Allan方差存在偏差。因此，Allan方差成為IEEE推薦的陀螺噪聲過程特性分析方法。

Tehrani M第一次將Allan方差應用到激光陀螺的隨機噪聲分析中[7]，隨后得到廣泛應用。在Allan方差分析中，由于噪聲特點、擬合模型等因素的影響，導致其系數擬合誤差較大。文獻[8]提出采用分段 Allan方差的方法進行光纖陀螺誤差分析。同時，張梅[9-10]在激光陀螺的隨機噪聲分析中認為 Allan方差各噪聲項的功率譜不合理而導致擬合系數為負，并基于噪聲為阻尼振蕩的假設，提出利用經典方差進行激光陀螺的誤差分析，并通過大量實驗驗證了方法的有效性。該方法的前提是陀螺噪聲中不快不慢類噪聲可以忽略。試驗發現，與激光陀螺不同，光纖陀螺的噪聲輸出中含有低頻振蕩成分，這正是基于阻尼振蕩理論中的不快不慢類噪聲項，因此文獻的方法難以實現對光纖陀螺的隨即噪聲分析。此外，在實際光纖陀螺噪聲分析中，文獻連續分段方法難以準確找到每一噪聲成分的頻率分界點，甚至在某特定的τ域內相關時間相近的兩種噪聲對 Allan方差均有貢獻，對其進行連續分段擬合可能產生較大誤差。

為此，本文提出一種基于混合重疊分段的光纖陀螺噪聲分析方法。該方法根據 Allan方差雙對數曲線及噪聲相關時間特點對τ域進行重疊混合分段，根據τ域內的噪聲成分和特點，將相關時間相近的不同噪聲化為同一區段，同時為減小相鄰區段噪聲的方差貢獻帶來的擬合誤差，擬合時將相鄰頻段內τ的冪次項納入擬合模型。實驗室條件下的光纖陀螺測試和數據分析表明，該方法能夠有效估計出各噪聲成分及其系數，可為光纖陀螺的性能評價及信號處理提供參考。

1 光纖陀螺的Allan方差分析及局限

1.1 Allan方差定義及分析過程

現以光纖陀螺的角速率輸出為采樣，闡述 Allan方差分析過程。設光纖陀螺的輸出角速率采樣間隔為0τ，采樣長度為 N。將采集的 N個數據分成 K組（K=N/M），每組包含 M(M≤(N-1)/2)個采樣數據，每一組數據的時間長度為稱為相關時間。對每一組數據求平均值，記為：

Allan方差定義為：

在實際陀螺測試中，數據長度和分組數決定了Allan方差的估計精度[2]。

根據Allan方差的定義，基于陀螺隨機過程為平穩過程的假設，可推導出Allan方差與原始測量數據中噪聲項的雙邊功率譜密度存在以下關系：

根據各噪聲項的功率譜密度，光纖陀螺的量化噪聲（Q）、角度隨機游走（N）、零偏不穩定性（B）、角速率隨機游走（K）、速率斜坡（R）、馬爾科夫噪聲（M）和正弦噪聲（S）的Allan方差分別為：

由于各噪聲的相關時間不同，不同的噪聲項出現在不同的τ域上。在假設各噪聲源統計獨立情況下，常規文獻認為，由于馬爾科夫噪聲（M）和正弦噪聲(S)的影響較小且不易觀察，在實際分析中忽略，因此Allan方差的擬合模型可以表示為：

對陀螺輸出的Allan方差雙對數曲線進行擬合即可求出各多項式系數，根據式(5)，即可求得各噪聲系數。由于方差較小，為了提高實際擬合精度，一般對Allan標準差進行擬合。

1.2 Allan方差分析的局限

Allan方差分析方法的突出優點是能容易地對各種類型的誤差源和整個噪聲統計特性進行細致的表征與辨識。但實際陀螺測試和誤差分析中，由于存在許多非確定性誤差的影響，其結果通常難以與實際情況相符。

首先，對實驗室的2只光纖陀螺進行了測試，將光纖陀螺固定在調平的轉臺上，采集其輸出數據，數據采樣間隔1 s。為剔除溫度變化引起的陀螺漂移對光纖陀螺噪聲分析的影響，數據分析時截取溫度穩定后的陀螺輸出數據。為便于比較分析不同特征時間的噪聲的精度和重復性，分別進行了 20組不同時間的測試試驗（其中10組為短時長測試，測試時間為6 h，10組為長時長測試，測試時間約為12 h）。圖1為2只陀螺在長時間測試中的典型輸出曲線。（1 min平滑結果，為最大程度利用數據長度，未對采集數據截斷取整小時處理）。

