“數形結合思想”在小學數學教學中的滲透

茅隆森

（三明市實驗小學，福建 三明 365000）

“數形結合思想”在小學數學教學中的滲透

茅隆森

（三明市實驗小學，福建 三明 365000）

“數”與“形”貫穿整個小學數學階段，這種數學思想方法對研究數學與應用數學具有重要意義，學生一旦學會和掌握將終身受益。文章主要談數形結合思想在小學數學教學中的滲透。

小學教育；數學思想；教學方法；數形結合；教學滲透

數形結合思想指的是將抽象的數學語言同直觀的圖形相結合，既分析其代數含義又揭示其幾何意義，也就是使抽象思維同形象思維相結合。數是形的抽象概括，形是數的直觀表現［1］。用數形結合思想可以更好地把握數學問題的本質，將抽象的數學語言變為直觀的圖形，使復雜、抽象的問題簡單化、具體化。

一、滲透數形結合的思想

數形結合的思想方法，即：以形思數，幫助學生記憶；數形對照，加深知識理解；數形聯系、互釋，利于解題。小學階段是學生學習數學知識的啟蒙階段，而數形結合思想又是小學階段學習數學的一種重要的思想方法，兩者不能截然分開，要做到數中有形，形中有數。［2］教師要充分利用教材中的主題圖或重設教材內容，注重引導學生從“圖形”讀懂信息、并且會提出問題、分析問題、能找到解決問題的數量關系；在教學時，教師要留出足夠的時間和空間給學生，培養學生自主探索、合作交流、參與評價等的學習習慣，從而增強學生對數形結合思想的認知，體會數形結合的思想的意義。

二、指導數形結合的方式

數形結合的方式，包含“以數解形”和“以形助數”兩種情形：“以數解形”是借助于數的精確性、程序性和可操作性來闡述說明形的某些屬性；如在幾何知識的教學、探究過程中，很多內容只憑直接觀察較難發現其中的規律和特點，就如判斷四邊形的對邊是否相等、兩個長方形的周長、面積是否相等，這時就需要用數來表示［3］。“以形助數”則是借助形的幾何直觀來闡述說明某種概念、數量之間的關系：如在教學分數的認識時，解決比較復雜的實際問題、特別是分數和百分數的實際問題時，經常要借助圖形來幫助分析和理解數量關系。

在小學數學的四大領域知識的學習中，數形結合思想有著非常普遍和廣泛的應用，主要體現在：在數與代數中的應用，如教學負數時，借助數軸的直觀感受負數、零、正數之間的大小關系，突出正數、負數可以表示相反意義的量，知道每一個數在數軸上都有一個點與之一一對應；利用面積圖來理解乘法分配律、完全平方公式；幫助學生更好地理解分數加減法的算理，尤其是異分母分數加減法，可以結合圖示將平均分的份數不同（也就是分數單位不同的分數）的圖形，轉化為份數相同的圖形。在圖形與幾何中的應用，如教學三角形的面積時，先讓學生用兩個完全相同的三角形來拼擺出已經會求面積的圖形，再通過演示課件、討論交流、得出結論：①兩個完全相同的三角形可以拼成一個平行四邊形。②一個三角形的面積等于拼成的平行四邊形面積的一半。③拼成平行四邊形的底與三角形的底相等，高與三角形的高也相等。從而推導出一個三角形面積等于拼成平行四邊形面積的一半，即三角形面積=底×高÷2，并加深理解為什么要“÷ 2”。在統計與概率中的應用，如教學統計量平均數時，結合主題圖示使學生更好地理解求平均數的方法之一“移多補少”。

另外，統計圖本身就體現數形結合思想，統計圖能直觀地表示出抽象的、枯燥的數據，便于師生進行分析判斷和做出決策。在綜合與實踐中的應用，如教學“打電話”一課時，通過畫圖的方式，使學生找到打電話的最優方法，培養學生借助圖形解決問題。

