《周易》數理是什么？

王 俊 龍

(高等學校文科學術文摘 雜志社，上海 200234)

?

《周易》數理是什么？

王 俊 龍

(高等學校文科學術文摘 雜志社，上海 200234)

摘要：對《周易》數理的認識，有以下六個方面的內容值得注意：一是太極的數理內涵；二是從邏輯的角度分析《周易》中的數理性質；三是布爾代數中存在的概念(或記號)錯誤；四是無限與“無”的本質聯系；五是通過太極代數而證明的哲理與數理的統一性；六是《周易》數理中蘊含的新知識。

關鍵詞：《周易》；太極代數；布爾代數；邏輯；數理；“無”

一、緣起：個人經歷的《周易》數理研究

筆者的《周易》數理研究自1990年至今已持續20余年*筆者原為拙著《〈周易〉經傳數理研究》(人民出版社2015年)寫了導言和結語，但因受篇幅和論域的雙重限制，這兩部分最終都未能隨書稿一起出版。結語的部分內容后來以《太極數理哲學：身心統一的世界觀》為題刊于《學術月刊》2013年第6期；本文則是導言的主要內容，發表時新添加了一些必要的注釋。需要說明的是，本文中“本文”有時也可代指拙著《〈周易〉經傳數理研究》。文中關于《周易》數理的內容、哲學的根本問題等方面聽取了審稿專家的意見并添加了注釋加以說明，在此表示由衷的感謝！。一開始接觸的是演卦中的數理研究，這一研究有整十年時間，是第一階段。第二階段是《卦序》中的數理研究，共發表4篇專題論文，這一階段前后花費約五六年時間。第三階段是讀博3年所做的《周易》文本中的數理研究，完成了博士學位論文《〈周易〉中的數理研究》。第四階段筆者自己稱之為“博士后”的《周易》數理研究階段。

筆者的《周易》數理研究有兩次重要的或決定性的轉折：一次是筆者于2006年起師從陳衛平先生攻讀中國哲學史博士研究生課程，并于2009年通過博士學位論文答辯?！吨芤住肥且徊扛缓瑪道淼恼軐W經典，其數理與哲理是緊密聯系在一起的。在陳老師的指導下，筆者在思考數學問題的同時也思考專業性的哲學問題，這就使筆者的數學觀帶有很強的哲學意味，或者說，筆者的哲學觀受到數學的深刻影響。一次是筆者于2000年發現“太極代數”*這里要申明的是，筆者發現的太極代數完全不同于譚曉春先生提出的太極代數，盡管他用太極命名代數結構早于筆者。參見譚曉春：《太極代數》，《周易研究》1992年第1期。，筆者用太極命名的太極代數是一種新的、有別于布爾代數的邏輯代數，可稱之為非布爾代數(non-Boolean algebra)[1]142。筆者的太極代數是太極陰陽思想與數學高度結合的產物，直到2009年才寫入博士論文并公開發表[2]。

博士畢業那年筆者正好滿50歲。筆者讀博的目的原是想給自己的《周易》數理研究畫上一個句號。不過現在看來，那個句號其實只是一個逗號，筆者的新一階段的《周易》數理研究才剛剛開始。筆者自己設定的“博士后”研究目標的重心是數理邏輯研究，筆者用的工具是太極代數。具體目標有兩個：一是用太極代數研究易卦中的邏輯內涵，這是由《周易》數理研究轉向《周易》數理邏輯研究；二是將太極陰陽思想引入數學研究，以太極陰陽思想研究邏輯的數學結構?，F在看來，筆者的這兩個小目標算是實現了，于是才有可能完成《〈周易〉經傳數理研究》的寫作。

筆者研究《周易》數理的最大感受是，《周易》是一部邏輯形式化乃至形象化的作品。若不明白這一性質，就會導致三個誤解：一是依其卦畫的象征性，以為《周易》是原始思維的產物，但其中包含樸素的辯證法思想；二是依其卦畫的形式化，以為六十四卦是二進制數或布爾向量*二者都是以0和1為元素組成的數學對象。；三是只看到其卦畫的形象性及其隱喻的邏輯內涵，以為《周易》中只有類推邏輯而沒有形式邏輯。

