探究“勾股定理”教學(xué)中難點的突破方法

? 李梅 岳東旭

探究“勾股定理”教學(xué)中難點的突破方法

? 李梅 岳東旭

勾股定理是“人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”，是初等幾何中的一個基本定理。是整個平面幾何的基礎(chǔ)，在現(xiàn)實生活中被廣泛應(yīng)用。人民教育出版社義務(wù)教育教科書八年級數(shù)學(xué)在編寫的過程中雖然注意到了學(xué)生接受知識需要經(jīng)歷感知、理解、鞏固、應(yīng)用的過程，設(shè)計中重視學(xué)生動手能力的培養(yǎng)，然而教材設(shè)計過程中學(xué)生思維存在很多障礙，教學(xué)中要注重引導(dǎo)，幫助學(xué)生順利突破思維障礙。

勾股定理；直角三角形；探究活動；平面幾何；重要基礎(chǔ)

勾股定理是“人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”，是初等幾何中的一個基本定理。是整個平面幾何的基礎(chǔ)，在現(xiàn)實生活中被廣泛應(yīng)用。而勾股定理的教學(xué)卻難點重重，實際課堂教學(xué)效果大打折扣。

人民教育出版社義務(wù)教育教科書八年級數(shù)學(xué)在編寫的過程中雖然注意到了學(xué)生接受知識需要經(jīng)歷：感知、理解、鞏固、應(yīng)用的過程，設(shè)計中重視學(xué)生動手能力的培養(yǎng)，然而教材設(shè)計過程中并未給出教學(xué)難點突破的方法。如何能在實際教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生順利突破思維難點，實際教學(xué)中筆者做了以下的探究，效果顯著。

一、證明勾股定理——拼圖

雖然勾股定理的證明方法迄今為止已逾500種，但讓學(xué)生很自然地想到證明方法是很困難的，特別是學(xué)生如何想到用4個全等的直角三角形拼成正方形，利用“等積法”證明。

情景再現(xiàn)：利用手中的四個全等的直角三角形拼圖證明勾股定理

思維障礙：(1)為何要用拼圖證明？(2)為何要用直角三角形拼圖？(3)拼成什么樣的圖形？

突破方法：(1)引導(dǎo)學(xué)生思考勾股定理表達(dá)式a2+b2=c2,對于等式的證明一般采取從一側(cè)證向另一側(cè)，或者是兩側(cè)向中間證明的方式。然而，對于本式兩側(cè)都是簡單的形式，不能再化簡，另一方面引導(dǎo)學(xué)生思考勾股定理本身是從“形”到“數(shù)”的一個過程，以及學(xué)生在學(xué)習(xí)完全平方公式時，曾用過幾何圖形驗證過完全平方公式的正確性。若在教學(xué)中能在這里引導(dǎo)學(xué)生思考，則學(xué)生很自然可以想到利用幾何圖形證明勾股定理。從而解釋了學(xué)生心中所產(chǎn)生的第一個疑惑，順利突破第一層次的思維障礙。(2)引導(dǎo)學(xué)生回顧勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，它揭示的是直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系。因此在證明過程中自然要用直角三角形作為基本構(gòu)圖素材。(3)引導(dǎo)學(xué)生觀察勾股定理表達(dá)式a2+b2=c2本身的特點，再結(jié)合回顧勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)式子本身符合正方形的面積公式。因此拼成正方形有利于證明定理。教師進(jìn)一步引導(dǎo)，既然拼成正方形，那么對所需要的直角三角形用什么樣的要求？比如需要幾個，比如幾個三角形是否需要全等等。

二、“選數(shù)畫圖”——猜想

情景再現(xiàn)：畫畫看，寫出幾組三角形三邊長，并探究它們之間滿足的數(shù)量關(guān)系，畫出這些三角形，量量看它們是否是直角三角形。

思維障礙：(1)選哪些數(shù)？(2)數(shù)量之間的關(guān)系有多種。(3)畫圖存在誤差。

教學(xué)建議：

基于以上三個問題，教材中所呈現(xiàn)的活動不具有可操作性，即便是讓學(xué)生動手操作也是一種假探究，因此在實際教學(xué)過程中直接刪去。

三、證明逆定理——構(gòu)圖

情景再現(xiàn)：證明命題2如果△ABC的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。

思維障礙及突破方法：

本環(huán)節(jié)教材中給出的證明方法是：先畫兩條直角邊分別為a,b的直角三角形，如果△ABC與這個直角三角形全等，那么△ABC就是一個直角三角形。

這里如果教材不直接給出思路，學(xué)生很難想得到。在實際的教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生思考所用方法的必然性和合理性。一方面引導(dǎo)學(xué)生回顧所掌握的直角三角形的證明方法，無外乎兩角互余，一個角是90°，或者證明和已知的一個直角相等。進(jìn)而繼續(xù)分析問題中給出的條件發(fā)現(xiàn)，我們根本無法直接證明兩角互余或者有一個角是90°，那么我們只有第三種方法可用，即證明其中一個角和已知的直角相等。因此必須先構(gòu)造直角，且還方便證明相等。這樣學(xué)生容易想到剛學(xué)過的三角形全等知識。構(gòu)造一個直角邊分別為a,b的直角三角形便顯得自然順暢。下面就是尋找三角形全等的條件。因為條件中沒有有關(guān)角的條件存在，三角形全等就是有“SSS”這一唯一的判定方法，到此難點得以突破。

[1][美]邁克爾·塞拉．發(fā)現(xiàn)幾何：一種歸納的方法[M]．李翼忠，劉仁蘇，蔡上鶴，等．北京：人民教育出版社，2000．352．

[2]朱哲，張維忠．從趙爽弦圖證明談數(shù)學(xué)史教學(xué)應(yīng)尊重歷史[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2005，(10)：12—14．

[3]人民教育出版社義務(wù)教育教科書八年級數(shù)學(xué)下冊。中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心編著。2013年10月第一版。

安徽省阜陽師范學(xué)院附屬中學(xué) 236000)