圖1 光纖陀螺輸出數據Fig.1 FOG’s Output

表1 短時測試數據的Allan方差分析結果Tab.1 Results of Allan variance analysis for normal-time test data

表2 長時測試數據的Allan方差分析結果Tab.2 Results of Allan variance analysis for long-term test data

根據Allan方差的分析方法及過程，分別對2只光纖陀螺的10組短時和10組長時測試數據進行了Allan方差噪聲分析，短時數據分析時相關時間取3 000 s，長時數據分析時相關時間取為6 000 s。短時和長時測試數據的Allan方差分析結果分別如表1和表2所示（限于篇幅，僅在表中給出其中6組數據的分析結果）。

對比表1和表2可以看出，在短時間測試和長時間測試兩種測試條件下，陀螺1和陀螺2的前三項噪聲相對穩定，噪聲系數變化不大，這表明量化噪聲、角度隨機游走、零偏不穩定性這三項噪聲具有較短的相關時間，經過 6 h的測試能較好的擬合出其系數。而速率游走和速率斜坡噪聲系數在短時測試和長時測試數據的分析中，系數差別較大，因為這兩類噪聲具有較長的相關時間，短時間測試不能準確估計出其噪聲系數。若要估計這兩類噪聲系數，需增加測試時間，使兩類噪聲系數逐漸趨于穩定。但同時，速率游走系數出現了負值，這顯然與實際不符。為清楚顯示，分別取2只陀螺的其中1組長時間測試數據的Allan方差及擬合結果，如圖2和圖3所示。從圖中可以看出，擬合曲線與Allan方差曲線存在較大擬合誤差。Allan方差擬合系數與實際不符的主要原因在于，在進行光纖陀螺隨機噪聲分析時，忽略了馬爾科夫噪聲和正弦噪聲等其它類型噪聲影響，而此類型噪聲的 Allan方差表現出相關時間的不同冪次關系，擬合過程存在較大誤差。因此，連續 Allan方差分析方法難以準確估計出其各噪聲項系數。

圖2 陀螺1 長時間測試數據的Allan方差擬合曲線Fig.2 Allan variance fitting curve of FOG 1 for long-term test data

圖3 陀螺2長時間測試數據的Allan方差擬合曲線Fig.3 Allan variance fitting curve of FOG 2 for long-term test data

2 基于阻尼振蕩假設的經典方差分析及前提

2.1 外 推

文獻[9-10]在進行激光陀螺隨機噪聲分析時，也遇到了相關系數擬合為負值的問題，為有效進行激光陀螺的噪聲分析，文獻[9-10]基于高伯龍院士[11]提出的陀螺噪聲信號為阻尼振蕩的假設，利用其阻尼振蕩的弛豫時間不同將噪聲分為快漂，慢漂和不快不慢項，在進行了大量的試驗的基礎上提出利用經典方差進行不同陀螺噪聲系數擬合的方法。

文獻[9-10]指出，假設除量化噪聲外，陀螺噪聲符合阻尼振蕩形式，可將陀螺噪聲的功率譜表示為阻尼振蕩功率譜與量化噪聲的功率譜之和。根據經典方差與頻率表達式的關系得到陀螺噪聲的標準方差可以表示為：

式中：

文獻[9-10]根據采樣周期與弛豫時間的大小，將噪聲分為慢漂、快漂、不快不慢項3類。綜合上述噪聲特點，對進行相應簡化，得經典方差為：

式中：下標m′、m′′和m的分別表示慢漂、快漂和不快不慢項對方差的貢獻。將式(8)中τ的系數寫成a1、，化為：

由上式可以看出，在經典方差中，慢漂類噪聲對于陀螺的方差的影響表現為，快漂類的噪聲的影響主要表現為而不快不慢項的影響形式較為復雜。文獻[9-10]認為激光陀螺的不快不慢類噪聲較小，忽略式(8)最后一項后得到經典方差各系數取值的結論：a-1≥0，a0≥0，a1≤0，a-2和a2不確定。

因此，通過對測試數據的經典方差擬合，可以求得其冪次項系數。但為保證足夠的擬合精度，數據長度一般大于為此對2只陀螺的10組長時間測試數據進行了經典方差分析，10組數據擬合的噪聲系數的均值和標準差如表3所示。

表3 經典方差分析結果Tab.3 Result of traditional variance analysis

從表3可以看出，經典方差擬合的系數符號符合文獻[9-10]結論。但是該系數與Allan方差分析的系數差別較大，主要是因為兩者劃分的噪聲類型不一致。經典方差擬合按照噪聲的弛豫時間將噪聲分為快漂、慢漂和不快不慢項三類，其冪次項系數是不同噪聲綜合作用的結果，其大小并不能真正揭示各噪聲成分的大小。另外，上述經典方差擬合系數取值的結論成立的前提為陀螺噪聲中不快不慢類噪聲較小，可以將其忽略。實際上，在某些光纖陀螺中存在不快不慢類噪聲成分，且不能忽略，若按文獻[9-10]的擬合模型進行擬合導致其擬合系數取值結論與文獻不符。圖4為某型光纖陀螺的輸出噪聲[12]，利用經典方差擬合系數為