2011年對筆者的研究來說是比較關鍵的一年，原因有兩個：一是基于空無律和互補律在整個實數系上建立起廣義太極代數公理體系*王俊龍：《廣義太極代數：R上的邏輯代數》，《湖南師范大學自然科學學報》2014年第5期。其中R含空集，特此說明，下同。。至此，太極代數才真正得以確立，從而有了合乎邏輯的數學解釋。同時，布爾代數公理體系中的0-1律和互補律神話也就不攻自破了。二是結合《周易》文本筆者證明了八卦是8個邏輯范式(公式)[3]，進而證明六十四卦是演繹邏輯體系[1]193-218[4-5]。這兩項成果可以代表筆者《周易》數理研究中最重要的成果。

在本文中將主要討論以下幾方面內容：一是太極的數理內涵的追問；二是《周易》數理的本質*《周易》卦象數理屬于邏輯數理，不能通過算術數理加以解釋。因此，本文不涉及《周易》中的“大衍”筮法數理、陰陽爻題數理以及易學中的河洛數理、二進制數理等算術數理。；三是布爾代數中的概念(或記號)錯誤；四是無限的本質；五是哲理與數理的統一。

二、真相的追問：太極真的是1嗎？

《老子》曰：“道生一，一生二，二生三，三生萬物。”又曰：“天下萬物生于有，有生于無?！?/p>

顯然，《老子》所言“一”“二”“三”數都是“有”在數量上的反映。在數學上，根據皮亞諾自然數公理系統，1、2、3等諸數生于0[6]。而《老子》所言的“道”無疑與數學上的0相對應，因為0是無。“1、2、3等諸數生于0(無)”與“有(萬物)生于無”是不矛盾的。也可以說，《老子》“有生于無”的哲理與自然數的數理是一致的。

邵雍在《皇極經世書》中說：“生而成，成而生，《易》之道也。以天地生萬物，則以萬物為萬物。以道生天地，則天地亦萬物也。道為太極?！鄙塾核灾暗馈奔础独献印匪灾暗馈?，并且以太極詮釋《老子》所言“道”的內涵。

《系辭上》曰：“是故易有太極，是生兩儀。兩儀生四象，四象生八卦?！逼渲械膬蓛x、四象、八卦皆是物象的表現。所有物象生于太極?！肚よ彾取吩唬骸疤烨?，地坤，日離，月坎，風巽，雷震，山艮，澤兌。”鄭玄注曰：“八象備，萬象生。萬象萬形，有形之物為象。”

《乾坤鑿度》曰：“象成數生。易起無，從無入有。有理若形，形及于變而象。象而后數。”儀、象、卦皆是物象的表現，因此象成而生二、四、八諸數。

顯然，從象與數兩方面證明，《系辭》所言的“太極”與《老子》所言的“道”在生成萬物的功能上是相對應的。道為太極，邵雍的結論是合乎邏輯的。

《乾鑿度》曰：“昔者圣人因陰陽，定消息，立乾坤，以統天地也。夫有形生于無形。乾坤安從生？故曰：有太易，有太初，有太始，有太素?！庇衷唬骸疤渍撸匆姎狻Ｌ跽?，氣之始。太始者，形之始。太素者，質之始。”鄭注曰：“太易之始，漠然無氣可見者。太初者，氣寒溫始生也。太始有兆始萌也。太素者，質始形也。諸所為物，皆成苞裹，元未分也?！薄断缔o》的作者概括地將有形存在的特征分為陰和陽兩方面?！肚彾取返淖髡邉t將有形存在的特征細分為氣、形、質三個方面，并且認為這三方面是依此次序先后生成的，從而構想了一個從無中生有的漸進演化過程。其中，質是具體的質料，氣是普遍的質料或元素，形是事物的形態。結合邵雍的論證，道為太極，太極為無。

已有的《周易》數理研究說明了這樣兩個事實：(1)凡是用現有數學理論研究《周易》卦象演繹者，最終都將毫無例外地導致“太極等于1”的結論。(2)凡是用現有邏輯理論研究《周易》卦象邏輯者，最終都會毫無例外地不得不將太極(全域，或全集)設定為1。

造成上述兩個事實結果的根本原因：一是所有研究者所掌握的數學工具中都沒有擺正太極的真正地位；二是所有研究者所掌握的邏輯工具只有布爾代數，而布爾代數中的全集(或乘法單位元)是1。