三、強化數形結合的運用

在日常的教學中，教師應注重在教學設計、教學方法、教學手段等諸多方面對學生加以培養和訓練，使之逐漸養成用數形結合思想解決問題的習慣，這樣才能使學生真正發現問題、提出問題、分析問題、解決問題，使學生的形象思維能力和抽象邏輯思維能力在訓練中不斷提高。

典型案例一：教學等差數列1、3、5、7、…之和與正方形數的關系時，可以先讓學生計算1、1+3、1+3+5、1+3+5+7、1+3+5+7+9…的得數，使學生發現加數的規律、得到和的規律都是“平方數”，再通過用圖形來表示數的規律，達到理解“平方數”和“正方形數”的含義。使學生發現每個正方形圖中都隱藏著一個算式，即1+3+5+…+（2n-1）的和等于n的平方。

典型案例二：在學習分數加法后可以設計練習，求出等比數列1/2+1/4+1/8+1/16+1/32的和。

常規解法：利用通分的方法統一分母后，按分數加法的法則進行計算的。

數形結合解法：先畫一個大正方形（也可用圓形圖和線段圖）來表示“1”，在圖中分別表示出各分數，可以通過圖形來解決。

從圖中可以直觀地看出：1/2+1/4+1/8+1/16+1/ 32=1-1/32=31/32。

讓學生在潛移默化中感悟數與形的完美結合，學會根據題意畫圖，幫助理解題目的意思，從而增強學生運用數形結合的興趣。

典型案例三：用兩個形狀和大小相同的長方體茶葉盒來拼搭包裝成一包，表面積將怎樣變化？怎樣包裝最省包裝紙？

常規解法：一般情況下先讓學生利用學具進行動手操作，學生拼出了三種包裝方法，再要求學生通過計算比較表面積的大小，從而找出怎樣包裝最省包裝紙的方案。

數形結合解法：先引導學生觀察、思考、交流幾個問題：①有幾種拼法？拼成的大長方體表面積怎么變化？②每種拼法分別減少幾個面？是哪幾個面？③每種拼法減少的表面積一樣嗎？④哪種拼法的表面積最小？引導學生發現規律：不管怎樣拼，每次都會減少兩個長方形面的面積；但不同的拼法減少的面積不一樣。再引導學生從代數思想思考，不用具體數量的計算，其方法是：設長方體的長、寬、高分別為 a、b、h（a＞b＞h）只要給出三個數的大小順序即可。首先讓學生明確，求怎樣包裝最省包裝紙？就是求拼搭后的大長方體的表面積最小。拼搭后大長方體的表面積的大小，取決于拼搭在一起時減少的兩個面的面積之和的大小，即拼搭重疊的面越大，減少的面積就會越大，所拼成的大長方體的表面積就越小。反之拼搭重疊的面越小，拼成的大長方體的表面積就越大。根據已知條件知道：ab＞ah＞bh，最省包裝紙的包裝是拼后大長方體的表面積為：S=4（ab+bh+ah）-2ab或S=2ab+4bh+4ah。

經過在教學中、在解答問題時長期的培養和訓練，學生可以養成運用數形結合思想的習慣，這有利于豐富表象，引發聯想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高學生的思維能力、分析能力和解決數學問題的能力，為學生長遠學習奠定基礎［3］。正如我國著名數學家華羅庚先生曾經指出的——“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”數形結合思想既是數學教師一種常用的教學方法，也是學生一種解決問題非常有效的思想方法。

［1］夏俊生.數學思想方法與小學數學教學［M］.南京：河海大學出版社，1998（12）.

［2］田慧生，李如密.教學論［M］.石家莊：河北教育出版社，1999（01）.

［3］張新愛.小學數學學習的思想方法［J］.教育研究論壇，2011（13）.

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1673-9884（2016）05-0067-02

2016-04-06

茅隆森（1968-），男，福建沙縣人，三明市實驗小學一級教師。