圖4 光纖陀螺隨機噪聲輸出Fig.4 Output of FOG random noise

由此可見基于阻尼振蕩假設的經典方差分析，其擬合系數是不同噪聲成分作用結果，難以揭示各噪聲成分的大小。同時，該分析方法的前提為陀螺噪聲中不快不慢類噪聲可以忽略，某些光纖陀螺實際輸出特性不能滿足該前提。

3 基于混合分段的Allan方差分析

3.1 連續分段Allan方差分析

針對本文研究的光纖陀螺，Allan方差傳統擬合模型存在較大誤差，其噪聲特點又不滿足基于阻尼振蕩假設的經典方差分析的前提，因此利用兩種方法難以準確衡量陀螺性能。

文獻[8]提出利用分段Allan方差的方法進行系數擬合。該方法認為在雙對數曲線中每一特征段內只有一種噪聲起主導作用，根據 Allan方差擬合曲線不同斜率確定不同噪聲的分段點，利用曲線分段外推各個噪聲系數。但在實際光纖陀螺噪聲分析中，每個頻域都可能存在噪聲，因此準確找到每一噪聲的分界點較為困難，甚至在某特定的τ域內相關時間相近的兩種噪聲在Allan方差都有貢獻，對其進行連續分段后利用對應多項式擬合可能產生較大誤差。

以陀螺1為例，利用上述方法對長時間的測試數據進行分段 Allan方差分析，其中一組數據的 Allan方差擬合曲線在0～300 s的斜率如圖5所示。

從圖5可以看出，較短相關時間的噪聲（對應量化噪聲和隨機游走噪聲）的 Allan方差曲線斜率并不是由-1變為-1/2的折線，因此量化噪聲和隨機游走噪聲的相關時間沒有明確的界限，在短時間內該兩種類型噪聲對 Allan方差都有貢獻，并不能通過斜率來直接劃分噪聲相關時間分界點。

圖5 陀螺1的 Allan方差斜率Fig.5 Slope of Allan variance curve of FOG 1

分段擬合系數為A-2=0.12和A-1=0.001387，擬合曲線如圖6和圖7所示，從圖可以看出，其兩個分段內都存在較大擬合誤差，其中系數A-2誤差尤為明顯，擬合均方差分別為0.09270.0677

圖6 陀螺1的 Allan方差擬合曲線（第1段）Fig.6 Allan variance fitting curve of FOG 1 in section 1

圖7 陀螺1的 Allan方差擬合曲線（第2段）Fig.7 Allan variance fitting curve of FOG 1 in section 2

因此在一定的τ域內，相關時間相近的兩種噪聲對 Allan方差都有貢獻，連續分段擬合的方法難以準確估計出光纖陀螺的各噪聲成分系數。

3.2 重疊分段Allan方差分析

針對上述方差分析出現的問題，提出一種基于重疊分段的光纖陀螺噪聲分析方法。該方法根據 Allan方差雙對數曲線及噪聲相關時間特點對τ域進行重疊混合分段，根據τ域內的噪聲成分和特點，將相關時間相近的不同噪聲化為同一區段；同時，為減小相鄰區段噪聲的方差貢獻帶來的擬合誤差，擬合時將相鄰頻段內τ的冪次項納入擬合模型。由于速度游走和速率斜坡系數相關時間較長，現以2只陀螺的10組長時間測試數據進行分析。限于篇幅，給出其中1組數據的分析過程和擬合曲線，10組數據的分析結果在后文列表中給出。

根據各噪聲的特點和相關時間，選取第一區段為0～500 s，此區段內的噪聲主要為量化噪聲和隨機游走，同時考慮零偏不穩定性噪聲的影響，將擬合模型選為：

據此，對其中1組長時間測試數據輸出的模型擬合的結果如圖 8所示，其擬合系數為A-2=0.1625，，擬合均方差為0.0293。陀螺2的擬合系數為，擬合均方差為 0.0216。A0加入模型只是為了減小擬合誤差，其值不予采信，其系數將在其主要作用區段內進行擬合。

圖8 陀螺1 的Allan方差擬合曲線（第1段）Fig.8 Allan variance fitting curve of FOG 1 in section 1

選取第二區段為300～3 000 s，此區段內的噪聲主要為零偏不穩定性噪聲，同時考慮隨機游走和速率游走的影響，其擬合模型為：

據此，對其中1組長時間測試數據輸出的模型擬合的結果如圖9所示，擬合系數為A0=6.5427×10-3，擬合均方差為0.032 0。Y陀螺的擬合系數為A0=5.257 7 ×10-3，擬合均方差為0.035 4。