如果不把太極放在0的位置上，那么，一個邏輯必然的結果將導致把無極(或太易)放在0的位置上。潘雨廷先生接受了“太極等于1”的事實，于是，他把《老子》所言“復歸于無極”中的無極視為0。顯然，潘雨廷先生將太極和無極理解為兩個概念，并且賦予不同的數學內涵，見圖1。

圖1數與理的乖違：中西文化的內在沖突*此圖根據潘先生的原圖繪制(見《潘雨廷先生談話錄》，張文江記述，上海：復旦大學出版社，2012年，第121頁)，圖的標題是筆者新添加的。

潘雨廷先生將無極理解為0(無)，是將《老子》所言的“無極”與《老子》所言的“道”視為同一個概念。這樣的話，問題同時也就出現了。

邵雍論證《老子》所言的“道”是太極。而一旦將太極視為1，太極必將喪失其形而上的質性而淪為形而下的俗物，這也就意味著太極不是《老子》所言的“道”。表面上看這兩個矛盾的結論似乎都合乎邏輯，甚至合乎數理。那么問題究竟出在何處呢？

若不接受“太極是1”的事實，太極、兩儀、四象、八卦的生成序列中的數理就無法解釋。若承認道為太極的說法，實際上意味著接受“太極為無”，而怎樣由無生出兩儀四象八卦來，現有的(西方的)數學理論不能予以解釋。然而，不能用現有數學理論解釋，能構成接受“太極為1”的正當理由嗎？

其實，在潘雨廷先生的心目中，太極是一個形上的整體概念。他說：“太極就是種種不同的相反的東西合在一起。”[7]281這句話說得沒錯。問題是：若以為太極為1，把這句話放到布爾代數中去理解在邏輯上也是正確的。太極果真為1嗎？

對于0的性質，潘先生說：“無中生有，邊界的邊界為0。”[7]134那么，“種種不同的相反的東西合在一起”其結果不正是0嗎？但是，他前面又明確地說過太極對應1(見圖1)。這就證明，在潘先生的思想深處蘊涵著一個深刻的矛盾：數理形式上，他不得不接受太極為1，因為他精通西方數理，比如二項式公式、布爾代數之類。但在思想內涵上，他又把太極看作是一個無所不包的大范圍。顯然，若要承載太極的這一層意思，“1”這個平凡的數是不夠格的。因為他了解并酷愛中國傳統文化博大精深的內涵，用一個小小的“1”怎能概括得了？

其實，這個深刻的矛盾不只是存在于潘先生一個人的思想深處，而是早已存在于中國傳統文化的思想深處。邵雍曰：“有地然后有二，有二然后有晝夜。二三以變，錯綜而成。故《易》以二生，數以十二起。而一非數也，非數而數，以之成也。”黃畿注曰：“一無可易，《易》自二生，偶以合奇，始成變化。自三以上，衍于無窮。……一實非數。一乃有二，數由以成。惟一則專，惟二乃化。陽與陰合，參與兩倚。倚數可數推，非數則數本也。乃知一體二用不息者，天行之健，有一而已。”[8]

《易緯》的作者說得更明確，矛盾化解得更徹底?！肚よ彾取吩唬骸疤鞌狄?。一者，無也?！薄暗財刀?。二者，有偶也?！薄兑拙暋返淖髡咴诹攘葦嫡Z中竟一氣道出了《周易》中的兩個根本性原理：一是太極(無)的整體性原理，二是陰陽(二)的對偶性原理。正是在這兩個原理的基礎上，筆者發現了太極代數。

三、同一性：邏輯中的數理與《周易》中的數理

人們常說：不破不立。筆者則碰到一種立“極”易破“布”難的情形。同時筆者還有一個切身體會是：發現的難度與理解新對象的難度有時往往是相反的。對于廣大讀者，或許也有如此體會吧。

對于筆者而言，發現太極代數相對容易，因為有前面論述的太極陰陽思想和空無矛盾觀作為思想基礎。同時又受到《周易》卦象和《太玄》圖的直觀形象的啟發，在爻畫數學化(陽爻為1，陰爻為-1，和爻為0)的基礎上引進集合運算規則，再經反復推演最終就得到太極代數。更確切地說，筆者是在爻畫的數學游戲過程中做出了太極代數。這叫立“極”(太極代數)易。

而發現廣義太極代數則要困難得多，困難的原因主要有兩方面：一是要克服并超越布爾代數及其公理系統在數學上設置的認知障礙。布爾代數在數學上已經成為一種成熟形態的、公理化的代數結構[9]，要突破它談何容易。二是布爾代數充其量是建立在實數系中由0到1的閉區間上的[10]，而太極代數與廣義太極代數都是建立在整個實數系(需引入?與0相對)上的。如何想到并證明在整個實數系可以施行集合運算其難度都相當大。這叫破“布”(布爾代數)難。

發現或想到雖然很難，一旦克服了認知上的障礙，結果反而是廣義太極代數要容易理解，這是因為廣義太極代數的邏輯變量除了空集就是實數。但要解釋清楚太極代數則不是一件十分容易的事。這是因為太極代數完全是一種新的代數結構，又不屬于西方ZF公理集合論的范圍，于是就不能用西方數學中的現有理論加以解釋。這也就意味著太極代數中的數學原理大大超出了筆者(發現廣義太極代數前)熟知的數學知識的范圍。這也是筆者多年來嘗試通過與布爾代數的比較介紹太極代數而始終沒有取得任何預期效果的原因。

太極代數的理論基礎是廣義太極代數，太極代數的邏輯變量并非具體的實數，而是以整個實數系的劃分結構為邏輯變量，整個實數系的劃分在形式上表現為直觀的(甚至可以圖像化的)向量結構?！吨芤住坟韵蠛汀短穲D本質上就是這種向量結構，因而筆者才能受其啟發而發現太極代數[1]234-236。

四、邏輯的真相：排除布爾先生設置的霧障

2011年夏，放暑假前筆者從圖書館借了好幾本有關公理集合論和數學基礎的書，整個假期筆者都在研究西方數學的基礎理論。終于，筆者發現太極代數有別于西方數學的根本原因。筆者終于明白，西方數學的根本基礎是自然數系統，而數的運算基于算術運算，甚至邏輯運算也借助于算術運算的基本性質。

算術運算的一個鮮明特點是，其負運算對于0是不變的，即-0=0。換言之，0在算術運算中是沒有相反對象的，或者說0的逆是其自身。因為西方的公理集合論是建立在算術運算基礎上的，而且0沒有相異的逆元，因此，ZF公理集合論中認定0=??！翱占?一無所有，自然數零也一無所有。因此，把數零定義為空集是合理的?！盵11]布爾代數是邏輯代數，其運算規則從根本上說是不同于算術運算規則的。但是，當初布爾在建構思維的代數規則時同時又借用了算術的運算規則。具體表現在：(1)用算術運算中的加法單位元0作為邏輯運算的加法單位元，x+0=x；(2)用算術運算中的乘法單位元1作為邏輯運算的乘法單位元，x·1=x。

而在太極代數中，0和任何數一樣也是有其專門的相反對象的，0是表示無的數學符號，與無相對的是空，表示空的數學符號是?。太極代數是完全遵循邏輯運算規則的代數系統。通過太極代數可以發現，在邏輯運算中，1的相反數還是-1，與0相反的數是?而不是1。這就避免了邏輯運算與算術運算的混淆。

廣義太極代數的建構[12-13]證明：

3.在邏輯運算中，的確存在最大元和最小元。但是，最大元不是1，最小元也不是0。?才是真正的最小元，沒有任何數小于?，同時，也沒有任何數大于0，0才是真正的最大元。就是說，布爾代數中所謂0，本質上是?。布爾代數中的1只是一個普通的數而已，只有對于所有比它小的變量它才是最大的。具體地說，對于?到1*注意：不是0到1。區間也分算術區間和邏輯區間兩種。在太極代數中，?到0的邏輯區間是全集0。因此，?到1的邏輯區間(或邏輯變量)是[1]，而1到0的邏輯區間(或邏輯變量)是[-1]。這里的邏輯變量及其符號表示參見王俊龍：《〈周易〉經傳數理研究》，北京：人民出版社，2015年，第1頁，第232-234頁。的邏輯區間中的變量而言，1是其中最大的。