圖9 陀螺1 Allan方差擬合曲線（第2段）Fig.9 Allan variance fitting curve of FOG 1 in section 2

第三區段1000～10 000 s，此區段內的噪聲主要為速率游走和速率斜坡噪聲，同時考慮零偏不穩定性的影響，其擬合模型為：

據此，對其中1組長時間測試數據輸出的模型擬合結果如圖10所示，擬合系數為，擬合均方差為0.02878。陀螺2的擬合系數為擬合均方差為0.02545。

圖10 陀螺1 Allan方差擬合曲線（第3段）Fig.10 Allan variance fitting curve of FOG 1 in section 3

上述分析可知，重疊分段 Allan方差分析方法的擬合均方差均小于連續分段Allan方差分析方法。

利用連續分段 Allan方差分析方法和重疊分段Allan方差分析方法，分別對2只陀螺的10組長時間測試數據進行分析。為清楚顯示，將兩種分析方法對2只光纖陀螺長時間測試數據的噪聲系數分析結果和擬合均方差的均值列入表4和表5。

表4 兩種分段Allan方差分析結果（陀螺1）Tab.4 Result of two variance analysis methods(gyro 1)

表5 兩種分段Allan方差分析結果（陀螺2）Tab.5 Result of two variance analysis methods(gyro 2)

從表4和表5可以看出，重疊分段的Allan分析方法擬合誤差比連續分段分析方法減小了2/3。同時，比較表4和表5可知，重疊分段分析中兩個陀螺的量化噪聲相當，而連續分段分析中該項系數變化較大。由于兩個陀螺均采用同一塊采樣計數電路，因此量化噪聲相當，故重疊分段分析結果更加可信。同時，兩陀螺的隨機游走和零偏不穩定性噪聲相當，與陀螺標稱性能符合。但陀螺1的速率游走和速率斜坡項較大，與之相比陀螺2的性能更為優越。由于進行了混合分段，減小了在噪聲成分分布不均勻時，利用總體五項多項式擬合造成的擬合誤差，隔離了不同類型噪聲對相關時間相差較遠的噪聲擬合系數的影響。同時，也避免了相關時間相近的噪聲被連續分段隔離而導致其系數擬合誤差。

4 結 論

針對光纖陀螺隨機誤差的特點，提出了一種重疊分段 Allan方差分析方法，有效估計出光纖陀螺各種噪聲成分系數。首先，分析了常規 Allan方差分析中出現噪聲擬合系數為負的原因，探討了利用經典方差方法分析的前提。其次，在分析連續分段 Allan方差擬合方法后，指出該方法人為分離了相關時間相近的噪聲成分，將導致較大擬合誤差。最后，提出了重疊分段的Allan方差分析方法，該方法根據噪聲特點對相關時間進行混合重疊分段，在不同分段內對不同噪聲的 Allan方差曲線進行擬合，有效估計各噪聲成分系數。光纖陀螺實測數據的分析結果表明，該方法的擬合誤差比連續分段Allan方差分析方法減小2/3。

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Overlap-section Allan variance analysis method for FOG random errors

CHEN Yong-bin, ZHA Feng, LIU Yong

(Navigation Engineering Department, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

According to the characteristic of the random errors of fiber optic gyro (FOG), an Allan variance analysis method is proposed, which can effectively evaluate the different noise coefficients. First, the reason why the fitting coefficient of Allan variance is negative is discussed, and the premise that traditional variance method used to analyze is given. Then, the piecewise fitting method for Allan variance curve is studied. In this method, the Allan variance curve is piecewise fitted according to different correlation time of different noises, but the noises with similar correlation time are separated rigidly, which could cause fitting errors. Therefore a overlapping piecewise fitting method for Allan variance curve is proposed, in which the different noises with similar correlation time are divided into the same fitting section. The items of polynomial in the adjacent section are added into the fitting model to improve the fitting precision. The analysis results of FOG test data indicate that, compared to those of the piecewise fitting of Allan variance, the fitting errors of the proposed method are reduced by one-third.

Allan variance; fiber optic gyro; random error; piecewise fitting

U666.1

A

1005-6734(2016)02-0235-07

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.02.018

2015-12-25

2016-03-20

國家自然科學基金（61503404，41574069）；海軍工程大學青年自然科學基金（HGDYDJJ15006）

陳永冰（1964—），男，教授，從事組合導航研究。E-mail: hgcyb@163.com

聯 系 人：查峰（1984—），男，講師，博士。E-mail: zha_feng@126.com