4.在邏輯運算中，乘法單位元是0，加法單位元是?。若A是比1小的變量，則依照邏輯運算規則A·1=A，看上去1還真像是算術運算中的乘法單位元。然而，這不過是一種假相罷了。2是比1大的變量，則依照邏輯運算規則有2·1=1(比較：算術運算中2×1=2)，相信現在不再會有人說2也是邏輯乘法單位元?？梢姡紶柎鷶抵械?并非真正的邏輯乘法單位元，而是邏輯運算中的虛假的乘法單位元。同樣的，邏輯加法單位元也不是0，真正的邏輯加法單位元是?。布爾代數中的0并非真正的邏輯加法單位元，而是邏輯運算中虛假的加法單位元。

5.布爾代數可以成立，但有一個限制條件，即對于在?與1之間的邏輯變量才是成立的。一旦超出這一范圍，1不再是邏輯運算中的乘法單位元[13]。也就是說，布爾代數的“0—1律”稱不上是真正的公理。這從一個側面說明，西方數學基于所謂公理的演繹系統難免也蘊藏著巨大的漏洞或認知陷阱。

客觀地講，布爾先生并沒有遮蔽世人的雙眼，但是，他的確有誤導世人的嫌疑。因為他借用算術運算的加法單位元0作為邏輯運算的加法單位元，借用算術運算的乘法單位元1作為邏輯運算的乘法單位元。使其后的絕大多數人(包括專業的邏輯代數學家)都沉湎于他建構的0-1代數系統中。世人滿足于它的相對有效性(比如能用于設計開關電路)而不去追問是否絕對完備，甚至，幾乎已經認定它是絕對完備的邏輯代數系統。造成這一局面的根本原因是，建立在自然數基礎上的算術運算早已深入人心且先入為主，對算術運算過于偏好不僅是中算的顯著特征，同樣也是西方數學的一個顯著特征。

邏輯運算是不同于算術運算的代數運算，通常人們只把邏輯運算看作是集合的演算而不認為邏輯運算也是數的基本性質的表現。因此，邏輯運算在西方數學中并沒有獲得與算術運算相當的地位，通常把它納入離散數學的范圍。

須申明的是，本文在邏輯乘法的意義上使用布爾乘，同樣，在邏輯加法的意義上使用布爾加。本文中的1和0分別是算術運算中的乘法單位元和加法單位元。本文中的0和?分別是邏輯運算中的乘法單位元和加法單位元。因為，邏輯運算與算術運算是兩種性質完全不同的代數運算。而布爾代數是邏輯代數，所以，布爾代數中的1和0分別是邏輯運算中虛假的乘法單位元和虛假的加法單位元。

為了弄清布爾代數中1和0的廬山真面目，自2000年起，筆者至少花了整整十年時間?？梢姡嬲宄壿嬤\算與算術運算的區別，真正弄清楚邏輯運算中的乘法單位元、加法單位元與算術運算中的乘法單位元、加法單位元的本質區別是何等困難。

五、無限的本質：空和無是一對矛盾

數理是一個整體。數學的結構是數理的外殼，邏輯的結構是數理的內核。二者是緊密聯系著的，是一個整體的兩面。《周易》數理同樣既有其數理的外殼(表現為數學)又有其數理的內核(表現為邏輯)，正因如此，筆者的《周易》數理研究才經歷了一個由外(脫離《周易》文本的)到內(結合《周易》文本的)又由內(屬于《周易》文本的)到外(超出《周易》文本的)的完整的發展過程。

從事《周易》數理研究需要對數理與哲理兩方面(包括相互關系)有最前沿、最深入的理解。有鑒于此，接著想結合對太極陰陽思想的理解略談一點在研究《周易》數理過程中學習、研究西方ZF公理集合論的個人體會。

《序卦》曰：“豐者，大也。窮大者必失其居，故受之以旅。旅而有所容，故受之以巽。巽者入也。入而后說(脫)之，故受之以兌?！?/p>

西方人用一種開放的觀點看待宇宙，看待無限，認為無限就是永無盡頭。人類能夠感知的事物都是有限的，有時，有限的東西與“無”的距離出乎意料的近。“無”是遠在天邊近在眼前的。西方人看不到身邊的“無”，卻總是追求遠在天邊的“無”——遙不可及的無限之境。

但是，無限這個詞并非只有沒有盡頭或沒有限度這一層意思；無限的另一層意思是以“無”為限。無限不是無可限，而是以“無”為限，“無”正是無限的盡頭。因此，無限并非沒有盡頭，只不過是無限的盡頭不是有而是“無”。西方數學理論以為無限就是沒有盡頭的觀點是一種直觀的無限觀。任何有(或存在)都不能到達無，因為永遠無法到達，感覺就像是永無盡頭。無與有(或存在)的關系是，無是一切有(或存在)的總和。

西方數學中并非沒有“無”，由空集建構的一切集都是指向無限的。“無”就是無限的盡頭，一切集都無以逃脫“無”的范圍。數學家(比如康托)建構集合的沖動之所以能夠實現，永無止境，是因為有或存在是有限的(所以能夠實現)，“無”是無限的(所以不能達到)。

康托用一一對應研究無限集合，比如，他發現在自然數集N和實數集R之間不可能建立一一對應[14]。但其一一對應的方法也不完全是幾何上的正比例的方法。一一對應也可以用于互補的兩個事物之間的對應關系。比如，男與女是一一對應的，真與假是一一對應的。這種類型的一一對應是整體二分的兩部分之間的對應?！盁o”的本質是不能達到，“無”是近在眼前也不能達到的境域，“無”與大或遠并非總是成正比例的關系。“無”是無處不在的，有空的地方就有“無”的所在。

問題是人們常常將空與“無”混為一談。其實，空與無是孿生的一對。就像陰與陽是一對一樣，“無”與“空”是一對，但康托的一一對應中缺少這一對。

所有一切實在都不過是空與無之間的存在，空和無是人類不能進入或達到的境域。西方數學也是空與無之間的建構，盡管ZF公理集合論者只承認“空”或空集而不承認“無”，或在空與無之間畫上等號，使“空”失卻和“無”之間的一一對應。

只要承認無是一種達不到的境域，就能避免無限的煩惱。只要承認空是什么也沒有的空間，就能對擁有的一切倍加珍惜。可以追求無限，但要明白無限以無為限，所有一切盡在無中。欲望的無限膨脹是不能達到的?？梢宰非罂侦o，但要知道空是無所不在的，空是一無所有的。不能否定一切，也不能舍棄一切。空與無是互補的，相互否定的，相互依賴的。這就是筆者的空無矛盾觀。

六、太極代數：哲理與數理的統一

“《周易》有一個理數統一的重要思想，即它的哲學理論與數學知識是有機統一、一一對應的?！盵15]構成《周易》數理的基礎有兩個：一是《周易》文本；二是太極代數?！吨芤住肺谋臼橇⒄摰牟牧蟻碓?，太極代數是論證的邏輯工具。

筆者認為現有哲學探討的根本問題分為兩類*有和無的關系問題或有和空的關系問題是現有哲學討論中最根本的問題。至于其他哲學問題都可以視為是從這一根本問題上派生的問題。：一類是探討有與無之間的相互關系，如《老子》提出無中生有的命題；一類是探討有與空的相互關系，如印度古代哲學(或佛學)[16]。這兩個問題都傾向于把“空”或“無”作為“有”的對立面而提出。

上述哲學問題都視有和無，或空和有是一對矛盾關系。哲學中的問題哪怕是最基本的哲學問題都會在數學中有所反映。哲學上的基本問題往往是圍繞矛盾關系展開的。矛盾雙方構成矛盾集合的元素，而最適合研究矛盾關系的數學工具是集合運算。反映有與無關系的數學是布爾代數。如果空是“絕空”的話，空與有的問題在數學上也可以通過布爾代數加以反映。關于有和無的布爾代數與關于空和有的布爾代數在數學上是對稱的關系。這種對稱關系容易被理解為知識結構上的對應性，從而在二者之間形成語義上的互釋關系。

“大致說來，依真諦世間是‘空’，依俗諦世間是‘有’，所以真、俗二諦也是空、有二諦。大乘的基本立場就是‘俗有’而‘真空’。我們認為這種‘空’、‘有’之分，與海氏的存在論的‘有’、‘無’之辨，基本精神是一致的?！盵17]其實，哲學上的根本問題既非有和無的問題也非空和有的問題，而是空和無的關系問題。空和無的問題出現在“有”尚未呈現之前，因而是更根本的問題?？蘸蜔o是什么關系呢？在此，空和無不是同一個概念的不同表述，二者之間不可畫等號。這不但是與常識相反的結論，與西方某些數學理論也是一個相反的結論。

太極代數是建立在“空、無、陰、陽”四元概念基礎上。陰與陽互補，空與無互補?！疤珮O無分(亦謂無名，有名則有分)”[18]，有(有名)是分陰分陽的相對存在，空與無是存在的絕對前提。陰陽合則同歸于無(無名)，陰陽分則兩立于空(空名)?？张c無是一對先天的或絕對的矛盾，空與無也是一對可以自足、自洽施行邏輯演算的相反數。

空和無才真正構成一對矛盾關系。空是萬有的起始，無是萬有的終結。從數理上可以證明，空和無是最樸素的矛盾集合，在其上定義布爾加、布爾乘和補運算構成太極代數[19]。在此階段，太極代數是用數學的語言反映空與無之間的互補關系或矛盾關系。太極代數是筆者根據《周易》的太極陰陽思想提出來的，太極代數體現哲理與數理的高度統一，見表1(見下表)，但其中的具體內容因篇幅所限，這里就不全面論述了。

在空和無形成的矛盾集合中可以引進“有”，但“有”是包含矛盾的存在。就是說，“有”是分陰分陽的，有的“有”是陰性的，有的“有”是陽性的。有陰性的“有”必有陽性的“有”與之相對，這就叫“孤陰不生，孤陽不長”。世上既沒有孤陰也沒有獨陽，陰和陽是相對存在的。因此，引進“有”就是在空和無的矛盾基礎上引進陰與陽的矛盾關系。這樣，我們得到一個新的矛盾集合，其中包含四個元素：空、無、陰、陽。這個新的集合中有兩對矛盾關系。像前面一樣，在其上可以定義布爾加、布爾乘和補運算，結果也是太極代數。在此階段，太極代數通過數學的語言反映“空、無、陰、陽”四元素之間的關系。

太極代數的建立說明，西方哲學中有和無之間的關系與印度哲學中空與有之間的關系在數學上表現為“空、無、陰、陽”四元素之間的關系。在太極代數中“有”是作為陰陽矛盾的兩方面加以反映的。

表1　太極代數：哲理與數理的統一

①布爾代數中的0作為空類(或空集)符號使用。

②印度哲學中的“空”并非一無所有的絕空，有時也有“無”的意思。參見王俊龍：《本體邏輯學新探》，《陜西師范大學學報》(哲學社會科學版)2015年第2期，第5-16頁。

因此，筆者認為最基本的哲學問題往往也是一個最基本的數學問題，筆者的哲學觀點與太極代數是密切相關的。雖然，筆者的哲學觀點來自《周易》，但是，筆者把太極陰陽思想引入了數學研究之中，這才有了太極代數。

七、結語：幾點補充說明

圍繞《周易》數理，筆者要做以下幾方面的總結或說明。

第一，其內容涵蓋哲學、邏輯學、代數學三門學科，但其主要內容還是圍繞《周易》中的數理(或符號邏輯)。

第二，從知識形態講，其中的部分內容屬于哲學、邏輯學、代數學三門學科的交叉部分，這部分內容不完全屬于哲學、邏輯學和數學中任何一門學科。這也就印證了筆者有時會產生沒有明確的學科歸屬感的體會。

第三，雖然從概念上看，其中的部分內容屬于哲學、邏輯學、代數學三門學科的交叉部分或三者的結合，但并非意味著是現有的哲學、現有的邏輯學、現有的數學的交叉內容，而是整個哲學(包括現在還沒有的部分)、整個邏輯學(包括現在還沒有的部分)、整個數學(包括現在還沒有的部分)的交叉部分。換言之，這部分內容不是現有哲學、邏輯學、代數學三門學科知識的簡單拼湊或綜合，其中包含一些新的元素、新的方法和新的思想。這“三新”說明其內容的創新性。

第四，因為上述第三點，雖然其內容脫胎于《周易》數理，但有些內容并不局限于《周易》數理。同樣，其中的哲理雖然是以易理為基礎的，但其內容并不局限于易理；其中的代數內容雖然取材于西方數學，但其內容并不局限于西方數學。這三個“不局限于”說明其內容的超越性。

第五，其中的部分內容是哲學、邏輯學、代數學三門學科的交叉部分或三者的結合，還涉及哲學和邏輯學相結合形成的哲理邏輯，如黑格爾的《邏輯學》、維特根斯坦的《邏輯哲學論》；還涉及邏輯學和代數學相結合形成的邏輯代數，如布爾代數、集合代數；還涉及哲學和代數學相結合形成的哲理代數，如筆者提出的太極代數，是太極陰陽思想與數學相結合的產物；還涉及數理哲學，如羅素的《數理哲學導論》。這些兩兩結合說明其內容的豐富性。

第六，其內容之所以有創新性、超越性和豐富性主要是源于《周易》太極陰陽思想的高度概括性、絕對超前性和無比深刻性。因此，太極陰陽思想是打開《周易》數理的鎖鑰，太極陰陽思想是本文內容的主線。

上面所談的是筆者研究《周易》數理的大致過程和筆者所理解的數理觀。其中有一個實實在在的展開基礎的探索過程(有時充滿艱辛)，其間貫穿一個超凡脫俗的空無矛盾觀(有時難免誤解)，這是本文得以完成的兩個不可或缺的條件。

《說卦》曰：“八卦相錯，數往者順，知來者逆，是故易逆數也?！备鶕P者二十多年來研究《周易》數理的感受與體會偶得下面四句話，愿與讀者同道分享：

逆數自空無，萬物分陰陽。卦象是邏輯，易道非尋常。

參考文獻：

[1]王俊龍.《周易》經傳數理研究[M].北京：人民出版社，2015.

[2]王俊龍.論太極代數及其辯證內涵[J].湖南師范大學社會科學學報，2009(3)：43-47.

[3]王俊龍.論八卦是八個邏輯范式[J].周易研究，2012(3)：90-96.

[4]王俊龍.論六十四卦是演繹邏輯系統(上)[J].東亞文獻研究，2013(12)：133-142.

[5]王俊龍.論六十四卦是演繹邏輯系統(下)[J].東亞文獻研究，2014(13)：17-26.

[6]羅素.數理哲學導論[M].晏成書，譯.北京：商務印書館，1999：11.

[7]張文江.潘雨廷先生談話錄[M].上海：復旦大學出版社，2012.

[8]邵雍.皇極經世書[M].黃畿，注.鄭州：中州古籍出版社，1993：335-336.

[9]楊炳儒.布爾代數及其泛化結構[M].北京：科學出版社，2008：9-45.

[10]亞格洛姆.不平常的代數[M].方偉武，譯.北京：知識出版社，1984：26-28.

[11]張錦文.公理集合論導引[M].北京：科學出版社，1991：28.

[12]王俊龍.太極數理哲學：身心統一的世界觀[J].學術月刊，2013(6)：27-35.

[13]王俊龍.廣義太極代數：R上的邏輯代數[J].湖南師范大學自然科學學報，2014(5)：85-89.

[14]周·道本.康托的無窮的數學和哲學[M].鄭毓信，劉曉力，編譯.大連：大連理工大學出版社，2008：34-41.

[15]周瀚光.先秦數學與諸子哲學[M].上海：上海古籍出版社，1994：10.

[16]釋印順.性空學探源[M].北京：中華書局，2011：1-10.

[17]吳學國.存在·自我·神性：印度哲學與宗教思想研究[M].北京：中國社會科學出版社，2006：135-136.

[18]湯用彤.魏晉玄學論稿[M].增訂本.北京：生活·讀書·新知三聯書店，2009：67.

[19]王俊龍.棋法陰陽：圍棋中的哲理與數理[J].西南大學學報(社會科學版)，2013(6)：11-19.

責任編輯韓云波

網址：http://xbbjb.swu.edu.cn

中圖分類號：B221

文獻標識碼：A

文章編號：1673-9841(2016)02-0021-09

基金項目：上海師范大學科研基金項目“本體邏輯學研究”(A-0230-14-001107)，項目負責人：王俊龍。

作者簡介：王俊龍，哲學博士，高等學校文科學術文摘雜志社，副研究員。

收稿日期：2015-07-29

DOI：10.13718/j.cnki.xdsk.2016.02.003